歷算全書卷六十
宣城梅文鼎撰
壍堵測量二
總論
塹堵測量者句股法也以西術言之則立三角法也古九章以立方斜剖成塹堵其兩端皆句股再剖之則成錐體而四面皆句股矣任以錐體之一面平寘為底則其鋭上指環而視之皆成立面之句股而各有三角三邊故謂之立三角也
立三角之法以測體積方圓斜側靡所不通其測渾圓之弧度則有二理其一用視法如弧三角所詮用三角三弧之正弦切線移於平面【謂渾圓立剖之平面】即成三層句股相似之比例今謂之渾圓容立三角也其一不用視法而用實數如句股錐形等法用三弧三角之割線餘弦各於其平面自成相似之句股以為比例【三弧直剖至渾圓之心即各成句股形之面】今謂之塹堵測量也【渾圓内容之立三角亦塹堵之分形而塹堵測量所測亦渾圓之度因書匪一時所為而意各有屬其名遂别二而一一而二者也】
以上通論立三角及塹堵測量命名之意并其同異之處【因立三角有塹堵之名因渾圓内三層句股生塹堵之用故存此二者以為塹堵測量基本】
凡數之可算者皆可作圖以明之故渾圓可變為平圓如古者蓋天之圖是也數之可算可圖者皆可製器以象之故渾圓可剖為錐體塹堵測量之儀器是也凡測算之器至今日大備且益精益簡古者渾儀經緯相結為儀三重至郭太史之簡儀立運儀則一環而已足今則更省之為象限儀是益簡益精之效也至於渾象無與於測而有資於算所以證理也西法之簡平渾蓋以平寫渾亦可謂工巧之至獨未有器以證八線夫用句股以算渾圓其法莫便於八線然八線之在平圓者可以圖明在渾圓者難以筆顯【鼎】蓋嘗深思其故而見渾圓中諸線犁然有合於古人塹堵之法乃以堅楮肖之為徑寸之儀而三弧三角各線所成之句股了了分明省筆舌之煩以象相告於作圓布算不無小補而又非若渾象之難成因名之曰塹堵測量從其質也塹堵形析渾象之一體亦如象限儀割渾儀之一隅環而測之則象限即渾儀之全周也周徧析之則塹堵即渾象之全體也是故塹堵形可析為兩可合為一其析者一為句股錐【亦曰立三角儀】則起二分訖二至一為句股方錐【亦曰方直儀】則起二至訖二分起二分者西率起二至者古率也是兩者九十度中皆可為之【自分訖至九十度並可為句股錐自至訖分九十度並可為句股方錐】然至半象以上割切三線太長溢出於方塹堵之外故又有互用之法也其合者近分度用句股錐近至度用句股方錐以黄道四十七度赤道四十五度為限過此者互用其餘如是則兩錐形合之成方塹堵矣
方塹堵内又成圓塹堵二其一下為赤道圓象限而一為撱形之象限距度之割切二線所成也其一下為撱形象限而上為黄道之圓象限距度正弦黄道半徑所成也【兩圓塹堵之用已括於兩錐形内】兩圓塹堵内又以黄道正弦距度正弦成小方塹堵之象則郭太史圓容方直本法也於是又有圓容方直儀簡法而立三角之儀遂有三式【一句股錐其形四鋭一方直儀其底長方一圓容方直簡法儀其底為渾圓幂之分】
之三者或兼用割切或專用正弦而並不用角合渾圓内三層句股觀之可以明立法之根
以上論塹堵測量儀器【句股錐形及句股方錐形二種為塹堵測量正用而圓容方直形專用正弦成小塹堵尤正用中之正用也此小塹堵在兩重圓塹堵内故兼論之又此小塹堵足闡授時弧矢之祕因遂以郭法附焉】
問八線生於角用八線而不用角何也曰角與弧相應故用角即用弧也用弧即用角也明於斯理而後可以用角渾圓内三層句股是也明於斯理而後可以不用角塹堵三儀是也用角者西法也而用角即用弧則通於古法也不用角者古法也而用弧即用角則通於西法也于是而古法西法可以觀其會通息其煩喙矣
以上論角即弧解之理
立三角法序
立三角者量體之法也西學以幾何原本言度數而所譯六卷之書止於測面其測體法則未之及蓋難之也余嘗以句股法釋幾何而稍為推廣其用謂之幾何補編亦曰立三角法本為體積而設然其中義類頗有與渾圓弧度之法相通者故摘録之以明塹堵測量之理
立三角法摘録
總論
一立三角為有法之形
立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆為有法之形故立三角亦不拘斜正而皆為有法之形
一立三角為量體之密率
凡量體者必析之析之成立三角形則可以知其容積可得而量矣若不可以立三角析者則為無法之形不可以量
一立三角即錐體
立三角任以一面平安如底則餘三面皆斜立【亦有一面正立者】而鋭必在上即成三角立錐
一各種錐體皆立三角之合形
凡錐體必上尖下濶任取其一面觀之皆斜立之平三角也凡錐形自其尖切至底則其中剖之立面亦平三角也錐體之底或四邊五邊以至多邊若以對角綫分其底又即皆成平三角也故四稜錐可分為兩五稜錐可分為三六稜以上無不可分分之皆立三角形故知一切錐體皆立三角之合形也
底之邊多至于三百六十又析之為分為秒以此為底皆可成錐體再析之至于無數即成平員底可作員錐要之皆小平三角面無數以成之者也
一各種有法之形亦皆立三角之合形
如立方體依其稜剖至心成立分體皆扁方錐其斜面輳心皆成立三角長方體亦然
四等面體從其稜剖至心成四分體八等面則成八分體二十等面成二十分體皆立三角錐
十二等面依稜剖至心成十二分體皆五稜錐其立面五皆立三角
渾員形以渾員面冪為底半徑為高作大員錐而成渾積凖前論皆無數立三角所成然則渾員亦立三角也
渾員既為立三角所成則半之而為半渾員【一平員面一半渾員面如員瓜中剖】或再分之而為一象限或更小於象限之渾員【細分弧面自象限以内至于一度内若干分秒如剖橘瓤並一弧面兩半平員面】以渾員之理通之皆立三角所成
一無法之形有面有稜即皆為立三角所成
凖前論各依其楞線割之至底或依對角線斜剖之即皆成立三角而無法之形皆可為有法之形
一立三角體之形不一而皆有三角三邊
非四面不能成體故立三角必四面非三角三邊不能成面故立三角體之面皆三角三邊
約舉其類有四面相等者即四等面形也【其面冪等其稜之長短亦等】
有三面相等而一面不等者其不等之一面必三邊俱等餘三稜則自相等
【以上皆形也四等面任以一面為底其雉尖正立居中三等面形以等邊之一面為底錐尖亦正立居中】有二面兩兩相等者
有二面相等餘二面不等者
有四面各不相等者
有三面非句股而一面成句股者有兩面成句股者【其句股或等或否】
有四面並句股者句股立錐也
【以上不皆正形而皆為有法之形】
一立三角形有實體有虛體
實者如臺如墖如堤虛者如井如池又如隔水測物皆自其物之平面角作直線至人目即成虛立錐體以人目為其頂鋭而所測平面則其底也所作直線皆為其稜若所測平面為四邊五邊以上皆可作對角線分為立三角錐形【虛體實體並同一法】
立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直線至星宿所居之度則此三星之相距皆弧度也三弧度為邊即成弧三角形以為之底其三直綫皆大員半徑以為之稜而合于地心以為之頂鋭亦立三角之虛形【即弧三角錐體】
若于渾球體作三大圈相交成弧三角形從三角作直線至員心依此析之即成實體與上法並同一理
一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安則其鋭尖上指如人之立
眠者以底側立如堵牆而錐形反横如人之眠此惟正形之錐則有之【既定一面為底則底在下者為立在旁者為眠】如虛形則不拘正斜皆以所測為底
又如弧三角錐以渾員面上所成之弧三角為底以三直線輳于渾體之心為其頂鋭則四面八方皆可為底而鋭常在心不特能眠能立亦且能倒能欹【亦惟有底有鋭之正形則然若他形底無定名隨人所置】眠體倒體以及他形之欹側不同而皆為有法之形者三角故也
