九章算術卷一 晉 劉 徽 注
唐 李淳風 注釋
方田以御田疇界域
今有田廣十五步從十六步問為田幾何答曰一畝又有田廣十二步從十四步問為田幾何答曰一百六十八步
方田術曰廣從步數相乘得積步
此積為田幂凡廣從相乘謂之幂
淳風等按經云廣從相乘得積步注云廣從相乘謂之幂觀斯注意積幂義同以理推之固不當爾何則幂是四方單布之名積乃衆數聚居之稱循名責實二者全殊雖欲同之竊恐不可今以據言幂者據廣從之一方其言積者舉衆步之都數經云相乘得積步即是都數之明文注云謂之為幂全乖積步之本意此注前云積為田幂于理得通復云謂之為幂繁而不當今者注釋存善去非畧為科簡遺諸後學
以畝法二百四十步除之即畝數百畝為一頃
淳風等按此為篇端故特舉頃畝二法餘數不復言者從此可知一畝之田廣十五步從而疏之令為十五行則每行廣一步而從十六步又横而截之令為十六行則每行廣一步而從十五步此即從疏横截之步各自為方凡有二百四十步一畝之地步數正同以此言之則廣從相乘得積步驗以二百四十步者畝法也百畝者頃法也故以除之即得
今有田廣一里從一里為田幾何答曰三頃七十五畝又有田廣二里從三里問為田幾何答曰二十二頃五十畝
里田術曰廣從里數相乘得積里以三百七十五乘之即畝數
按此術廣從里數相乘得積里方里之中有三頃七十五畝故以乘之即得畝數也
今有十八分之十二問約之得幾何答曰三分之二又有九十一分之四十九問約之得幾何答曰十三分之七
約分
按約分者物之數量不可悉全必以分言之分之為數繁則難用設有四分之二者繁而言之亦可為八分之四約而言之則二分之一也雖則異詞至于為數亦同歸爾法實相推動有參差故為術者先治諸分
術曰可半者半之不可半者副置分母子之數以少減多更相減損求其等也以等數約之
等數約之即除也其所以相減者皆等數之重疊故以等數約之
今有三分之一五分之二問合之得幾何答曰十五分之十一
又有三分之二七分之四九分之五問合之得幾何答曰得一六十三分之五十
又有二分之一三分之二四分之三五分之四問合之得幾何答曰得二六十分之四十三
合分
淳風等按合分知數非一端分無定準諸分子雜互羣母參差麤細既殊理難從一故齊其衆分同其羣母令可相併故曰合分
術曰母互乘子并以為實母相乘為法
母互乘子約而言之者其分麤繁而言之者其分細雖則麤細有殊然其實一也衆非錯雜非細不會乘而散之所以通之通之則可并也凡母互乘子謂之齊羣母相乘謂之同同者相與通同共一母也齊者子與母齊勢不可失本數也方以類聚物以羣分數同類者無遠數異類者無近遠而通體知雖異位而相從也近而殊形知雖同列而相違也然則齊同之術要矣錯綜度數動之斯諧其猶佩觿解結無往而不理焉乘以散之約以聚之齊同以通之此其算之綱紀乎其一術者可令母除為率率乘子為齊
實如法而一不滿法者以法命之
今欲求其實故齊其子又同其母令如母而一其餘以等數約之即得知所謂同法為母實餘為子皆從此例
其母同者直相從之
今有九分之八減其五分之一問餘幾何答曰四十五分之三十一
又有四分之三減其三分之一問餘幾何答曰十二分之五
減分
淳風等按諸分子母數各不同欲知餘幾減餘為實故曰減分
術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一
母互乘子者知以齊其子也以少減多者知齊故可相減也母相乘為法者同其母也母同子齊故如母而一即得
今有八分之五二十五分之十六問孰多多幾何答曰二十五分之十六多多二百分之三
又有九分之八七分之六問孰多多幾何答曰九分之八多多六十三分之二
又有二十一分之八五十分之十七問孰多多幾何答曰二十一分之八多多一千五十分之四十三
課分
淳風等按分各異名理不齊一較其相近之數故曰課分也
術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法而一即相多也
淳風等按此術母互乘子以少分減多分與減分義同惟相多之數意與減分有異減分知其餘數有幾課分知其餘數相多也
