九章算術卷二 晉 劉 徽 注
唐 李淳風 注釋
粟米以御交質變易
凡此諸率相與大通其時相求各如本率可約者約之别術然也
粟率五十
糲米三十
粺米二十七
糳米二十四
御米二十一 【詩大雅鄭箋云米之率糲十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法粟率五十糲米三十粺二十七鑿二十四御二十一言粟五升爲糲米三升已下則米漸細故數益少今攷鑿糳古多通用】小䵂十三半
大䵂五十四
糲飯七十五
粺飯五十四
糳飯四十八
御飯四十二
菽荅麻麥各四十五
稻六十
豉六十三
飧九十
熟菽一百三半
糱一百七十五
今有 【今有即下文稱所有率是也】
此都術也凡九數以爲篇名可以廣施諸率所謂告往而知來舉一隅而三隅反者也誠能分詭數之紛雜通彼此之否塞因物成率審辨名分平其偏頗齊其参差則終無不歸于此術也
術曰以所有數乘所求率爲實以所有率爲法
少者多之始一者數之母故爲率者必等之於一據粟率五糲率三是粟五而爲一糲米三而爲一也欲化粟爲米者糲當先本是一【案下舉粟率五令五為一則此不得云糲當先本是一糲字應改作粟】一者謂以五約之令五而為一也訖乃以三乘之令一而爲三如是則率至于一 【至字誤上云爲率者必等之于一至乃等字之誤】以五為三矣然先除後乘或有餘分故術反之又究言之知粟五升爲糲米三升以分言之知粟一斗為糲米五分斗之三以五為母三為子以粟求糲米者乘其母報除也【案此句有脱誤當云以子乘其母報除也】然則所求之率常為母也
淳風等按宜云所求之率常為子所有之率常為母今乃云所求之率常為母知脱錯也
實如法而一
今有粟一斗欲爲糲米問得幾何答曰爲糲米六升術曰以粟求糲米三之五而一
淳風等按都術以所求率乘所有數以所有率為法此術以粟求米故粟爲所有數三是米率故三為所求率五為粟率故五為所有率粟率五十米率三十退位求之故惟云三五也
今有粟二斗一升欲爲粺米問得幾何答曰爲粺米一斗一升五十分升之十七
術曰以粟求粺米二十七之五十而一
淳風等按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也
今有粟四斗五升欲為糳米問得幾何答曰為糳米二斗一升五分升之三
術曰以粟求糳米十二之二十五而一
淳風等按糳米之率二十有四以為率太繁故因而半之半所求之率以乘所有之數所求之率既減半所有之率亦減半是故十二乘之二十五而一也
今有粟七斗九升欲為御米問得幾何答曰為御米三斗三升五十分升之九
術曰以粟求御米二十一之五十而一
今有粟一斗欲為小䵂問得幾何答曰爲小䵂二升一十分升之七
術曰以粟求小䵂二十七之百而一
淳風等按小䵂之率十三有半半者二為母以二通之得二十七為所求率又以母二通其粟率得一百為所有率凡本率有分者須即乘除也他皆倣此
今有粟九斗八升欲為大䵂問得幾何答曰為大䵂一十斗五升二十五分升之二十一
術曰以粟求大䵂二十七之二十五而一
淳風等按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二率
今有粟二斗三升欲為糲飯問得幾何答曰爲糲飯三斗四升半
術曰以粟求糲飯三之二而一
淳風等按飯之率七十有五粟求糲飯合此此數乘之今以等數二十有五約其二率所求之率得三所有之率得二故以三乘二除
今有粟三斗六升欲為粺飯問得幾何答曰為粺飯三斗八升二十五分升之二十二
術曰以粟求粺飯二十七之二十五而一
淳風等按此術與大䵂多同
今有粟八斗六升欲為糳飯問得幾何答曰為糳飯八斗二升二十五分升之一十四
術曰以粟求糳飯二十四之二十五而一
淳風等按糳飯率四十八此亦半二率而乘除
今有粟九斗八升欲為御飯問得幾何答曰為御飯八斗二升二十五分升之八
術曰以粟求御飯二十一之二十五而一
淳風等按此術半率亦與糳飯多同
今有粟三斗少半升欲為菽問得幾何答曰為菽二斗七升一十分升之三
今有粟四斗一升太半升欲為荅問得幾何答曰為荅三斗七升半
今有粟五斗太半升欲為麻問得幾何答曰為麻四斗五升五分升之三
今有粟一十斗八升五分升之二欲為麥問得幾何答曰為麥九斗七升二十五分升之一十四
術曰以粟求菽荅麻麥皆九之十而一
淳風等按四術率竝四十五【案竝原本訛作并今改正】皆是為粟所求俱合以此率乘其本粟術欲從省先以等數五約之所求之率得九所有之率得十故九乘十除義由于此
今有粟七斗五升七分升之四欲為稻問得幾何答曰為稻九斗三十五分斗之二十四
術曰以粟求稻六之五而一
淳風等按稻率六十六約二率而乘除
今有粟七斗八升欲為豉問得幾何答曰為豉九斗八升二十五分升之七