一古法有壍堵陽馬鱉臑芻甍等法皆可以立三角處之【壍堵一作塹堵】
凡立方體從其面之一稜依對角斜線剖至其底相對之一稜則其積平分而成壍堵形
【甲乙為頂有袤無廣丙丁戊己為方底或長方則丙丁同巳戊為袤丁己仝丙戊為廣乙丙同甲丁為其高甲丁乙丙為立面甲乙戊己為斜面皆長方乙丙戊同甲丁巳為兩端立面皆句股形而相對相等】
【壍堵形有如屋者甲乙頂袤如屋脊甲乙丙丁及甲乙戊巳兩長方皆斜面而相等丙丁戊己為底乙丙戊與甲巳丁兩圭形相對而等而以乙辛為其高其辛丙及辛戊俱平分而等】
【又或甲乙頂袤不居正中而近一邊然甲乙與丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及甲巳乙戊兩斜面雖有大小而並為長方形乙辛垂線不能分丙辛及辛戊為平分而必與丙戊底為十字正角則乙辛為正高】
以上三者皆壍堵之正形並以高乘底折半見積何也皆立方之半體其兩端皆立三角形也【第一形兩端為句股第二第三皆以乙辛中剖成兩句股】
凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙為頂長丙丁戊己為底眠者以戊己為頂長反以甲乙丙丁為底如隔水測懸崖之類
【又有斜壍堵形其各綫不必平行底不必正方但俱直線則底與兩斜面皆可作對角綫以分為三角形而諸數可測實體虛體並有之于測量之用尤多】
斜壍堵本為無法之形而亦能為有法之形者可析之成三角也
凡壍堵形從頂上一角依對角線斜剖之為兩則成一立方錐一句股錐
【塹堵形從乙角作乙巳乙丁两對角線依線剖之則成两形】
【立方錐一 句股錐一】
【名陽馬 名鱉臑】
陽馬形【以丙丁戊己方形為底以乙為頂鋭而偏居一角故乙丙直立如垂線以為之高其四立面皆成句股形故又名句股立方錐】
論曰陽馬形從壍堵第一正形而分故其高線直立于一隅乃立方之楞線四面句股形因此而成是為句股方錐之正體若斜壍堵等形之分形則但可為斜立方錐而不得為句股方錐亦非陽馬
【斜立方錐者其頂不居正中然又不能正立一隅故非句股立錐而但為斜立方錐如上二形頂既偏側底亦非方亦斜立錐形也然其立面皆三角故亦為有法之形斜立方錐亦可立可眠皆可以立三角法御之但不如句股立方錐之有一定比例】
鱉臑形【以甲乙為上袤而無廣以丁巳為下廣而無袤故稱鱉臑象形也其各面或句股或不為句股而皆三角故又名三角錐】
句股立錐形【其上有袤而無廣下有廣而無袤並同鱉臑所異者甲角正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面並成句股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜面並成句股又丁角正方故甲丁巳平面乙丁巳斜面並成句股是四面皆句股也故謂之句股方錐而不得僅名鱉臑】
論曰鱉臑中有句股立錐猶斜立方錐中之有句股方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明測量比例之理
又論曰立三角所以為有法形者謂其可施八線也而八線原為句股之比例此二者既通體皆句股所成故在有法形中尤為有法矣
又論曰若于句股方錐再剖之即又成二句股錐而皆等積故陽馬為立方三之一句股錐則為六之一皆立方之分體也
又論曰句股方錐及句股錐皆生于塹堵故塹堵形為測量之綱要
【芻薨形亦如屋而兩端漸殺故頂窄而底寛其丙丁戊己底或正方或長方甲乙頂小于丙丁或居正中或稍偏然皆與丙丁及戊己平行】
芻甍蓋取草屋之象乃壍堵形之一種亦可分為三鱉臑
又有芻童者形如方臺皆立方之變體方臺面與底俱正方蒭童則長方而面小底大則同亦皆可分為立三角
凖前論方臺作對角線並可為兩芻甍即可再分為六鱉臑即皆立三角錐也
論曰量面者必始于三角量體者必始于鱉臑皆有法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角耳量體者析之至鱉臑而止再析之仍鱉臑耳面之可以析為三角者即為有法之面體之可以析之為鱉臑者即為有法之體蓋鱉臑即立三角之異名也量體者必以立三角非是則不可得而量
算法
凡算立三角體須求其正高以正高乘底以三而一見積其法有三其一頂居一角其稜直立即用為正高其二頂鋭不居一角而在三角之間其三頂斜出底三邊之外並以法求其垂線為正高
假如巳甲乙丙立三角體甲乙丙為底已為頂鋭正居丙角之上巳丙如垂線為高先以乙丙五十六尺甲乙邊【六十一尺】甲丙邊【七十五尺】求
其羃積【一千六百三十尺】以乘已丙高【四十尺】得【六萬七千二百尺】為實以三為法除之得【二萬二千四百尺】為立三角錐體若欲知已乙甲已兩斜弦依句股求弦即得【已丙既直立則恒為股以股自乘冪加乙丙句冪為弦冪開方得已乙弦又以股冪加甲丙句冪為弦冪開方得甲乙弦】若已頂不居一角而在三角之中則已丙非正高乃斜稜也法當分為兩形其法依丙已稜直剖至底
以上二形乃中剖為二之象其中剖之立
面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂線即為正高如上法先求甲乙丙羃以乘已戊高得數為實三除見積
又法不必剖形但于形外任依一楞如丙已于庚作垂線至丙以法取庚點與已頂平行即庚丙為正高與己戊等【或量得庚已横距為句以己丙為弦求其股即得庚丙正高亦同】
立三角之頂有斜出者或在底外則于已頂作垂線至庚與甲乙丙底平行乃任用相近一稜如己乙為弦量庚乙之距為句依法求其股得己庚為其正高以乘底三除見積
問己頂既居形外己庚何以得為正高也曰此易知也但補作甲庚虛線成四邊形為底則為四稜立錐而己庚為其正高甲乙丙底乃其底之分也亦必以己庚為正高矣
假如乙庚丙甲為底丙甲與乙庚等丙乙與甲庚等或斜方或正方其己庚一稜正立如垂則即為正高正高乘方底三除之即體積也若從甲乙對角線分其底為均
半又依甲己甲乙二稜從頂直剖之至底則分為兩三角形而各得其積之半矣【底既平分為兩則其積亦平分為兩】其己庚乙甲形與己甲乙丙形既皆半積則相等而庚乙甲底與甲乙丙底又等則其高亦等而己庚乙甲形既以己庚為高矣則己甲乙丙形之高非己庚而何又論曰量體積者必先知面猶量面冪者必先知綫也然則量體者亦先知線矣是故量體之法可轉用之以求線也【量體者有先知之面冪有求而得之面冪夫求之而得面者必先求其面冪之界界即線也故量體之法可用之以求線也】何謂以量體之法求綫曰測量是也前論立三角有虛體為測量之用夫虛體者無體者無體而有線如實體之有稜故可以量體之法求之也如所測之物有三點即成三邊三角當以三直線測之則立三角錐形矣所測有四點當以四直線測之則四稜立錐形矣兩測則又為塹堵形矣故測量之法可以求線也
又論曰用立三角以量體者所用者仍平三角也而用三角以量面者所用者仍句股也吾㠯是而知聖人立法之精深廣大
渾圜内容立三角體法
全形為塹堵
分形為鼈臑即立三角體又為句股
立錐西法所用
若内切小塹堵則為圜容方直形即
郭太史弧矢法
先解全形 塹堵體
亢戊乙卯為塹堵斜面 其形長方
卯乙為渾圜半徑【卯為渾圜之心】亢戊為四十五度切線與卯乙同度同為横邊 亢卯為乙角割線與戊乙同度同為直邊