今有三分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平答曰減四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平于十二分之七
又有二分之一三分之一四分之三問減多益少各幾何而平答曰減三分之二者一四分之三者四并以益二分之一而各平于三十六分之二十三
平分
淳風等按平分知諸分參差欲令齊等減彼之多增此之少故曰平分也
術曰母互乘子
齊其子也
副并為平實
淳風等按母互乘子副并為平實知定此平實主限衆子所當損益知限為平【案此注有舛誤據首問第二數母三第三數母四互乘第一數子一得十二第一數母三第三數母四互乘第二數子二得二十四第一第二數母各三互乘第三數子三得二十七并之共六十三為平實母三三相乘又與四乘得三十六為法列數凡三即以三乘二十得三十六乘二十四得七十二乘二十七得八十一為列實亦以三乘法三十六得一百八平實六十三減列實三十六少二十七減七十二餘九減八十一餘十八約之九為一則十八為二而二十七為三平實六十三為七法一百八為十二命為十二分之七設以十二作三數三分之一則四也三分之二則八也四分之三則九也定平實七立限八減一九減二皆七所減之一二益于四亦七損多益少適如其限宜云定此平實立限如限為平立訛作主如訛作知遂不可通】
母相乘為法
母相乘為法知亦齊其子又同其母
以列數乘未并者各自為列實亦以列數乘法
此當副并列數為平實若然則重有分故反以列數乘周齊
淳風等按問云所平之分多少不定或三或二列位無常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一準平分不可豫定多少故直云列數而已
以平實減列實餘約之為所減并所減以益于少以法命平實各得其平
今有七人分八錢三分錢之七問人得幾何答曰人得一錢二十一分錢之四
又有三人三分人之一分六錢三分錢之一四分錢之三問人得幾何答曰人得二錢八分錢之一
經分
淳風等按經分者自合分已下皆與諸分相齊此乃直求一人之分以人數分所分故曰經分也
術曰以人數為法錢數為實實如法而一有分者通之母互乘子知齊其子母相乘者同其母以母通之者分母乘全内子散全則為積分積分則與子相通故可令相通凡數相與者謂之率率知自相與通有分則可散分重疊則約也等除法實相與率也故散分者必令兩分母相乘為法也
重有分者同而通之
又以法分母乘實實分母乘法此謂法實俱有分故令分母各乘全分内子又令分母互乘上下
今有田廣七分步之四從五分步之三問為田幾何答曰三十五分步之十二
又有田廣九分步之七從十一分步之九問為田幾何答曰十一分步之七
又有田廣五分步之四從九分步之五問為田幾何答曰九分步之四
乘分
淳風等按乘分者分母相乘為法子相乘為實故曰乘分
術曰母相乘為法子相乘為實實如法而一
凡實不滿法者而有母子之名若有分以乘其實而長之則亦滿法乃為全耳又以子所乘乘故母當報除報除者實如法而一也今子相乘則母各當報除因令分母相乘而連除也此田有廣從難以廣諭設有問者曰馬二十匹直金十二斤今賣馬二十匹三十五人分之人得幾何答曰三十五分斤之十二其為之也當如經分術以十二斤金為實三十五人為法設更言馬五匹直金三斤今賣馬四匹七人分之人得幾何答曰人得三十五分斤之十二其為之也當齊其金人之數皆合初問入于經分矣然則分子相乘為實者猶齊其金也母相乘為法者猶齊其人也同其母為二十馬無事于同但欲求齊而已又馬五匹直金三斤完全之率分而言之則為一匹直金五分斤之三七人賣四匹馬一人賣七分馬之四分子與人交互相生所從言之異而計術則三術同歸也
今有田廣三步三分步之一從五步五分步之二問為田幾何答曰十八步
又有田廣七步四分步之三從十五步九分步之五問為田幾何答曰一百二十步九分步之五
又有田廣十八步七分步之五從二十三步十一分步之六問為田幾何答曰一畝二百步十一分步之七大廣田
淳風等按大廣田知初術直有全步而無餘分次術空有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大廣
術曰分母各乘其全分子從之
分母各乘其全分子從子者通全步内分子如此則母子皆為實矣