術曰粟求豉六十三之五十而一
今有粟五斗五升欲為飧問得幾何答曰為飧九斗九升
術曰以粟求飧九之五而一
淳風等按飧率九十退位與求稻多同
今有粟四斗欲為熟菽問得幾何答曰為熟菽八斗二升五分升之四
術以粟求熟菽二百七之百而一
淳風等按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乘所有之率随而俱長故以二百七之百而一
今有粟二斗欲為糱問得幾何答曰為糱七斗
術曰以粟求糱七之二而一
淳風等按糱率一百七十有五合以此數乘其本粟術欲從省先以等數二十五約之所求之率得七所有之率得二故七乘二除
今有糲米十五斗五升五分升之二欲為粟問得幾何答曰為粟二十五斗九斗
術曰以糲米求粟五之三而一
淳風等按上術以粟求米故粟為所有數三為所求率五為所有率今此以米求粟故米為所有數五為所求率三為所有率準都術求之各合其數以下所有反求多同皆準此
今有粺米二斗欲為粟問得幾何答曰為粟斗斗七升二十七分升之一
術曰以粺米求粟五十之二十七而一
今有糳米斗求半升欲為粟問得幾何答曰為粟二斗三升三十六分升之七
術曰以糳米求粟二十五之十二而一
今有御米十四斗欲為粟問得幾何答曰為粟三十三斗三升少半升
術曰以御米求粟五十之二十一而一【案原本作二十二而一今改正】今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲為粟問得幾何答曰為粟一十斗五升九分升之七
術曰以稻求粟五之六而一
今有糲米一十九斗二升七分升之一欲為粺米問得幾何答曰為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三
術曰以糲米求粺九之十而一
淳風等按粺米率二十七合以此數乘糲米術欲從省先以等數三約之所求之率得九所有之率得十故九乘而十除
今有糲米六斗四升五分升之三欲為糲飯問得幾何答曰為糲飯一十六斗一升半
術曰以糲米求糲飯五之二而一
淳風等按糲飯之率七十有五宜以本糲飯乘以率數【案此句舛誤當云宜以本糲米乘此率】術欲從省先以等數十五約之所求之率得五所有之率得二故五乘二除義由於此
今有糲飯七斗六升七分升之四欲為飧問得幾何答曰為飧九斗一升三十五分升之三十一
術曰以糲飯求飧六之五而一
淳風等按飧率九十為糲飯所求宜以飧乘此率【案此句誤當云宜以糲飯乘此率】術欲從省先以等數十五約之所求之率得六所有之率得五以此故六乘五除也
今有菽一斗欲為熟菽問得幾何答曰為熟菽二斗三升
術曰以菽求熟菽二十三之十而一
淳風等按熟菽之率一百三半 【率原本訛作粟今改正】因其有半各以母二通之宜以熟菽數乘此率【案此句誤當云宜以菽數乘此率衍熟字】術欲從省先以等數九約之所求之率得一十一半所有之率得五也
今有菽二斗欲為豉問得幾何答曰為豉二斗八升術曰以菽求豉七之五而一
淳風等按豉率六十三為菽所求宜以豉乘此率【此句誤當云宜以菽乘此率】術欲從省先以等數九約之所求之率得七而所有之率得五也
今有麥八斗六升七分升之三欲為小䵂問得幾何答曰為小䵂二斗五升一十四分升之一十三
術曰以麥小䵂三之十而一
淳風等按小䵂之率十三半宜以母二通之以乘本麥之數術欲從省先以等數九約之所求之率得三所有之率得十也
今有麥一斗欲為大䵂問得幾何答曰為大䵂一斗二升
術曰以麥求大䵂六之五而一
淳風等按大䵂之率五十有四合以大䵂數乘此率【此句誤當云合以麥數乘此率】術欲從省先以等數九約之所求
之率得六所有之率得五也
今有出錢一百六十買瓴甓十八枚
瓴甓甎也
問枚幾何答曰一枚八錢九分錢之八
今有出錢一萬三千五百買竹二千三百五十箇問箇幾何答曰一箇五錢四十七分錢之三十五
經率術曰以所買率為法所出錢數為實實如法得一此術猶經分
淳風等按今有之義以所求率乘所有數合以瓴甓一枚乘錢一百六十為實【案此句原本脱乘字今補】但以一乘不長故不復乘是以徑將所買之率與所出之錢為法實也又按此今有之義出錢為所有數一枚為所求率所買為所有率而今有之即得所求數【案原本訛作即得所求率今改正】一乘不長故不復乘是以徑將所買之率為法以所出之錢為實實如法得一枚錢不盡者等數而命分
今有出錢五千七百八十五買漆一斛六斗七升太半升欲斗率之問斗幾何答曰一斗三百四十五錢五百二分錢之一十五
今有出錢七百二十買縑一匹二丈一尺欲丈率之問丈幾何答曰一丈一百一十八錢六十一分錢之二今有出錢二千三百七十買布九匹二丈七尺欲匹率之問匹幾何答曰一匹二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四