亢氐戊丁為塹堵立面 其形横長方
亢氐者乙角切線也與戊丁同度以為之高 亢戊及氐丁皆四十五度切線與半徑同度以為之濶
亢氐卯戊丁乙皆塹堵兩和之牆 其形皆立句股氐卯同丁乙皆半徑為句 亢氐同戊丁皆乙角切線為股 亢卯同戊乙皆乙角割線為弦
卯乙丁氐為塹堵之底 其形正方
卯乙及卯氐皆渾圜半徑其對邊悉同
法曰先為立方體以容渾球使北極在上南極在下皆正切于立方底蓋之中心則赤道平安而赤道之二分二至亦皆在立方四面之中心矣
次依赤道横剖方體為均半而用其上半為半立方容半渾圜形則二分二至皆在半立方之底線各中心而赤道全圈居其底
次依二分二至從北極十字剖之又成四小立方各得原立方八之一而小立方内各容渾圜分體八之一此小立方有一角之楞直立為北極之軸上為北極下即渾圜心卯角也其立方根皆渾圜半徑
次依黄赤道大距取切線為高作横線于小立方夏至之一邊即亢戊線
次依亢戊横線斜剖至對邊之足則成塹堵矣【對邊之足即卯乙也本為黄赤道半徑今在小立方體為方底之邊故云足也】
塹堵體有五面 其一斜面【亢戊乙卯長方】 其三立面【一亢氐戊丁長方二亢氐卯戊丁乙相等兩句股】 其一方底【卯乙氐丁平方】
塹堵形面 有赤道象弧在方底 有黄赤大距弧在立句股邊 即兩和之牆
底形 底形正方 其卯角即黄赤道心
氐甲乙為赤道一象限 乙為春分
氐為夏至赤道 卯氐及卯乙皆
赤道半徑 其對邊氐丁及乙丁皆
四十五度切線
立句股面形一 立句股之面有二【一亢氐卯一戊丁乙】皆同角
同邊 亢氐卯形内有氐癸弧為夏
至黄赤大距二十三度半強 氐卯
為赤道半徑 癸卯為黄道半徑
卯角為黄赤大距角【氐癸弧之角】 亢氐
者氐癸弧之切線【亦即卯角切線】 亢卯者
氐癸弧之割線【亦即卯角割線】
癸弧之割線【亦即卯角割線】
立句股面形二 戊乙丁形即前圖亢氐卯形之對面
戊丁高同亢氐切線【如股】 戊乙斜
線同亢卯割線【如弦】 丁乙横線同氐
卯【如句】 乙角同卯角
又有黄道象弧在斜面
斜面形 斜面形長方【其斜立之勢依黄道】 其卯角為
黄道心【即赤道心】 乙丙癸為黄道一象
限 乙為春分【與赤道同用】 癸為黄道
夏至 卯癸及卯乙皆黄道半徑【内卯
乙與赤道同用】 亢卯為二十三度半強之
割線【夏至黄赤大距割線】 其相對戊乙邊與亢卯割線同度亢戊邊與卯乙半徑相對同度乃四十五度之切線【與底上切線氐丁相應】
立面形 立面形亦長方其勢直立 亢戊及
氐丁二邊為其濶皆四十五度切線
與半徑同度 亢氐及戊丁為其高
皆二十三度半之切線【夏至黄赤大距切線】以亢戊邊庋起斜面之亢戊邊而成
角體仍以氐丁邊聯于方底之氐丁
邊則其形直立矣
次解分形 立三角體【古謂鼈臑即句股錐】
内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙卯弧三角錐
卯為渾圜心【黄赤同用】 卯乙渾圜半徑【黄赤同用】 乙丙弧為黄道經度 丙卯為黄道半徑 乙甲弧為赤道經度甲卯為赤道半徑 丙甲弧為黄赤距緯 乙為春
分點 酉乙未角為春分角二十三度半與二至大距之緯度相應此角不動 丙為所設黄道度距春分後之點此點移則丙之交角變而諸數皆從之而變法曰于前圖全形塹堵斜面黄道象弧内尋所設黄道經度自春分【乙】起數設度至丙從丙向圜心卯作丙卯半徑遂依半徑引長至塹堵之邊【酉】成酉卯直線依酉卯直線直剖至底【未卯線為底酉未線為邊】成酉未乙卯立三角體此立三角體有四面而皆句股故又曰句股立錐立句股之錐尖為酉
其斜面為酉乙卯句股形【乙正角 乙酉為股乙卯為句 酉卯為弦】其立面二
一為酉未乙句股形【未正角 酉未垂線為股未乙為句 酉乙為弦】一為酉未卯句股形【未正角 酉未垂線為股未卯為句 酉卯為弦】
其底為未乙卯句股形【乙正角 未乙為股乙卯為句 未卯為弦】
以上四句股面凡楞線六
卯乙半徑也酉乙黄道丙乙弧之切線也而酉卯則其割線也未乙赤道乙甲弧之切線也而未卯則其割線也惟酉未垂線於八線無當今名之曰錐尖垂線亦曰錐尖柱亦曰外線以其離於渾圜之體也
句股面有四而用者一酉未乙也以其能與乙角之大句股為比例也
楞線六而用者二酉乙及未乙也以其為二道之切線為八線中有定數可為比例也
第一層句股比例圖
酉未乙句股形以黄道切線【酉乙】赤道切線【未乙】相連于乙角【成鋭角】則酉乙為弦未乙為句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一立面又同用乙角故可以相為比例術為以赤道半徑【丁乙】比乙角之割線【戊乙】若赤道切線【未乙】與黄道切線【酉乙】也【此為以句求弦】又以黄道半徑【牛乙】比乙角之餘弦【昴乙】若黄道切線【酉乙】與赤道切線【未乙】也【此為以弦求句】
解曰丁乙與氐昴同大則皆赤道半徑也戊乙與亢卯同大則皆乙角割線也牛乙與癸卯同大皆黄道半徑昴乙與己卯同大皆乙角餘弦也 從乙窺卯則成一點而乙角卯角合為一角其角之割線餘弦盡移于塹堵之第一層而同在一立面為句若弦【觀總圖自明】
以赤道求黄道 以黄道求赤道
一 赤道半徑 一 黄道半徑
二 乙角割線 二 乙角餘弦
三 赤道切線 三 黄道切線
四 黄道切線 四 赤道切線
若求角者反用其率 又法
四 乙角割線 四 乙角餘弦
第二層句股比例圖
子甲丑句股形以黄赤距度之切線【子甲】赤道之正弦【甲丑】相連于甲成正角則子甲為股甲丑為句而與坎震丑及女婁丑二句股形同在一立面又同丑角故可相求術為以赤道半徑【震丑】比乙角之切線【坎震】若赤道正弦【甲丑】與距度之切線【子甲】也【是為以句求股】又為以乙角之正弦【女婁】與乙角餘弦【婁丑】若距度之切線【子甲】與赤道之正弦【甲丑】也【是為以股】
【求句】
解曰震丑即氐卯赤道半徑也坎震即亢氐乙角之切線也女婁即癸己而婁丑即己卯乙角之正弦餘弦也從乙窺卯則乙丑卯成一點而合為一角其角之切
線正弦餘弦盡移于塹堵第二層立面為句與股以赤道求距度 以距度求赤道 又法
一 半徑 一乙角正弦 一乙角切線 半徑二 乙角切線 二乙角餘弦 二半徑 【乙角餘切】三 赤道正弦 三距度切線 三 距度切線四 距度切線 四赤道正弦 四 赤道正弦若求角則反用其率 又法
一 距道切線 半徑 一 赤道正弦 半徑
二 赤道正弦 二 距度切線
三 半徑 【距度餘切】 三 半徑 【赤道餘割】
四 乙角餘切 四 乙角切線
第三層句股比例圖
丙辛壬句股形以距度正弦【丙辛】黄道正弦【丙壬】相連于丙而成鋭角則丙壬為弦丙辛為股而與乾艮壬及奎胃壬二句股同在一立面同用壬角故可相求
術為以黄道半徑【奎壬】比乙角之正弦【奎胃】若黄道正弦【丙壬】與距度之正弦【丙辛】也【是為以弦求股】又為以乙角之切線【乾艮】比乙角之割線【乾壬】若距度之正弦【丙辛】與黄道正弦【丙壬】也【是為以股求弦】
解曰奎壬即癸卯黄道半徑也奎胃即癸己距度正弦也乾艮即亢氐而乾壬即亢卯則乙角之切線割線也從乙窺卯則乙丑壬卯半徑因直視成一點而合為
為一角其角之正弦切割線盡移于塹堵之第三層立面以為弦為股
以黄道求距度 以距度求黄道 又法
一 半徑 一 乙角切線 一 乙角正弦 半徑二 乙角正弦 二 乙角割線 二 半徑 【乙角餘割】三 黄道正弦 三 距度正弦 三 距度正弦四 距度正弦 四 黄道正弦 四 黄道正弦