相乘為實分母相乘為法
猶乘分也
實如法而一
今為術廣從俱有分當各自通其分命母入者須還出之故令分母相乘為法而連除之
今有圭田廣十二步正從二十一步問為田幾何答曰一百二十六步
又有圭田廣五步二分步之一從八步三分步之二問為田幾何答曰二十三步六分步之五
術曰半廣以乘正從
半廣知以盈補虚為直田也亦可半正從以乘廣按半廣乘從以取中平之數故廣從相乘為積步畝法除之即得也
今有斜田一頭廣三十步一頭廣四十二步正從六十四步問為田幾何答曰九畝一百四十四步
又有斜田正廣六十五步一畔從一百步一畔從七十步步問為田幾何答曰二十三畝七十步
術曰并兩斜而半之以乘正從若廣又可半正從若廣以乘并畝法而一
并而半之者以盈補虚也
今有箕田舌廣二十步踵濶五步正從三十步問為田幾何答曰一畝一百三十五步
又有箕田舌廣一百一十七步踵廣五十步正從一百三十五步問為田幾何答曰四十六畝二百三十二步半
術曰并踵舌而半之以乘正從畝法而一
中分箕田則為兩斜田故其術相似又可并踵舌半正從以乘之
今有圓田周三十步徑十步
淳風等按術意以周三徑一為率周三十步合徑十步今依密率合徑九步十一分步之六
問為田幾何答曰七十五步
此于徽術當為田七十步一百五十七分步之一百三
淳風等按依密率為田七十一步二十二分步之一十三
今有圓田周一百八十一步徑六十步三分步之一淳風等按周三徑一周一百八十一步徑六十步三分步之一依密率徑五十七步二十二分步之一十三
問為田幾何答曰十一畝九十步十二分步之一此于徽術當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十三
淳風等按依密率當為田十畝二百五步八十八分步之八十七
術曰半周半徑相乘得積步
按半周為從半徑為廣故廣從相乘為積步也假令圓徑二尺圓中容六觚之一面【案六觚原本訛作六弧攷六角形其平面亦有六八角形其平面亦有八古人謂之六觚八觚若截圓形為六古人謂之觚背具弧即圓周不得云圓中容六弧之一面後或言弧或言觚義各不同原本觚皆訛作弧遂蒙混不可通今並改正】與圓徑之半其數均等合徑率一而外周率三也【案劉徽以周三徑一乃六觚之率圓内容六觚其觚面適為六弧之弦圓周大于六觚之周為六弧背與六弧弦之差其說非圖莫顯今補圖附于後】
又按為圓以六觚之一面乘一弧半徑【案一弧二字衍當刪】二因而六之【案此句有訛舛當改云三之上衍二因而三字】得十二觚之幂若又割之次以十二觚之一面乘一弧之半面【案一弧之三字亦衍當刪】四因而六之【案此句亦有訛舛當云六之上衍四因而三字】則得二十四觚之幂割之彌細所失彌少割之又割以至于不可割則與圓周合體而無所失矣觚面之外又有餘徑以面乘徑則幂出觚矣若夫觚之細者與圓合體則表無餘徑表無餘徑則幂不外出矣以一面乘半徑觚而裁之每輒自倍故以半周乘半徑而為圓幂此一周徑謂至然之數非周三徑之一率也周三者從其六觚之環耳以推圓規多少之較【案較原本訛作覺今改正】乃弓之與弦也然世傳此法莫肯精覈學者踵古習其謬失不有明據辯之斯難凡物類形象不圓則方方圓之率誠著于近則雖遠可知也由此言之其用博矣謹按圓驗更造密率恐空設法數昧而難譬故置諸檢括謹詳其記注焉
割六觚以為十二觚術曰置圓徑二尺半之為一尺即圓裏觚之面也【案觚之而原本訛作弦之面後觚之半面訛作弧之半面今改正】令半徑一尺為弦【案原本訛作為弧今改正】半面五寸為句為之求股以句幂二十五寸減弦幂餘七十五寸開方除之下至秒忽又一退法求其微數微數無各知以為分子以下為分母約作五分忽之二故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二【案二秒原本訛作二絲今改正】以減半徑餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三謂之小句【案此下原本衍小句知半面五寸之句九字】觚之半面又謂之小股為之求弦其幂二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽餘分棄之【案此句原本訛作全分并之攷弦幂五忽之下尚有一六餘分無所謂全分也當是傳寫舛誤遂不可通後數條皆云餘分棄之令據以改正】開方除之即十二觚之一面也
