歷算全書卷五十九

　　宣城梅文鼎撰
　　少廣拾遺
　　開方求亷率作法本原圖
　　自開平方至開八乘方
　　古圖附說

　　圖最上書一者本數也本數者即大方也大方無隅無乘除之可言而數從此起也次並列【一一】者方邊也西法謂之根數即一十一也左一即本數因有次商而進位成一十為初商之根右單一為次商之根既有根數即有平冪故第三層　者幂積也西法謂之面即一百二十一也左一百為初商自乘之幂即大方積也右單一為次商自乘之幂即隅積也小平方也中二十則兩亷積也並長方也
　　如圖大小兩方幂以
　　一角相聯必得兩亷
　　以輔之而其方始全
　　故平方亷積二也
　　第四層　者立方積也西法謂之體積即一千三百三十一也左一千初商再乘之積大立方也右單一為次商再乘之積隅積也小立方也中三百三十皆亷積也三百為三平亷積扁立方也三十為三長亷積長立方也
　　如圖析觀之則初商大立方體與次商隅積小立方體相連於一角必得三平亷之扁立方體補於大立方之三面又有三長亷之長立方體補於小立方之三面及三平亷之隙而方體始全故立方之亷積有二等而其數各三也
　　第五層　者三乘方也即一萬四千六百四十一也左一萬者大三乘方也初商方積也右單一者小三乘方也次商隅積也大方積既以三乘之故而積陞至萬小
　　【隅雖　　　　　三　　　　　乘】
　　【仍單一也其相隔已三位故必有第一亷為千數第二亷為百數第三亷為十數以補之其數始足其理亦如平方立方也三乘方以上不可為圖諸書有強為之圖者非也然其理則有可言者焉以其相生之序言之則皆加一筭法也初商次商如十與一而其幂則如百與一故于之下各加即成如十一之自乘也此平方率也又以十一乘之成即立方率也又以一十乘之成即三乘方率四乘以上凖此加之皆加一法　也曰若是則諸乘方皆以十一逓乘而得非十一者何以處之曰根非十一而其理皆如十與一何則凡增一乘積陞一等而亦增一亷亷與亷之積亦皆如十與一也冪幂舊名方法舊名上亷舊名下亷一一一一音覓周禮冪人掌共巾冪說文覆也開平方四邊俱等中函縱横之積亦如覆物之巾有經緯縷文故謂之冪亦謂之面同上省文也見張参五經文字書或小寫】

　　亷率立成附說
　　凡開方一位除盡者無亷隅也亷隅皆生於次商次商之根必小于初商一等而其小隅之體必與初商之大方同狀【如再乘之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方】此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法則不然每增一乘則亷增一等【如平方但有亷立方則有平亷長亷三乘方則有三種亷四乘方則有四種亷其亷之等並與其乘數同增】而亷亦加多【如平方只二亷立方則平亷長亷各三三乘方則三種亷共有十四乘以上則更增而多如圖所列】此亷率所由立也
　　問亷既有等【如平方亷為十立方亷為十為百之類】而今亷率只作單數用何也曰此亷之數也非亷之積也亷積有等則既於其次序分之矣挨次乘之其等自見【如第一亷必小于初商大方一等第二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乘方皆如是】若同一等中應各有若干亷必先知之而後可用故立成中所列皆單數問古圖以右為隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作單數用則左右一也今依筆算自右而左便於取用故也【亷法相生之序左右同數如立方平亷三長亷亦三也三乘方第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷則其近小隅亦有若干亷故左右並同可以左為初商大方右為小隅亦可以右為大方而左為小隅此亦見古圖之妙也】
　　問舊有方法亷法之目今㮣曰亷法何也曰開方法有方有亷有隅其初商自乘即方也次商自乘即隅也方與隅之間次商初商相乘而得者皆亷也舊以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乘方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四為序較畫一耳
　　問平方之亷皆平幂也立方之平亷長亷皆體積也不知三乘方以上之亷積亦能與方隅並狀乎曰凡諸乘方之亷積無不與方隅之乘數等也試以三乘方言之其第一亷有四皆初商之再乘積而又以次商根乘之是三乘也其第二亷有六皆初商自乘之平幂也而又以次商之平幂乘之第三亷有四皆初商之根數而又以次商之立積乘之皆三乘也又以四乘方言之其第一亷有五皆初商三乘積也又乘次商根是四乘也其第二亷有十皆初商再乘積也又以乘次商幂亦四乘也其第三亷亦十皆初商幂積也又以乘次商再乘積其第四廉有五皆初商根也又以乘次商之三乘積皆四乘也五乘方以上俱如是觀後算例自明
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷五十九>
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷五十九>
　　諸乘方根同而積不同本易知也惟根之一者積同為一似乎無别矣然有幂積之一有體積之一有三乘以上諸乘方之一雖曰積同為一其實不同也今以方根之為单一為一十為一百者為例如右
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷五十九>