若求角則反用其率 又法
一 距度正弦 半徑 一 黄道正弦 半徑
二 黄道正弦 二 距度正弦
三 半徑 【距度餘割】 三 半徑 【黄道餘割】
四 乙角正割 四 乙角正弦
弧三角錐體【即割渾圜體之一分】
法曰依前論從丙點對卯直割至底則截黄道于丙截赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖渾圜之跡又成丙甲弧【為兩道距緯】三弧相湊成丙甲乙弧三角面 丙卯甲卯乙卯同為半徑三半徑為楞輳于卯心卯為三角之尖乙甲丙弧三角面為底成乙甲丙卯弧三角錐體為割渾圜體之一分也
此弧三角錐體含于句股立錐體内凖前論可以明之因此弧三角錐與句股錐同鋭【卯尖】異底【一以弧三角面為底一以句股平面為底】故以弧三角變為句股以求其比例而有三法【即前條所論三層句股】
其一為酉未乙句股形
用酉乙弦【為黄道丙乙弧切線】未乙句【為赤道乙甲弧切線】以當乙角之弦與句
其一為子甲丑句股形
用子甲股【為距度丙甲弧切線】甲丑句【為赤道乙甲弧正弦】以當乙角之股與句
其一為丙辛壬句股形
用丙辛股【為距度丙甲弧在弦】丙壬弦【為黄道丙乙弧正弦】以當乙角之股與弦
問兩弧求一弧非句股錐乎與此所用同耶異耶曰形不異也乃法異耳何言乎法異曰句股錐一也而有用角不用角之殊此用角度其句股在錐形之底【以卯心為錐形之鋭則三層句股皆為其底】而遙對渾體之心以視法成比例兩弧求一弧不用角度其句股同在錐形之一面無假視法自成比例所以不同然其為句股之比例一而已矣然則兩弧求一弧惟用割線餘弦此所用者惟正弦切線又何不同若是耶曰角之句股在心【如卯亢氐等形皆依極至交圈平剖渾圜成平面其象始著是在渾圜之心】與為比例之句股在面【如酉未乙等形皆以一角連於渾圜之面】二者相離以視法相叠如一平面然惟正弦切線能與之平行【從凸面平視則設度之正弦切線皆與渾圜中割之平面諸線平行】若割線餘弦皆非平行因視法而躋縮失其本象【或斜對則長線成短線或對視則直線成一點】不能為比例無所用之矣若兩弧求一弧則其句股自相垜疊於一平面【平立斜三面各具三句股而如相垜疊並以一大句股横截成三】皆以本數自相為比例全不關于視法故無躋縮而其算皆割線餘弦所成于正弦切線反無所取所以不同 若以量體之法言之割線餘弦為量立楞斜楞之法正弦切線則量底之法也【兩弧求一弧法見二卷】
如圖 以卯為句股立
錐之頂卯乙為直立之
楞如渾圓半徑卯未卯
酉為斜面之楞並如割
線酉乙未乙兩底線並如
切線若依底線平截之成
大小三形則比例見矣
剖渾圜用餘度法
乙丙黄道弧在四十五
度以上求甲乙赤道弧
【即同升度】
依前法 半徑【癸卯亦即庚乙】與乙角【春分】之餘弦【乙壬亦即
卯己】若乙丙【黄道】之切線【尾乙】與乙甲【赤道】之切線【箕乙】
此法無誤但如此則兩切線大于塹堵須引之于形外是以小比例例大比例也若至八十度切線太大不可作圖矣
今改用餘度 法自卯渾圜心遇黄道設弧丙作線至酉【剖至底】
以乙丙黄道之餘弧癸丙取其切線于斜面如癸斗又以乙甲赤道之餘弧甲氐取其切線于底如氐
未即以氐未移至斜面之楞如亢酉變立句股【尾箕乙】為平斜句股【酉亢卯及斗癸卯兩形皆相似】 法為半徑【癸卯】與乙角之正割線【乙角即卯角其割線戊乙亦即卯亢】若乙丙黄道之餘切線【癸斗】與乙甲赤道之餘切線也【亢酉亦即氐未】
按此法從亢戊邊剖塹堵成句股方錐之眠體
其剖形以亢氐酉未長方形為底以卯為錐尖以斜面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形為相對之二邊又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之斜立面句股形為相對之二邊其四面皆句股其底長方而以卯為尖故曰眠形
不直曰方錐者以面皆句股而卯氐線正立故不得僅云陽馬謂之句股方錐可也亦如句股錐立三角不得僅謂鼈臑
塹堵測量二
句股錐形序【即兩弧求一弧】
正弧三角之法即郭太史側視圖也郭法以側視取立句股又以平視取平句股故有圓容方直之法而不須用角西法專以側視之圖為用故必用角用角即用弧也惟其用角故所用者皆側立之句股也余此法則兼用平立斜三種句股而其大小句股之比例並在一平面尤為明白易見而不更言角既與授時之法相通其兼用割線起算春分又西歷之理也蓋義取適用原無中外之殊笇不違天自有源流之合敬存此稿以質方來其授時歷側視平視之圖詳具别卷
正弧三邊形以兩弧求一弧法【句股錐形之理】
用割線餘弦以弧度求弧度而不言角其理與郭法相通
丙甲乙三角弧形 甲為正角
卯為渾員心丙乙為黄道距春分之
一弧甲乙為赤道同升之弧丙甲為
黄赤距度【即過極圈之一弧】丙卯為黄道半
徑甲卯為赤道半徑卯乙為黄赤兩
道之半徑壬卯為丙乙黄道之餘弦【以丙壬為其正弦故】丑卯為甲乙赤道之餘弦【以甲丑為其正弦故】辛卯為丙甲距度之餘弦【以丙辛為其正弦故】子卯為丙甲割線【以子甲為切線知之】酉卯為丙乙割線【以酉乙為切線如之】未卯為甲乙割線【以未乙為切線知之】
斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧為丙乙黄道 平面未乙卯及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧為甲乙赤道 立面酉未卯及子甲卯及丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧為丙甲距度【其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛壬三句股形為切線正弦所作兹不論】論曰因諸線成平面句股形為底兩立面句股形為牆斜面句股形為面則四面皆句股形矣而酉未聯線及子甲切線丙辛正弦皆直立上對天頂下指地心故謂之句股錐形也既成句股則其相等之比例可以相求用法
半徑與赤道之餘弦若黄道之割線與距度之割線
反之則赤道餘弦與半徑若距度割線與黄道割線一 甲乙餘弦 丑卯小句 二 半徑 乙卯大句三 丙甲割線 子卯小弦 四 丙乙割線 酉卯大弦又更之則黄道割線與半徑若距度割線與赤道餘弦一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 乙卯大句三 丙甲割線 子卯小弦 四 甲乙餘弦 丑卯小句右取斜面酉乙卯子丑卯兩句股形以乙卯半徑為比例偕一餘弦兩割線而成四率
半徑與距度之割線若黄道之餘弦與赤道之餘弦一 半徑 丙卯小弦 二 丙甲割線 子卯大弦三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句反之則距度割線與半徑若赤道餘弦與黄道餘弦一 丙甲割線 子卯大弦 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙乙餘弦 壬卯小句又更之則黄道餘弦與半徑若赤道餘弦與距度割線一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙甲割線 子卯大弦右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半徑偕一割線兩餘弦而成四率