割十二觚以為二十四觚術曰亦令半徑為弦半面為句為之求股置上下弦幂四而一得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽餘分棄之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股六寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以減半徑餘三分四釐七秒四忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小弦其幂六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽餘分棄之開方除之即二十四觚之一面也
割二十四觚以為四十八觚術曰亦令半徑為弦半面為句為之求股置上下弦幂四而一得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽餘分棄之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股九寸九分一釐四毫四秒四忽五分忽之四以減半徑餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小弦其幂七百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽餘分棄之開方除之得小弦一寸三分八毫六忽餘分棄之即四十八觚之一面以半徑一尺乘之又以二十四乘之得幂三萬一千三百九十三億四千四百萬忽以百億除之得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四即九十六觚之幂也
割四十八觚以為六十六觚術曰亦令半徑為弦半面為句為之求股置次上弦幂四而一得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽餘分棄之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九以減半徑餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股為之求小弦其幂四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽餘分棄之開方除之得小弦六分五釐四毫三秒八忽餘分棄之即九十六觚之一面以半徑一尺乘之又以四十八乘之得幂三萬一千四百一十億二千四百萬忽以百億除之得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四即一百九十二觚之幂也以九十六觚之幂減之餘六百二十五分寸之一百五謂之差幂倍之為分寸之二百一十【為分寸者蒙上省文謂六百二十五分寸之二百一十也】即九十六觚之外弧田所謂以弦乘矢之凡幂也【案弧田下原本衍九千六字今刪】加此幂于九十六觚之幂得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九則出圓之表矣故還就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以為圓幂之定率而棄其餘分以半徑一尺除圓幂倍之得六尺二寸分分即周數令徑自乘為方幂四百寸與圓幂相折圓幂得一百五十七為率方幂得二百為率方幂二百其中容圓幂一百五十七也圓率猶為微少按弧田圖令方中容圓圓中容方内方合外之半半然則圓幂一百五十七其中容方幂一百也【案一百原本訛作二百今改正】又令徑二尺與周六尺二寸八分相約周得一百五十七徑得五