今有出錢一萬三千六百七十買絲一石二鈞一十七斤欲石率之問石幾何答曰一石八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八
術曰以所求率乘錢數為實以所買率為法實如法得一
淳風等按今有之義錢為所求率物為所有數故以乘錢又以分母乘之為實實如法而一有分者通之所買通分内子為所有率故以為法得錢【案此已上舛誤不可通攷書内列數問淳風等多據首一問為言此當云今有之義一斗為所求率出錢為所有數故以一斗乘錢數有分者通之又以分母乘之為實所買通分内子為所有率故以為法實如法而一得錢】數不盡而命分者因法為母實餘為子實見不滿故以命之
今有出錢五百七十六買竹七十八箇欲其大小率之問各幾何答曰其四十八箇箇七錢其三十箇箇八錢今有出錢一千一百二十買絲一石二鈞十八斤欲其貴賤斤率之問各幾何答曰其二鈞八斤斤五錢其一石一十斤斤六錢
今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤石率之問各幾何答曰其一鈞九兩一十二銖石八千五十一錢其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖石八千五十二錢
今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤鈞率之問各幾何答曰其七斤一十兩九銖鈞二千一十二錢其一石二鈞二十斤八兩二十銖鈞二千一十三錢
今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤斤率之問各幾何答曰其一石二鈞七斤十兩四銖斤六十七錢其二十斤九兩一銖斤六十八錢
今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤兩率之問各幾何答曰其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖兩四錢其一鈞一十斤五兩四銖兩五錢
其率術曰各置所買石鈞斤兩以為法以所率乘錢數為實實如法而一不滿法者反以實減法法賤實貴其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖其率如欲令差分按出錢五百七十六買竹七十八箇以除錢得七實餘三十是以三十箇復可增一錢然則實餘之數即是貴者之數故曰實貴也本以七十八箇為法今以貴者減之則其餘悉是賤者之數故曰法賤也其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其積數餘各為銖者謂石鈞斤兩積銖除實又以石鈞斤兩積銖除法餘各為銖即合所問
今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤銖率之問各幾何答曰其一鈞二十斤六兩十一銖五銖一錢其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖六銖一錢
今有出錢六百二十買羽二千一百翭
翭羽本也數羽稱其本猶數草木稱其根株
欲其貴賤率之問各幾何答曰其一千一百四十翭三翭一賤其九百六十翭四翭一錢
今有出錢九百八十買矢榦五千八百二十枚欲其貴賤率之問各幾何答曰其三百枚五枚一錢其五千五百二十枚六枚一錢
反其率術曰以錢數為法所率為實實如法而一不滿法者反以實減法法少實多二物各以所得多少之數乘法實即物數
按其率出錢六百二十買羽一千二百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭【案以上舛誤不可通参攷上注當云按其率錢多物少反之錢少物多出錢六百二十買羽二千一百翭當以除羽得三實餘二百四十是為三翭復可增一翭然則實餘之數即是多者之錢故曰實多本以六百二十錢為法今以多者減之則其餘三百八十悉是少者之錢故曰法少也二百四十錢一錢四翭乘得九百六十其三百八十錢一錢三翭乘得一千一百四十】是錢有二價物有貴賤故以羽乘反二率也
淳風等按其率者錢多物少反其率知錢少物多多少相反故曰反其率也其率者以物數為法錢數為實反之知以錢數為法物數為實不滿法知實餘也當以餘物化為錢矣法為凡錢而今以化錢減之故以實減法法少知經分之所得故曰法少實多者餘分之所益故曰實多乘實宜以多乘法宜以少故曰各以其所得多少之數乘法實即物數
九章算術卷二