半徑與赤道割線若距度割線與黄道割線
更之則赤道割線與半徑若黄道割線與距度割線一 甲乙割線 未卯大句 二 半徑 甲卯小句三 丙乙割線 酉卯大弦 四 丙甲割線 子卯小弦又更之則距度割線與半徑若黄道割線與赤道割線一 丙甲割線 子卯小弦 二 半徑 甲卯小句三 丙乙割線 酉卯大弦 四 甲乙割線 未卯大句右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半徑偕三割線而成四率
半徑與黄道餘弦若赤道割線與距弧餘弦
一 半徑 乙卯大句 二 丙乙餘弦 壬卯小句三 甲乙割線 未卯大弦 四 丙甲餘弦 辛卯小弦更之則黄道餘弦與半徑若距弧餘弦與赤道割線一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 乙卯大句三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 甲乙割線 未卯大弦又更之則赤道割線與半徑若距弧餘弦與黄道餘弦一 甲乙割線 未卯大弦 二 半徑 乙卯大句三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 丙乙餘弦 壬卯小句右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半徑偕兩餘弦一割線而成四率
半徑與距度餘弦若赤道餘弦與黄道餘弦
更之則距度餘弦與半徑若黄道餘弦與赤道餘弦一 丙甲餘弦 辛卯小弦 二 半徑 甲卯大弦三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句又更之則赤道餘弦與半徑若黄道餘弦與距度餘弦一 甲乙餘弦 丑卯大句 二 半徑 甲卯大弦三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 丙甲餘弦 辛卯小弦右取平面【甲丑卯辛壬卯】二句股以甲卯半徑偕三餘弦而成四率
半徑與黄道割線若距弧餘弦與赤道割線
更之則黄道割線與半徑若赤道割線與距弧餘弦一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙割線 未卯大句 四 丙甲餘弦 辛卯小句又更之則距弧餘弦與半徑若赤道割線與黄道割線一 丙甲餘弦 辛卯小句 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙割線 未卯大句 四 丙乙割線 酉卯大弦右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半徑偕兩割線一餘弦而成四率
作立三角儀法【即句股錐形】
法以堅楮依各線畫成句股而摺輳之則各線之在渾員者具可覩矣 任取黄道之一弧為例則各弧並同
底上甲乙弧赤道同升度
也赤道各線俱在平面為
底面上丙乙弧黄道度也
黄道各線俱在斜面立面
丙甲弧度黄赤距緯也距
緯各線俱在立面 外立面為黄赤兩切線之界論曰此即郭若思太史員容方直之理也太史法從二至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半弦為界直切至赤道平面截黄赤道兩半徑成小立句股以此為法求得平面大句股則赤道之正半弦也其直切兩端下垂之跡在二至半徑者既成小立句股其在所求本度者又成斜立句股此斜立句股之股則本度黄赤距度之正半弦也于是直切之跡有黄道正半弦為其上下之横長有黄赤距度之正半弦為兩端之直濶成直立之長方形而在渾體之中故曰弧容直濶也此側立長方之四角各有黄赤道之徑為其楞以直湊渾體之心成眠體之句股方錐句股方錐者底雖方而錐尖偏在一楞則其四面皆成句股此郭太史之法也今用八線之法以句股御渾體其意略同但其法主於用角故從二分起算遂成立句股錐形立句股錐形亦可以卯心為錐尖是為眠體錐形如此則兩錐形之尖皆在員心【一郭法一今法】而可通為一法是故用郭太史法則以句股方錐為主而句股錐形其餘度所成之餘形今以句股錐形為主則員容直濶所成句股方錐又為餘度餘形矣然則此兩法者不惟不相違而且足以相法古人可作固有相視而笑莫逆於心者矣余竊怪夫世之學者入主出奴不能得古人之深而輕肆詆訶者皆是也吾安得好學深思其人與之上下其議哉
句股方錐序
塹堵虚形以測渾員原有二法一為句股錐形一為句股方錐其句股錐之法嚮有法方錐之法亦略見於諸篇而未暢厥旨故復著之其法以弧求弧而不求角與句股錐同而起算二至則郭太史本法矣方錐與錐形互相為正餘故亦可以算距分之度也
筭黄赤道及其距緯以兩弧求一弧又法【用句股方錐形亦塹堵形之分】以八綫法立筭起數二至本郭法史員容方直之理而稍廣其用亦不言角
如圖癸為二至黄道癸丙為
距至黄道之一弧【如所設】氐為
二至赤道氐甲為距至赤道
之一弧【與癸丙黄道相應】癸氐為二
至黄赤大距弧【二十三度半強】丙甲
為所設各度之黄赤距緯【即過極圈之一弧】卯為渾圓心黄道癸丙之正弦丙張餘弦張卯正矢癸張切綫癸斗割綫斗卯
赤道氐甲之正弦甲庚餘弦庚卯正矢氐庚切線氐室割綫室卯
大距度癸氐之正弦癸己餘弦己卯正矢氐己切綫氐亢割綫亢卯
距緯丙甲之正弦丙辛餘弦辛卯正矢甲辛切綫甲子割綫子卯
論曰因諸綫成各句股形為句股方錐之面其鋭尖皆會於卯心又成方直形以為之底遂成句股方錐之眠體
一斜平面有黄道弧諸綫成句股形二【一丙張卯一斗癸卯】又有相應之赤道諸綫亦成句股形二【一壁亢卯一子房卯】四者皆形相似而比例等
一平面有赤道弧諸綫成句股二【一甲庚卯一室氐卯】又有相應之黄道諸綫亦成句股二【一辛井卯一亥己卯】四者皆形相似而比例等
一立面有大距弧諸綫成句股二【一癸己卯一亢氐卯】又有相對之距緯諸綫亦成句股二【一張井卯一房庚卯】四者皆形相似而比例等
一斜立面有黄赤距度諸綫成句股二【一丙辛卯一子甲卯】又有相對之大距度諸綫亦成句股二【一斗亥卯一壁室卯】四者皆形相似而比例等
論曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而並為相似之形者皆以一大句股截之成四也其股與弦並原綫而所截之句又平行其比例不得不等
一内外兩方直形【一在渾員形内即郭法所用乃黄道及距緯兩正弦所成一在渾員形外乃赤道及大距兩切線所成】有平立諸綫為各相似相連句股形之句亦即為相似兩方錐之底而比例等
一不内不外兩方直形【一跨黄道内外乃赤道正弦及距緯切綫所成一跨赤道内外乃黄道切綫及大距正弦所成】有平立諸綫為各相似相連句股形之句亦即為相似兩方錐之底而比例等
論曰方錐眠體以平行之底横截之【即四種方直形皆方錐之底】成大小四方錐其錐體之頂鋭【卯】與其四棱皆不動所截之底又平行故其比例相似而等
又論曰黄道在斜平面赤道在平面而其綫互居者以方直形故也大距度在立面距緯度在斜立面而其綫畢具者亦以方直形故也蓋形既方直則横綫直綫兩兩相對而等