十則其相與之率也周率猶為微少也晉武庫中漢時王莽作銅斛其銘曰律嘉量斛内方尺而圓其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗以此術求之得幂一百六十一尺有奇其數相近矣此術微少而斛差幂六百二十五分寸之一百五以十二觚之幂為率消息當取此分寸之三十六【案取此分寸亦蒙上省文謂六百二十五分寸之三十六也】以增于一百九十二觚之幂以為圓幂三百一十四寸二十五分寸之四置徑自乘之方幂四百寸令與圓幂通相約圓幂三千九百二十七方幂得五千是為率方幂五千中容圓幂三千九百二十七圓幂三千九百二十七中容方幂二千五百也以半徑一尺除圓幂三百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八即周數也全徑二尺與周數通相約徑得一千二百五十周得三千九百二十七即其相與之率若此者蓋盡其纎微矣舉而用之上法仍約耳當求一千五百三十六觚之一面得三千七十二觚之幂而裁其微分數亦宜然重其驗耳
淳風等按舊術求圓皆以周三徑一為率若用之求圓周之數則周少徑多用之求其六觚之田乃與此率合會耳何則假令六觚之田觚間各一尺為面自然從角至角其徑二尺可知【案二尺原本訛作一尺今改正】此則周六徑二與周三徑一已合恐此猶為難曉今更引物為喻設令刻物作圭形者六枚枚别三面皆長一尺攢此六物悉使鋭頭向裏則成六觚之周角徑亦皆一尺更從觚角外畔圍繞為規則六觚之徑盡達規矣當面徑短不至外規若以徑言之則為規六尺徑三尺面徑皆一尺【案此三句有舛誤當云若以言觚言之則為周六尺徑二尺面皆一尺言觚二字訛作徑周訛作規二訛作三面字下又衍徑字遂不可通】面徑股不至外畔定無二尺可知故周三徑一之率于圓周乃是徑多周少徑一周三理非精密蓋術從簡要舉大綱畧而言之劉徽特以為疎遂改張其率但周徑相乘數難契合徽雖出斯一法終不能究其纎毫也祖沖之以其不精就中更推其數今者修撰攈摭諸家攷其是非沖之為密故顯之于徽術之下冀學者知所裁焉【案沖之密率較徽率為密其約率較徽率為踈淳風等所稱密率皆約率以之譏徽似誤】
又術曰周徑相乘四而一
此周與上觚同耳周徑相乘各當一半而今周徑兩全【案原本兩訛作田今改正】故兩母相乘為四以報除之于徽術以五十乘周一百五十七而一即徑也以一百五十七乘徑五十而一即周也新術徑率猶當微少據周以求徑則失之長據徑以求周則失之短諸據見徑以求幂者皆失之于微少據周以求幂者皆失之于微多
淳風等按依密率以七乘周二十二而一即徑以二十二乘徑七而一即周依術求之即得
又術曰徑自相乘三之四而一
按圓徑自乘為外方三之四而一者是為圓居外方四分之三也若令六觚之一面乘半徑其幂即外方四分之一也因而三之即亦居外方四分之三也是為圓裏十二觚之幂耳取以為圓失之于微少于徽新術當徑自乘又以一百五十七乘之二百而一淳風等按密率令徑自乘以十一乘之十四而一即圓幂也
又術曰周自乘十二而一
六觚之周其于圓徑三與一也故六觚之周自相乘為幂若圓徑自乘者九方九方凡為十二觚者十有二故曰十二而一即十二觚之幂也今此令周自乘非但為圓徑自乘者九方而已然則十二而一所得又非十二觚之幂也若欲以為圓幂失之于多矣以六觚之周十二而一可也于徽新術直令圓周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圓幂其率三百一十四者周自乘之幂也置周數六尺二寸八分令自乘得幂三十九萬四千三百八十四分又置圓幂三萬一千四百分皆以一千二百五十六約之得此率
淳風等按方面自乘即得其積圓周求其幂假率乃通【案假原本訛作股今改正】但此術所求用三一為率圓田正法半周及半徑以相乘今乃用全周自乘故須以十二為母何者據全周而求半周則須以二為法就全周而求半徑復假六以除之是二六相乘除周自乘之數依密率以七乘之八十八而一
今有田下周三十步徑十六步問為田幾何答曰一百二十步
今有田下周九十九步徑五十一步問為田幾何答曰五畝二十六步四分步之一
術曰以徑乘周四而一