　　因有續商故方根以十數見例方積以尾○定位無次商者去尾○用之則方根只為單數
　　多【如第一亷用初商立積二亷則初商幂逓減以至三亷則初商只用根】近小隅者次商乘之遍數多【如第一亷只用次商根第二亷則次商亦用幂三亷則逓加而用次商立積】各乘方皆如是
　　開諸乘方大法
　　諸乘方法惟平方為用最多因有專法今自平方立方推之三乘以上至於多乘而通為一法是為大法【諸乘方大法可以開平方而平方專法不可以開諸乘方】
　　總法　凡諸乘方皆先列實　次作點分段　次查表以定初商　次求亷隅以定續商
　　列實之法　依勿菴筆算作平行兩直線以設積紀于右直線之右皆自上而下至單數止無單數者作○存其位
　　作點分段之法　皆于原積末位單數作一點起【凡減隅積必至單位故分段之法以此為宗同文算指但言起末位殊混】依各乘方宜以若干位為一段即隔若干位點之【或作實點丶或作虚點□俱可然虚點尤便以減商積時有借上位之點免凌雜也】如平方以每兩位為一段則隔一位點之立方以三位為一段則隔兩位點之乃至十二乘方以十三位為一段則隔十二位點之並同一法
　　謹案作點分段其用有二一以定開方有若干次也如有一點則只開一次有兩點則開二次三點則開三次之類一以定開方所得為何等數也如只有一點則初商即單數二點則初商是十數三點則初商是百數之類是故初商減積必至於最上點而止也次商減積必至于次點而止也每開一次必減積一次而所減之數必各盡于其作點之位亦可以驗開方之無誤也又最上點以上初商實也次點以上次商實也每商皆以點位截實此法於初商尤為扼要
　　又案開方分段古人舊法之精錢塘吴信民九章比類山隂周述學歷宗算會悉著其說而同文算指西鏡錄本其意以作點定之施於筆算為極善也【鼎于三十年前見同文算指作點之法驚嘆其奇後讀諸書始知其有所祖述非西人創也】
　　初商之法　皆以最上一點截原積若干位為初商實乃查初商表視本乘方下數有與實相同或較小於
　　實者錄之紀于左線之左【皆以表數末位對右線上原實最上點紀之】是為初商應減之積　即于本表旁行查方根紀于左線之右【皆對所紀表數首位進一位紀之】是為初商數
　　以初商應減之積【左行所紀】與初商實【右行最上點所截原實】對位相減【皆以左減右須依筆算從小數減起如左行減數大右行實數反小而不及減則作點于上一位借十數減之】減不盡者為餘實以待續商
　　凡原實有二點則初商為十數而有次商有三點初商為百數而有次商及三商以上倣論如實只一點則初商即是單數無續商
　　次商之法　皆以第二點截餘實為次商實
　　凡初商皆為方積次商以後則有亷積隅積
　　先求亷率　查亷率立成本乘方亷率有若干等等有若干數平列之為若干行謂之定率【如平方只一種亷其定率二立方有二種亷曰平亷曰長亷其定率並三若三乘方則有三種亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四詳後式】每增一乘即亷增一等而定率增一行【有亷之等有亷之數如平方有二亷立方有三平亷三長亷此亷之數也平方之兩亷同積共為一等立方之三平亷同積為一等三長亷同積為一等共為二等此亷之等也亷率中兼此二義】
　　求亷汎積　以各亷定率乘初商應有各數各依本乘方減小一等用之亷多者又遞減挨次乘之至根數止是為汎積【有初商數即各帶有自乘冪積二乘立積乃至三乘以上各積是為應有各數也今求汎積當依本乘方減小一等用之如平方只用根數立方用初商冪積乃至十二乘方用初商十一乘此為減小一等也至第二亷則立方用初商根三乘方用初商再乘乃至十二乘方用初商十乘此為亷多者二亷以上又逓減挨次乘之也逓減至初商根則為末後一亷矣故曰至根數止】
　　求㳄商數以汎積約餘實得之
　　求亷定積　以各亷汎積乘次商數亷多者逓增一等挨次乘之至本乘方減小一等止是為定積【凡第一亷汎積皆乘次商根而得定積有第二亷則以次商自乘積乘之有三亷則以次商立方積乘之是為逓增一等也然增不得至本乘方但增至本乘方減小一等數即為末後一亷矣】