用法
斜平面比例
黄道半徑與黄道正弦若距緯割綫與赤道正弦
更之黄道正弦與黄道半徑若赤道正弦與距緯割綫
一丙張小股 二丙卯小弦 三子房大股 四子卯大弦又更之距緯割綫與黄道半徑若赤道正弦與黄道正弦
一子卯大弦 二丙卯小弦 三子房大股 四丙張小股右取斜平面張丙卯房子卯二句股形以丙卯半徑偕一割綫兩正弦而成四率
黄道半徑與黄道切綫若大距割綫與赤道切綫
更之黄道切綫與黄道半徑若赤道切綫與大距割綫一癸斗小股 二癸卯小句 三亢壁大股 四亢卯大句又更之大距割綫與黄道半徑若赤道切綫與黄道切綫一亢卯大句 二癸卯小句 三亢壁大股 四癸斗小股右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半徑偕一割綫兩切綫而成四率
平面比例
赤道半徑與赤道正弦若距緯餘弦與黄道正弦
更之赤道正弦與赤道半徑若黄道正弦與距緯餘弦一甲庚大股 二甲卯大弦 三辛井小股 四辛卯小弦又更之距緯餘弦與赤道半徑若黄道正弦與赤道正弦
一辛卯小弦 二甲卯大弦 三辛井小股 四庚甲大股右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半徑偕一餘弦兩正弦而成四率
赤道半徑與赤道切綫若大距餘弦與黄道切綫
更之赤道切綫與赤道半徑若黄道切線與大距餘弦一氐室大股 二氐卯大句 三己亥小股 四己卯小句又更之大距餘弦與赤道半徑若黄道切與赤赤道切綫一己卯小句 二氐卯大句 三己亥小股 四氐室大股右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半徑偕一餘弦兩切綫而成四率
立面比例
黄道半徑與大距正弦若黄道餘弦與距緯正弦
更之大距正弦與黄道半徑若距緯正弦與黄道餘弦一癸己大股 二癸卯大弦 三張井小股 四張卯小弦又更之黄道餘弦與黄道半徑若距緯正弦與大距正弦
一張卯小弦 二癸卯大弦 三張井小股 四癸己大股右取立面己癸卯井張卯二句股形以癸卯半徑偕一餘弦兩正弦而成四率
赤道半徑與大距切綫若赤道餘弦與距緯切綫
更之大距切綫與赤道半徑若距緯切線與赤道餘弦一氐亢大股 二氐卯大句三庚房小股 四庚卯小句又更之赤道餘弦與赤道半徑若距緯切綫與大距切線一庚卯小句 二氐卯大句三庚房小股 四氐亢大股右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半徑偕一餘弦兩切線而成四率
斜立面比例
黄道半徑與距緯正弦若黄道割綫與大距正弦
更之距緯正弦與黄道半徑若大距正弦與黄道割綫一丙辛小股 二丙卯小弦 三斗亥大股 四斗卯大弦又更之黄道割線與黄道半徑若大距正弦與距緯正弦
一斗卯大弦 二丙卯小弦 三斗亥大股 四丙辛小股右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半徑偕一割線兩正弦而成四率
赤道半徑與距緯切線若赤道割綫與大距切線
更之距緯切線與赤道半徑若大距切線與赤道割線一甲子小股 二甲卯小句 三室壁大股 四室卯大句又更之赤道割綫與赤道半徑若大距切綫與距緯切線
一室卯大句 二甲卯小句 三室壁大股 四甲子小股右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半徑偕一割線兩切綫而成四率
以上方錐形之四面每面有大小四句股形即各成四率比例者六合之則二十有四並以兩弧求一弧而不言角
方直形比例
黄道正弦與距緯正弦若赤道切線與大距切綫
更之距緯正弦與黄道正弦若大距切線與赤道切線一張井小股 二井辛小句 三亢氐大股 四氐室大句又更之赤道切線與大距切線若黄道正弦與距緯正弦
一氐室大句 二亢氐大股 三井辛小句 四張井小股再更之大距切綫與赤道切綫若距緯正弦與黄道正弦
一亢氐大股 二氐室大句 三張井小股 四井辛小句右取渾體内所容方直形上黄道及距緯兩正弦偕渾體外所作方直形上赤道及大距兩切綫而成四率
赤道正弦與距緯切綫若黄道切綫與大距正弦
更之距綫切綫與赤道正弦若大距正弦與黄道切綫一房庚小股 二庚甲小句 三癸己大股 四己亥大股又更之黄道切綫與大距正弦若赤道正弦與距緯切綫
一己亥大句 二癸己大股 三庚甲小句 四房庚小股再更之大距正弦與黄道切綫若距緯切綫與赤道正弦一癸己大股 二己亥大句 三房庚小股 四庚甲小句右取方直形上黄道切綫大距正弦偕又一方直形上赤道正弦距緯切線而成四率
以上大小方錐形之底各成方直形而兩兩相偕即各成四率比例者四合之則八並以三弧求一弧而不言角
凡句股方錐形所成之四率比例共三十有二皆不言角内四率中有半徑者二十四並兩弧求一弧四率中無半徑者八以三弧求一弧其不言角則同
問各面之句股形並以形相似而成比例若方直形所用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何以得相為比例曰句股形一居平面一居立面而能相比例者以有稜線為之作合也何以言之如亢卯割綫為方錐形之一棱而此綫既為斜平面句股形【壁亢卯】之股又即為立面句股形【氐亢卯】之弦故其比例在斜平面為亢卯與張卯若亢壁與張丙也而在立面為亢卯與張卯若亢氐與張井也合而言之則亢壁與張丙亦若亢氐卯與張井餘倣此
問此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也試平置方錐【以方底著地使卯鋭直指天頂而卯氐棱綫正立如垂】而從其卯頂俯視之則卯井庚己氐棱綫上分段之界因對視而成一點亢卯稜線與亢氐線相疉室卯綫與室氐相叠皆脗合為一惟亢壁室氐直 形因平視而得正形其壁卯棱綫則成壁氐而斜界於對角分直方形為兩句股形矣又其分截之三方直形亦以平視得正形亦各以棱綫分為兩句股而大小相疉成相似之形而比例等矣
如圖亢氐室壁長方以壁氐
綫成兩句股而張井辛丙長
方【即張氐辛丙】亦以丙卯綫【即丙井亦
即丙氐】成兩句股並形相似則
亢壁與張丙若亢氐與張井【張井即張氐】
又癸己亥斗長方【即癸氐亥斗】以斗卯綫【即斗己又即斗氐】成兩句股而房庚甲子長方【即房氐甲子】亦以子卯綫【即子庚又即子氐】成兩句股而形相似則癸斗與房子若癸己與房庚【癸己與房庚即癸氐與房氐】
展形【展之成四句股面一方直底】 合形【合之則成句股方錐】
作方直儀法【即句股立方錐】
法以堅楮依黄赤大距二十三度半畫成立面再任設赤道距至度畫成平面再依法畫距緯斜立面及黄道距至度斜平面并方直底然後依棱摺輳即渾員上各綫相為比例之故了然共見
任指黄道或赤道之距至一弧為式即各弧可知其所用距至弧或在至前或在至後或冬至或夏至並同一理
方塹堵内容員塹堵法
先解方塹堵
塹堵以正方為底【氐卯丁乙形】其上有
赤道象限【氐乾乙弧乙春分氐夏至】以長方為
斜面【亢卯戊乙形】其上有黄道象限【癸巽
乙弧乙春分巽夏至】底與而一邊相連【卯乙邊為
底與斜面所同用故相連乃黄赤道之半徑】一邊相離
【氐丁邊在底與赤道平行亢戊邊在斜面故相離其距為亢氐為戊】
【丁皆大距度癸氐弧之切線】其形似斧