此術不驗故推方錐以見其形假令方錐下方六尺高四尺四尺為股下方之半三尺為句正面邪為弦弦五尺也令句弦相乘【案句弦原本訛作句股今改正】四因之得六十尺即方錐四面見者之幂若令其中容圓錐圓錐見幂與方錐見幂其率猶方幂之與圓幂也【案圓幂原本訛作圓錐今改正】按方錐下六尺則方周二十四尺以五尺乘而半之則亦方錐之見幂故求圓錐之數折徑以乘下周之半即圓錐之幂也今田上徑圓穹而與圓錐同術則幂失之于少矣然其術難用故畧舉大較施之大廣田也求圓錐之幂猶求圓田之幂也今用兩全相乘故以四為法除之【案原本脱四字今補】亦如圓田矣開立圓術說圓方諸率甚備可以驗此
今有弧田弦三十步矢十五步問為田幾何答曰一畝九十七步半
又有弧田弦七十八步二分步之一矢十三步九分步之七問為田幾何答曰二畝一百五十五步八十一分步之五十六
術曰以弦乘矢矢又自乘并之二而一
方中之圓圓裏十二觚之幂合外方之幂四分之三也方中合外方之半則朱實合外方四分之一也弧田半圓之幂也故依半圓之體而為之術以弦乘矢而半之【案弦原本訛作弧今改正】則為黄幂矢自乘而半之則為二青幂青黄相連【案注文此書舊有圖而缺又上圓田注内亦引弧田圖詳攷其說非圖不顯今補圖于後】為弧體法當用規今觚面不至外畔【案原本訛作令弧而不至外畔今改正】失之于少矣圓舊術以周三徑一為率俱得十二觚之幂【案原本訛作十二弧之弧今改正】亦失之子少也與此相似指驗半圓之幂耳若不滿半圓者益復疎濶宜句股鋸圓材之術以弧弦為鋸道長以矢為句深而求其徑【案此謂弧矢形求圓徑其術以弧弦折半自乘矢除之加矢為圓徑】既知圓徑則弧可割分也割之者半弧田之弦以為股其矢為句為之求弦即小弧之弦也以半小弧之弦為句半圓徑為弦為之求股以減半徑其餘即小弦之矢也割之又割使至極細但舉弦矢相乘之數則必近密率矣然于算數差繁必欲有尋究也若但度田取其大舊術為約耳
今有環田中周九十二步外周一百二十二步徑五步此欲令與周三徑一之率相應故言徑五步也據中外周以徽術言之當徑四步一百五十七分步之一百二十二也
淳風等按依密率合徑四步二十二分步之十七
問為田幾何答曰二畝五十五步
于徽術當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三
淳風等按依密率為田二畝三十步二十二分步之十五
術曰并中外周而半之以徑乘之為積步
此田截而中之周則為長【案此處有脱誤當云截齊中外之周周則為長】并而半之知亦以盈補虚也此可令中外周各自為圓田以中圓減外圓餘則環實也
又有環田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一徑十二步三分步之二
此田環而不通匝故徑十二步三分步之二若據上周求徑者此徑失之于多過周三徑一之率蓋為疎矣于徽術當徑八步六百二十八分步之五十一淳風等按依周三徑一攷之合徑八步二十四分步之一十一依密率合徑八步一百七十六分步之一十三
問為田幾何答曰四畝一百五十六畝四分步之一于徽術當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也依周三徑一為田三畝二十五步六十四分步之三十五
淳風等按密率為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也
術曰置中外周步數分母子各居其下【案原本脱母字今據注補】母互乘子通全步内分子【案此句上下皆有脱文當云分母相乘通全步内分子并而半之】以中周減外周餘半之【案此别記術之小異亦有脱文當云又可以中周減外周餘半之以益中周】徑亦通分内子以乘周為實分母相乘為法除之為積步餘積步之分【案此句下有脱文當云餘積步之分等數約之】以畝法除之即畝數也
按此術并中外周步數于上以分母子置于下母互乘子者為中外周俱有餘分故以互乘齊其子母相乘同其母子齊母同故通全步内分子半之 【二字上有脱文當云并而半之】知以盈補虚得中平之周周則為從徑則為廣故廣從相乘而得其積既合分母還須分母出之故令周徑分母相乘而連除之即得積步不盡以等數除之而命分以畝法除積步得畝數也
九章算術卷一