　　求隅積　以次商數查初商表各依本乘方取之【以次商對横行根數以本乘方對直行縱横相遇得之】列于亷積之後一行是為隅積【小隅體勢並同初商大方如平方則隅即小平方立方則隅即小立方三乘方之隅亦為小三乘方四乘以上並同故可借初商表用之】
　　求亷隅共積　以所得各亷定積及隅積用併法併之即得
　　求次商定數　以所得亷隅共積紀左線之左【又在表數之左以末位對第二點紀之為次商應減之數】與次商實【右行第二點所截】對位相減【以左減右】減不盡者又為餘實以待三商遂紀次商數于初商之下為次商定數　如亷隅共積大于次商實不及減則改次商至及減而止乃為次商定數
　　三商以後並同上法
　　不論三商四商乃至多商其亷定率不變但求汎積時三商則並初商次商兩位商數合而用之四商則併前三次商數皆取其應有各數以乘定率而得汎積亦如上法之用初商　其求定積則三商即用三商之數四商即用四商之數以乘汎積而得定積亦如上法之用次商　餘法並同次商
　　審○位之法　凡亷汎積大於餘實或僅相等而無隅不能商一數是次商為○位也即紀○位於先商之次而併下一點餘實為續商餘實
　　次商單一之法　凡汎積與實僅同而有隅一是商得一數也即以汎積為定積不必更乘次商【惟單一則然若商得一十一百一千仍須如法乘之】
　　開平方【即一乘方】
　　設平方積三千三百四十四萬三千○八十九問方根若干
　　答曰五千七百八十三
　　列實法【先作兩直綫次以方積三三四四三○八九列
　　右綫之右】　作點【法於實末位單數作一點起逆上每
　　隔一位點之有四點宜商四次初商是千】初商法曰
　　【用最上一點截原實兩位三三為初商實查表有小於實三三】
　　【者是二五其方根五即以五為初商對實首上一位書于左綫之右却以表數二五對實三三書左綫之左與原實對減先於實次位減五實係三不足減作點借上一數為十三減去五餘八改書八于實三之右次於實首減二原實是三因借下去一只得二減盡乃作綫抹去三三存八以待次商亦于左作綫抹去減數二五】
　　求次商　用第二點上餘實八四四為次商實
　　隅　　　　　　　　　　次商自乘　四九○○○○
　　亷隅共積　　　併　　得　　　　七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内定率二乘初商五千得一萬為汎積乃約實作七百定為次商即以汎積乘之得定積七百萬再用次商自乘為隅其積四十九萬併定積成七百四十九萬即亷隅共積也俱如式列之于是將次商七續書初商五之下又將共積七四九對實八四四書左綫之左以減實餘九五乃作綫抹去八四四亦于左作綫抹去七四九】
　　求三商　用第三點上餘實九五三○為三商實
　　隅　　　　　　　　　三商自乘　　　　六四○○
　　亷隅共亷　　　併　　　得　　　　九一八四○○三商法曰【復置定率二以乘初商次商合數五千七百得一萬一千四百為汎積乃約實作八十為三商即以泛積乘之得定積九十一萬二千三商亦自乘為隅得積六千四百以併定積成九十一萬八千四百為亷隅共積俱如式列之再將三商八十挨書次商七百之下而以其亷隅積九一八四對實九五三○書于左綫之左去減實餘三四六即改書之以待四商作綫抹去九五三○左亦作綫抺去九一八四】
　　求四商　用第四點上餘實三四六八九為四商實
　　隅　　　　　　　　　　四商自乘　　　　　九
　　亷隅共積　　　併　　　得　　　　三四六八九四商法曰【用定率二乘初商次商三商合數五千七百八十得一萬一千五百六十為泛積乃約實可商三定為四商即以泛積乘之得定積三萬四千六百八十四商三自乘得九為隅積併定積成三萬四千六百八十九是為亷隅共積各如式列訖再將四商三挨書于三商八十之下而以其亷隅積三四六八九對第四點實書于左綫之左就以減四商實恰盡乃作綫抹去之左減數亦抺去】初商五千　有四點故初商是千位
　　次商七百
　　三商八十
　　四商單三
　　凡開得平方根五七千百八十三
　　還原法　置方根五千七百八十三自乘得積三千三百四十四萬三千○八十九合原積