從斜面作戊卯對角線切至底【戊丁卯對角線于底】分塹堵為兩則赤道為兩平分【赤道平分于乾乾乙距春分乾氐距夏至各得四十五度】而黄道為不平分【黄道分於巽則巽乙距春分四十七度二十九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分強】於是黄道切線【戊乙】與大距度割線【亢卯】等而方塹堵之形以成【亢卯為大距二十三度三十一分半之割線其數一○九○六五戊乙為黄道四十七度二十九分之切線其數亦一○九○六五兩數既同故能作長方斜面而成塹堵】乃黄道求赤道用兩切線之所賴也【若赤道求黄道則反用其率】
法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面句股比例【戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳卯皆大句股也其酉未乙則為小句股】
右黄道求赤道為以弦求句
一 赤道半徑氐卯 大句
二 大距割線亢卯 大弦
三 赤道切線未乙【甲乙赤道】 小句
四 黄道切線酉乙【丙乙黄道】 小弦
右赤道轉求黄道為以句求弦
自黄道四十七度二十九分以後用餘切是斜平面句股比例【斜面亢虚卯為大句股癸斗卯為小句股在平面則為氐危卯大句股己心卯小句股】一 黄道半徑癸卯 小股
二 大距割線亢卯 大股
三 黄道餘切癸斗 小句 【牛乙黄道其餘弧牛癸】
四 赤道餘切亢虚 大句 【女乙赤道其餘弧女氐】
右黄道求赤道為以股求句
一 赤道半徑氐卯 大股
二 大距餘弦己卯 小股
三 赤道餘切危氐【即亢虚】 大句 【女氐即女乙赤道之餘】四 黄道餘切心己【即癸斗】 小句 【牛癸即牛乙黄道之餘】右以赤道轉求黄道亦為以股求句
論曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史員容方直之理但郭法起二至則此所謂餘弧乃郭法之正弧又郭法只用正弦而此用切線為差别耳
又論曰正切線法亦可用于半象限以上餘切線亦可用于半象限以下此因方塹堵之底正方則所用切線至方角而止故各用其所宜【云半象限者主赤道而言若黄道以四十七度二十九分為斷一平一斜故其比例如弦與句】
又論曰正切線法即句股錐形也餘切線法即句股方錐也以對角斜線分塹堵為兩成此二種錐形遂兼兩法
次解員塹堵
方塹堵内容割渾員之分體以癸牛丙乙黄道為其斜面之界以氐女甲乙赤道為其底之界而以癸氐大距弧及牛女丙甲等逐度距弧為其高高之勢曲抱如渾員之分斜面平面皆為平員四之一【其高自癸氐大距漸殺至春分乙角而合為一點】
員塹堵者雖亦在方塹堵之内然又在所容割渾員分體之外與割渾員體同底亦以赤道為界而不同面其面自乙春分過子過奎至亢其形卯乙短而亢卯長如割平撱員面四之一其撱員邊之距心皆以逐度距緯【如丙甲牛女等】之割線所至為其界【如卯子為丙甲距弧割線卯奎為牛女距弧割線之類】而以逐度距緯之切線為其高【如子甲為丙甲距弧切線奎女為牛女距弧切線之類】
法以赤道為圍作員柱置渾員在員柱之内對赤道横剖之則所剖員柱之平員底即赤道平面也又自夏至依大距二十三度三十分半之切線為高斜對春秋分剖至心則黄道半周在所剖之斜面矣
然黄道半周雖在所剖斜面而黄道自為半平員所剖斜面則為半撱員黄道平員在撱員内兩端同而中廣異【兩端是二分如乙為平撱同用之點中廣是夏至如黄道癸在撱面亢之内其距為癸亢】此員塹堵之全體也
於是又從亢癸對卯心直剖到底則成員塹堵之半體即方塹堵所容也此員塹堵斜面之高俱為其所當距緯弧之切線渾員上弧三角法以距緯切線與赤道平面之正弦相連為句股而生比例是此形體中所具之理
此塹堵體與前圖同惟多一亢奎子乙撱弧以此為撱員界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方則成員塹堵真體
此員塹堵為用子甲丑句股形之所賴子甲為距弧切線甲丑為赤道正弦也又子甲如股甲丑如句法為子甲與甲丑若亢氐與氐卯
前圖為從心眎邊此為從邊眎心盖因欲顯圓塹堵内方直形故為右觀之象與前圖一理惟多一己庚辛乙撱弧【前圖亢奎子乙撱弧在黄道斜面此圖己庚辛乙撱弧在赤道平面】
員塹堵有二
若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成員塹堵象限然又在剖渾員體分之内其體以斜面為正象限但斜立耳其底在赤道者轉成撱員
此撱員形在赤道象限之内惟乙點相連此即簡平儀之理
其撱之法則以卯乙半徑為大徑癸氐距弧之餘弦卯巳為小徑小徑當二至大徑當二分與前法正相反然其比例等何也割線與全數若全數與餘弦也
此員塹堵以撱形為底象限為斜面以距度逐度之正弦為其高乃黄道距緯相求用兩正弦之所賴也此員塹堵内又容小方塹堵乃郭太史所用員容方直也
渾員因斜剖作角而生比例成方員塹堵形其角自○度一分以至九十度凡五千四百則方員塹堵亦五千四百矣【乙角以春分為例則其度二十三度半強其實自一分至九十度並得為乙角合計之則五千四百】
每一塹堵依度對心剖之成立句股錐及方句股錐之眠體自○度一分至大距止亦五千四百
以五千四百自乘凡二千九百一十六萬而渾員之體之勢乃盡得其比例烏呼至矣
每度分有方塹堵方塹堵内函赤道所生撱體赤道撱體内又函黄道所生撱體黄道撱體内又函小方塹堵每度分有此四者則一象限内為五千四百者四共二萬一千六百【以乙角五四○○乘之則一一六六四○○○○】
每度有正有餘對心斜分則正度成句股錐餘度成方底句股錐之眠體一象限凡四萬三千二百【以五四○○乘之則二三三二八○○○○】
員容方直簡法序
古未有預立算數以盡句股之變者有之自西洋八綫表始古未有作為儀器以寫渾員内句股之形者自愚所撰立三角始立三角之儀分之曰句股錐形曰句股方錐形合之則成塹堵形其稱名也小其取類也大徑寸之物以狀渾員而弧三角之理如指諸掌即古法之通於弧三角者亦如指諸掌矣雖然猶無解於古法之不用割切也故復作此簡法以互徵之而授時歷三圖附焉盖理得數而彰數得圖而顯圖得器而真草野無諸儀象藉兹以自釋其疑不敢自私故以公之同好云爾【句股錐形是以西法通國法句鈠方錐形是以郭法通西法今此簡法是專解郭法而兩法相同之故自具其中】
員容方直儀簡法【即句股方錐之方直儀而不用割切線祗以各弧正弦矢度相求其用己足亦不須用角】
立面中有句股形二其一大句股形【癸巳乙】以黄道半徑【癸乙】為弦大距度正弦【癸巳】為股大距度餘弦【巳乙】為句其一小句股形【壬戊乙】以黄道餘弦【壬乙】為弦距緯正弦【壬戊】為股楞線【戊乙】為句
平面中亦有句股形二其一小句股形【庚戊乙】以距緯丙甲之餘弦【庚乙】為弦以黄道正弦【戊庚】為股楞綫【戊乙】為句其一大句股形【甲辛乙】以赤道半徑【甲乙】為弦以赤道正弦【甲辛】為股赤道餘弦【辛乙】為句【戊乙線于弧度無取然平立二形並得此補成句股謂之楞線】黄道正弦本在斜平面而能移于平面者有相望兩立線【丙庚壬戊】為之限也距度正弦本在斜立面而能移於立面者有上下兩横線【丙壬庚戊】為之限也此四線【兩立兩横】相得成長方其立
如堵故又曰弧容直濶也