　　開立方【即再乘方】
　　設立方積一千○○七萬七千六百九十六尺問每面方若干
　　答曰二百一十六尺
　　依法列實　作點【自末位單數作一點起逆
　　上每隔兩位點之有三點宜商三次】
　　求初商【用最上一點截原實兩位一○為初商實查初
　　商表有小于一○者是○八其方根二即以二定為初商對實】
　　【首上一位書左綫之右而以其積數○八對實一○書左綫之左對減初商實餘二改書之以待次商】初商二百尺【有三點初商是百】
　　求次商　用第二點上餘實二○七七為次商實
　　依法求得次商一十尺【書于初商二百之下而以其亷隅共積一百二十六萬一千減㳄商實餘八一六改書之以待三商】
　　求三商　用第三點上餘實八一六六九六為三商實
　　隅　　　　　三　商　再　乘　　　　　　二一六
　　亷隅共積　　　併　　得　　　　　八一六六九六依法求得三商六尺【續書次商一十之下而以亷隅共積八十一萬六千六百九十六減三商實恰盡】
　　凡開得立方根二百一十六尺
　　還原　置方根【二百一十六尺】自之得【四萬六千六百五十六尺】為平幂又置平幂以方根乘之得一千○○七萬七千六百九十六合原數

　　開三乘方
　　設三乘方積一億三千六百○四萬八千八百九十六問方根若干
　　答曰一百○八
　　依法列實　作點【自末位單數作一點
　　起逆上每隔三位點之】
　　求初商　用最上一點截實
　　首位一為初商實
　　凡積一者其根亦一不必查表竟以一為初商【其積與實對減恰盡】
　　初商一百【有三點初商是百】
　　求次商　用第二點餘實三六○四為次商實

　　隅　　　　次　　商　　三　　乘　　一○○○○
　　亷隅共積　　　併　　得　　　　　四六四一○○○○依法求得亷隅共積四千六百四十一萬為次商一十之積大於次商實不及減是無次商也法于初商一百下書○
　　求三商　用第三點合上第二點餘實三六○四八八九六共八位為三商實【三商減積至末位第三點故合八位為其實】凡求三商當合初商次商兩數乘定率以求泛積今次商　故只用初商數

　　隅　　　三　商　自　乘　三　次　　　　　四○九六
　　亷隅共積　　　併　　得　　　　　三六○四八八九六依法求得三商八【續書次商○之下而以其亷隅共積三千六百○四萬八千八百九十六與餘實相減恰盡】
　　凡開得三乘方根一百○八
　　還原　置方根【一○八】自乘得【一一六六四】為平幂平幂又自乘得一億三千六百○四萬八千八百九十六合原積
　　或以方根一百○八自乘三次亦同
　　開方簡法　置三乘方積【一三六○四八八九六】以平方法開之得【一一六六四】再置【一一六六四】以平方開之得方根一百○八合問

　　開四乘方
　　設四乘方積一十三億五千○一十二萬五千一百○七問方根若干
　　答曰六十七
　　依法列實　作點【自末位單數作一點
　　起逆上每隔四位點之共兩點宜商兩次】
　　求初商　用最上一點截原
　　實一三五○一為初商實【查表有七】
　　【七七六小于實其根六即以六為初商而以其積七七七六對減初商實餘五七二五改書之以待次商】初商六十【有兩點初商是十】
　　求次商　用第二點上餘實五七二五二五一○七為次商實
　　隅　　　　次　商　四　　乘　　　　　　　一八六○七
　　亷隅共積　　併　得　　　　　　　五七二五二五一○七依法求得次商七【書于初商六十之下而以亷隅共積五億七千二百五十二萬五千一百○七減次商實】　凡開得四乘方根六十七
　　還原　置方根【恰盡六】自乘四次得積一十三億五千○一十二萬五千一百○七合原數
　　開五乘方
　　設五乘方積一兆七千五百九十六萬二千八百七十八億○一百萬問方根若干
　　答曰五百一十
　　列實【數以單位
　　為根今原積尾位是
　　百萬故補六○列之】作點【自末單位】
　　【○上作一點起逆上每隔五位點之】　求初商【用最上一點截原實五位一七五九六為初商實入表得五為初商對實首上一位錄左綫右即以其積數對實列左綫左相減餘一九七一改書之以待次商】　初商求到五百【有三點故初商是百】
　　求次商【用第二點上餘實一九七一二八七八○一為次商實】

　　隅　　　　次　　　商　　五　　乘　　　　一○○○○○○亷隅共積　　併　　得　　一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十【書初商五百之下再將亷隅共積一千九百七十一萬二千七百七十八億○一百萬去減次商實恰盡】
　　原實三點宜有三商而次商已減實盡無可商作○于次商下
　　凡開得五乘方根五百一十○
　　還原　置方根【五百一十○】自乘五次復得一兆七千五百九十六萬二千八百七十八億○一百萬合原積
　　開六乘方
　　設六乘方積三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八問方根若干
　　答曰三十二
　　依法列實　作點【自末位單數作
　　點起逆上每隔六位點之共兩點宜商兩次】求初商　用最上點截原
　　實三四三五為初商實【查表】
　　【得三為初商書左綫右而以其積數二一八七書左綫之左對減初商實餘一二四八改書以待續續商】初商三十【有兩點故初商是十】
　　求次商　用第二點上餘實【一二四八九七三八三六八】為次商實
　　隅　　　次　　商　　六　　乘　　　　　　　　　一二八
　　亷隅共積　　併　　　得　　　　一二四八九七三八三六八依法求得次商二【書初商三十之下再以亷隅共積與次商實對減】
　　凡開得六乘方根三十二
　　還原　置方根【恰盡三】自乘六次得積【十二三四三五九七三八三】合原數

　　開七乘方
　　設七乘方積一千一百○○億七千五百三十一萬四千一百七十六問方根若干
　　答曰二十四
　　依法列實　作點【自末位單
　　數作點起逆上每隔七位再作一點】求初商　用最上點截
　　原實一一○○為初商
　　實【查表得二為初商即以二書左綫之右而以其積二五六書左綫之左對減初商實餘八四四改書之以待續商】
　　初商二十【有兩點初商是十】
　　求次商　用第二點上餘實【八四四七五三一四一七六】為次商實
　　亷隅共積　　併　　　　得　　　　八四四七五三一四一七六依法求得次商四【書初商二十之下再將亷隅共積八四四七五三一四一七六與次商實對減恰盡】
　　凡開得七乘方根二十四
　　還原　置方根【二十四】自乘七次復得【一一○○七五三一四一七六】合原數
　　或以根【二十四】自乘得【五百七十六】為平幂平幂又自乘得【三十三萬一千七百七十六】為三乘方積三乘方積又自乘得【一一○○七五三一四一七六】亦合原數
　　開方簡法　置設積【一一○○七五三一四一七六】以平方法開之得【三三一七七六】又置為實以三乘方法開之得方根二十四
　　或置設積【一一○○七五三一四一七六】用平方法連開三次亦得方根二十四