有大距有黄道而求距緯 更之可求大距 反之可求黄道一 半徑 癸乙 一 黄道餘弦 一 大距正弦二 大距正弦 癸己 二 距緯正弦 二 半徑三 黄道餘弦 壬乙 三 半徑 三 距緯正弦四 距緯正弦 壬戊 四 大距正弦 四 黄道餘弦
有赤道有距緯而求黄道 更之可求赤道 反之可求距緯一 半徑 甲乙 一 距緯餘弦 一 赤道正弦二 赤道正弦 甲辛 二 黄道正弦 二 半徑三 距緯餘弦 庚乙 三 半徑 三 黄道正弦四 黄道正弦 庚戊 四 赤道正弦 四 距緯餘弦
郭太史本法
弧矢割員圖【見授時歷草下並同】
凡渾員中割成平員任割平
員之一分成弧矢形皆有弧
背有弧弦有矢割弧背之形
而半之則有半弧背有半弧
弦有矢 因弧矢生句股形
以半弧弦為句【即正弦】矢減半
徑之餘為股【即餘弦】半徑則常為弦 句股内又成小句股則有小句小股小弦而大小可以互求或立或平可以互用【平視側視二圖皆從此出】
側視之圖
横者為赤道【赤道一規因旁視如一直線黄
道同】
斜者為黄道
因二至黄赤之距成大句股
【即外圈】
因各度黄赤之距成小句股
平視之圖
外大員為赤道
内撱者黄道【從兩極平視則黄道在赤道内
而成撱形】
有赤道各度即各其有半弧
弦以生大句股
又各有其相當之黄道半弧
弦以生小句股【此二者皆可互求】
授時歷求黄赤内外度及黄赤道差法
置黄道矢【本法用帶從三乘方求各度矢】去減周天半徑【即立面黄道半徑】餘為黄赤道小弦【即黄道餘弦也半徑為大弦故此為小弦】置黄赤道小弦以二至内外半弧弦【即二至大距度正弦當時實測為二十三度九十分】乘之為實黄赤大弦【即周天半徑以其為立面大句股之弦故稱大弦】為法除之得黄赤道内外半弧弦【即各度黄赤距度正弦也原法以矢度度半背弦差加入半弧弦得内外半弧背今省】
又置黄赤道小弦以黄赤道大股【即二至内外度餘弦也在立面大句股形為大股】乘之為實黄赤道大弦為法除之【解見前】得黄赤道小股【即立面平面兩小句股同用之楞線在立面與大股相比故稱小股】置黄道半弧弦【即黄道正弦也原法以黄道矢求半背弦差減黄道度得之】自乘為股冪黄赤小股自乘為句冪【即楞綫也先在立面為小句股形之股今又為平面句股形之句故其冪稱句冪】兩冪並之為實開平方法除之為赤道小弦【即各度黄赤距度餘弦也周天半徑為平面上大句股之弦故稱大弦則此為小句股弦當稱小弦】置黄道半弧弦以周天半徑乘之為實赤道小弦為法除之得赤道半弧弦【即赤道正弦也原法求半背弦差以加半弧弦得赤道今省】
論曰弧矢割員者平員法也以測渾員則有四用一曰立弧矢勢如張弓以量黄赤道二至内外度即側立圖也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平視圖也一曰斜弧矢與平弧矢同法而平面邊高邊下其庋起處如二至内外之度以量黄道即平視圖中小句股也一曰斜立弧矢與立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各度之内外度即側立圖中小句股也自離二至一度起至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小於二至之距邢臺郭太史弧矢平立三圖中具此四法即弧三角之理無不可通言簡而意盡包舉無窮好古者所當珤愛而翫也
又論曰割員之算始于魏劉徽至劉宋祖冲之父子尤精其術唐宋以算學設科古書猶未盡亡邢臺蓋有所本厥後授時歷承用三百餘年未加修改測箕之講求益稀學士大夫既視為不急之務而臺官株守成法鮮諳厥故驟見西術羣相駭詫而不知舊法中理本相同也疇人子弟多不能自讀其書又忌人之讀而各私其本久之而書亦不可問矣攷元史歷成之後所進之書凡百有餘卷【郭守敬傳有修改源流及測驗等書齊履謙傳有經串演撰諸書明歷法之所以然】今其存軼並不可攷良可浩嘆然天下之人豈無有能藏弆遺文以待後學者庶幾出以相證予於斯圖之義類多通而深有望於同志矣
問元初有回回歷法與今西法大同小異邢臺蓋會通其說而為之故其法相通若是與曰九章句股作於隸首為測量之根本三代以上學有專家大司徒以三物教民而數居六藝之一秦火以後吾中土失之而彼反存之至於流遠派分遂以各名其學而不知其本之同也况東西共戴一天即同此句股測員之法當其心思所極與理相符雖在數萬里不容不合亦其必然者矣攷元初有西域人進萬年歷未經試用迨明洪武年間始命詞臣吴伯宗西域大師馬沙亦黑等譯回回歷書三卷然亦粗具筭法立成並不言立法之原究竟不知其所用何法或即今三角八綫或更有他法俱無可攷雖其子孫莫能言之攷元史所載西域人晷影堂諸製與郭法所用簡儀高表諸器無一同者或測量之理觸類增智容當有之然未見其有會通之處也徐文定公言回回歷緯度凌犯稍為詳密然無片言隻字言其立法之故使後來入室無因更張無術盖以此也又據歷書言新法之善係近數十年中所造則亦非元初之西法矣而與郭圖之理反有相通豈非論其傳各有本末而精求其理本無異同耶且郭法用員容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乘方以先得矢西用八綫故先得弦又西專用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用弦種種各别而不害其同有所以同者在耳且夫數者所以合理也歷者所以順天也法有可采何論東西理所當明何分新舊在善學者知其所以異又知其所以同去中西之見以平心觀理則弧三角之詳明郭圖之簡括皆足以資探索而啓深思務集衆長以觀其會通毋拘名相而取其精粹其於古聖人創法流傳之意庶幾無負而羲和之學無難再見於今日矣
角即弧解
問古法只用弧而西法用角有以異乎曰角之度在弧故用角實用弧也何以明其然也假如辰庚己三角形有庚鈍角有己庚辰庚二邊欲求諸數依垂弧法于不知之辰角打線線先補求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚形此必用庚角以求之而庚角之度為丙丁是用庚角者實用丙丁也其法庚丙九
十度之正弦【即半徑】與丙丁弧之正弧【即庚角正弦】若庚辰正弦與辰辛正弦是以大句股之例例小句股也又丙丁弧之割線【即庚角割線】與庚丁九十度之正弦【亦即半徑凡角度所當弧其兩邊並九十度】若庚辰之切線與庚辛之切線亦是以大句股之例例小句股也
既補成辰辛巳三角形可求巳角而已角之度為乙甲是求巳角者實求乙甲也其法辛己弧之正弦與辰辛弧之切線若己甲象弧之正弦【即半徑】與乙甲弧之切線【即己角切線】是以小句股例大句股也
又如己辰庚形庚為鋭角當自不知之辰角打線分為二形以求諸數其一辰辛庚分形先用庚角而庚角之度為丙丁用庚角實用丙丁也法為丙庚象弧之正弦【即半徑】于丙丁弧之正弦【即庚角正弦】若辰庚之正弦與辰辛之
正弦又丙庚象弧之正弧【即半徑】與丙丁弧之餘弦【即庚角餘弦】若辰庚之切線與辛庚之切線是以大句股例小句股也
其一辰辛己分形【以庚辛減己庚得己辛】有辰辛己辛二邊可求己角而己角之度為乙甲求己角實求乙甲也法為己辛之正弦與辰辛之切線若己甲象之正弦【即半徑】與乙甲弧之切線【即己角切線】是以小句股例大句股也一系 用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求角是以小句股比例比大句股
歷算全書卷六十