　　開八乘方
　　設八乘方積一千六百二十八萬四千一百三十五億九千七百九十一萬○四百四十九問方根答曰四十九
　　列實【法同前】作點【自末位單數作
　　點起逆上每隔八位點之】求初商【用最上一】
　　【點截原實一六二八四一三為初商實查表得八乘方積二六二一四四其根四即以四定為初商書左綫右而以其積數書左綫左對減初商實餘一三六六二六九以待次商】
　　初商四十【有兩點初商是十】
　　求次商　用第二點上餘實【一三六六二六九五九七九一○四四九】為次商實

　　隅　　　次　　　商　　　八　　乘　　三八七四二○四八九亷隅共積　併　　　得　一三六六二六九五九七九一○四四九依法求得次商九【書初商四十之下再將亷隅共積對減次商實恰盡】
　　凡開得八乘方根四十九
　　還原　置方根【四十四】自乘八次復得【一六二八四一三五九七九一○四四九】合原積
　　開九乘方
　　設九乘方積八十三兆九千二百九十九萬三千六百五十八億六千八百三十四萬○二百二十四問方根若干
　　答曰六十二
　　列實【法同前】作點【自末位單數作
　　點起逆上每隔九位點之】
　　求初商【如法用最上一點原積八位截為初商實查表得九乘方根六即以六為初商而以其積數六○四六六一七六減初商實餘二三四六三七六○待續商各如法書之】
　　初商六十【冇兩點初商是十】
　　求次商　用第二點上餘實二三四六三七六○五八六八三四○二二四為次商實
　　隅　　　　　　　次商九乘　　　　　一○二四
　　亷隅共積　　　　　併得　　二三四六三七六○五八六八三四○二二四依法求到次商二【書于初商六十之下乃以其亷隅共積二十三兆四千六百三十七萬六千○五十八億六千八百三十四萬○二百二十四減次商實恰盡】
　　凡開得九乘方根六十二
　　又法　置九乘方積【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以平方法開之得【九一六一三二八三二】為四乘方積　再以四乘方法開之得方根【六十二】
　　或置九乘方積【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以四乘方開之得【八三四四】再以平方開之得方根【六十二】並同
　　還原　以方根【六十二】自乘九次得原積
　　或以原根【六十二】自乘四次得【九一六一三二八三二】為四乘方積再以四乘積四乘得原積亦同
　　開十乘方
　　設十乘方積七千四百三十○億○八百三十七萬○六百八十八問方根
　　答曰一十二
　　依法列實　作點【自末位單
　　數作一點起逆上每隔十位再作一點】求初商【用最上點截實首位七為初商
　　實查表得十乘方根一定為初商即以其積一】
　　【減初商實七餘六改書之以待續商】
　　初商一十【有二點初商是十】
　　求次商　用第二點上餘實六四三○○八三七○六八八為實
<子部,天文算法類,推步之屬,歷算全書,卷五十九>
　　隅　　　　次　商　十　　乘　　　　二○四八
　　亷隅共積　　併　得　　　　六四三○○八三七○六八八依法求得次商二【書初商一十之下再將亷隅共積減次商實恰盡】
　　還原　置方根【一十二】自乘十次復得七千四百三十○億○八百三十七萬○六百八十八合原積又法　置方根【一十二】自乘【一四四】為平幂平幂自乘【二○七三六】為三乘方積三乘方又自乘得【四二九九八一六九六】為七乘方積再以根再乘之立積【一七二八】乘之得十乘方積

　　開十一乘方
　　設十一乘方積七千三百五十五萬八千二百七十五億一千一百三十八萬六千六百四十一問方根若干
　　答曰二十一
　　列實【法同前】作點【自末位單數作點起
　　逆上每隔十一位點之】
　　求初商　用最上一點截實七三五五為初商實查表得十一乘方根二定為初商【以其積四○九六對減初商實餘三二五九以俟續商皆各如法書之】
　　初商二十【有二點初商是十】
　　求初商　用第二點上餘實【三二五九八二七五一一三八六六四一】為次商實
　　亷隅共積　　併　得　　　　三二五九八二七五一一三八六六四一依法求得次商一【書初商二十之下其亷隅共積三千二百五十九萬八千二百七十五億一千一百三十八萬六千六百四十一減餘實恰盡】
　　凡開得十一乘方根二十一
　　還原　用方根【二十一】自乘十一次復得原積
　　又法　置方根自乘再乘得【九二六一】為立方積立方積自乘得【八五七六六一二一】為五乘方積五乘方積又自乘得十一乘方原積
　　開方簡法　置設積【七三五五八二七五一一三八六六四一】以平方法開之得五乘方積【八五七六六一二一】又置為實以五乘方法開之得根二十一

　　開十二乘方
　　設十二乘方積一十五兆四千四百七十二萬三千七百七十七億三千九百一十一萬九千四百六十一問方根若干
　　依法列實　作點【自末位單數作點起逆上隔十二位點之】
　　求初商　用最上一點截原實一五四四七為初商實查表得十二乘積【八一九二】其方根二即以二定為初商【其積數與實對減餘七二五五再俟續商】
　　求初商　用第二點上餘實七二五五三三七七七三九一一九四六一為次商實

　　亷隅共積　　　併　　得　　七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一【書于初商二十之下再將亷隅共積七兆二千五百五十二萬三千七百七十七億三千九百一十一萬九千四百有六十一以減餘實恰盡】
　　凡開得十二乘方根二十一
　　還原　置方根二十一自乘十二次復得原積或以方根【二十一】自乘得【四四一】再乘得【九二六一】三乘得【一九四四八一】為三乘方積即以三乘方積自乘得【三七八二二八五九三六一】再自乘得【七三五五八二七五一一三八六六四一】為十一乘方積又置為實而以方根【二十一】乘之得十二乘原積又法　以方根自乘再乘得【九二六一】為立方積就以立方積自乘三次得【七三五五八二七五一一三八六六四一】為十一乘方積如前再以方根乘之亦得原積
　　又法　以根【二十一】自乘之平方【四四一】為法自乘四次得九乘方積【一六六七九八八○九七八二○一】再以根【二十一】再乘之立方【九二六一】乘之得十二乘原積並同
　　論諸乘方簡法
　　凡開平方二次即三乘方也是為方之方開平方立方各一次五乘方也可名為立方之平方亦可名為平方之立方
　　開平方三次七乘方也或三乘方平方各開一次亦同可名為平方之三乘亦可名為三乘方之平方
　　開立方二次八乘方也可名為立方之立方
　　開四乘方平方各一次九乘方也可名為四乘方之平方
　　開平方二次立方一次十一乘方也或三乘方立方各一次亦同可名為三乘方之立方亦可名為立方之三乘方
　　按惟四乘方六乘方十乘方不能借用他法同文算指謂四乘方開二次為六乘方又謂四乘方開三次為十乘方非也且四乘方平方各一次已為九乘方矣安得有開四乘方二次而反為六乘開四乘方三次而止為十乘乎必不然矣

　　演諸乘方逓增通法
　　平方積自乘為三乘方　立方積自乘為五乘方　三乘方積自乘為七乘方　四乘方積自乘為九乘方五乘方積自乘為十一乘方　六乘方積自乘為十三乘方　七乘方積自乘為十五乘方　八乘方積自乘為十七乘方　九乘方積自乘為十九乘方　十乘方積自乘為二十一乘方　十一乘方積自乘為二十三乘方　十二乘方積自乘為二十五乘方　十三乘方積自乘為二十七乘方　十四乘方積自乘為二十九乘方　十五乘方積自乘為三十一乘方【以上並超兩位】平方積再自乘為五乘方　立方積再乘為八乘方三乘方積再乘為十一乘方　四乘方積再乘為十四乘方　五乘方積再乘為十七乘方　六乘方積再乘為二十乘方　七乘方積再乘為二十三乘方　八乘方積再乘為二十六乘方　九乘方積再乘為二十九乘　十乘方積再乘為三十二乘方【以上並超三位】
　　平方積自乘三次為七乘方　立方積自乘三次為十一乘方　三乘方積自乘三次為十五乘方　四乘方積自乘三次為十九乘方　五乘方積自乘三次為二十三乘方　六乘方積自乘三次為二十七乘方　七乘方積自乘三次為三十一乘方【以上並超四位】
　　平方積四乘為九乘方　立方積四乘為十四乘方三乘方積四乘為十九乘方　四乘方積四乘為二十四乘方　五乘方積四乘為二十九乘方【以上並超五位】平方積五乘為十一乘方　立方積五乘為十七乘方三乘方積五乘為二十三乘方　四乘方積五乘為
　　五十九乘方【以上並超六位】
　　平方積六乘為十三乘方　立方積六乘為二十乘方三乘方積六乘為二十七乘方　四乘方積六乘為
　　三十四乘方【以上並超七位】
　　平方積七乘為十五乘方　立方積七乘為二十三乘方　三乘方積七乘為三十一乘方【以上並超八位】
　　平方積八乘為十七乘方　立方積八乘為二十六乘方　三乘方積八乘為三十五乘方【以上並超九位】
　　平方積九乘為十九乘方　立方積九乘為二十九乘方【以上並超十位】
　　【平方至十二乘方已有初商表其十三乘以後不及詳列推以根之為二為三者演之至三十二乘以見其意】
　　根二【至三十二乘則有十位】　　　　根三【至三十二乘則有十六位】
　　【十三乘】　　　　　一六三八四　　　　　　四七八二九六九
　　【十四乘】　　　　　三二七六八　　　　　　一四三四八九○七
　　【十五乘】　　　　　六五五三六　　　　　　四三○四六七二一
　　【十六乘】　　　　一三一○七二　　　　　一二九一四○一六三
　　【十七乘】　　　　二六二一四四　　　　　三八七四二○四八九
　　【十八乘】　　　　　五二四二八八　　　　　一一六二二六一四六七
　　【十九乘】　　　　一○四八五七六　　　　　三四八六七八四四○一
　　【二十乘】　　　　二○九七一五二　　　　一○四六○三五三二○三
　　【二十一乘】　　　四一九四三○四　　　　三一三八一○五九六○九
　　【二十二乘】　　　八三八八六○八　　　　九四一四三一七八八二七【二十三乘】　　一六七七七二一六　　　二八二四二九五三六四八一【二十四乘】　　三三五五四四三二　　　八四七二八八六○九四四三【二十五乘】　　六七一○八八六四　　二五四一八六五八二八三二九
　　【二十六乘】　　一三四二一七七二八　　　　七六二五五九七四八四九八七【二十七乘】　　二六八四三五四五六　　　二二八七六七九二四五四九六一【二十八乘】　　五三六八七○九一二　　　六八六三○三七七三六四八八三【二十九乘】　一○七三七四一八二四　　二○五八九一一三二○九四六四九【三十乘】　　二一四七四八三六四八　　六一七六七三三九六二八三九四七【三十一乘】　四二九四九六七二九六　一八五三○二○一八八八五一八四一【三十二乘】　八五八九九三四五九二　五五五九○六○五六六五五五五二三

　　附開多乘方求次商捷法
　　列實作點截實求初商如常法既得初商減一等自乘為亷積【加五乘方則用四乘】又以本乘方數加一為亷數【如五乘方則用六】亷數乘亷積得數為法以除餘實為次商遂合初商次商數依本乘方數乘之【如五乘方亦自乘五次】得積合原數定所得為方根【如原積數少不及減則改次商及減而止】
　　假如三乘方積五百七十六萬四千八百○一問方根若干
　　答曰四十九
　　如法於初商表取三乘方積二五六
　　減原實定初商為四十餘實【三二○四八○一】為次商實　法置初商四○自乘
　　再乘得【六四○○○】為亷積【本方三乘故亷積用再乘為減一等】又以四為亷數【三乘方故用四為亷數為加一數】亷數乘亷積得【二五六○○○】為法以除次商實得九為次商【得數可進一十因欲存第二亷以下亷隅積數不得滿除只商作九數待酌】遂合初商次商共四十九依法自乘得【二四○一】又以【二四○一】自乘得【五七六四八○一】以較原實相同減盡即定四十九為三乘方根

　　歷算全書卷五十九