歷算全書卷五十八
宣城梅文鼎撰
幾何補編卷四
方燈
凡燈形内可容立方立方在燈體内必以其尖角各切於八三角面之心
如圖
燈體者立方去其八角也平
分立方面之邊為點而聯為
斜線則各正方面内成斜線
正方依此斜線斜剖而去其
角則成燈體矣此體有正方
面六三角面八而邊線等故
亦為有法之體
凡燈體内可容八等面八等面在燈體内又以其尖角各切於六方面之心
凡燈體内可容立圓此立圓内仍可容八等面此八等面在立圓内可以各角切立圓之點同會於燈體之六方面而成一點
凡燈體容立圓其内仍可容諸體然惟八等面在立圓内仍能切燈體餘不能也按圓燈在立圓内亦能切燈體與八等面同
凡諸體相容皆有一定比例以其外可知其内
燈體之邊設一百其幂一萬○倍之二萬開方得一百四十一【四二一三】為燈之高及其腰廣【邊如方面高廣如斜故倍幂求之】以高一百四十一【四二一三】乘方斜之面幂二萬得二百八十二萬八千四百二十六為方斜之立方積
立方積五因六除得二百三十五萬七千○二十一為燈積
燈積為立方六之五
以燈積減立積餘四十七萬一千四百○五為内容八等面積此八等面在立積内亦在燈積内皆同腰廣同高 其積之比例為立積六之一為燈積五之一此相容比例
八等面與燈積不惟同高廣亦且同邊故五之一亦即為八等面與燈積同邊之比例也
燈形内容立方其邊為燈體高廣三之二 設燈體邊一百其高廣一百四十一【四二一三】則内容立方邊九十四【二八○八】立方積八十三萬八千○五十一
燈高廣自乘之幂二萬如左圖甲乙方去其左右各六之一餘三之二如丙丁矩又去其两端六之一餘三之
二如戊正方丙丁矩一萬三千
三百三十三【三三】戊正方八千
八百八十八【八八】為内容正方
之一面幂其根九十四【二八○八】以根乘面得八十三萬八千
○五十一
凡等邊平三角之心依邊剖
之皆近大邊三之一燈内容
立方之八角皆切於平三角
之心燈改立方則所去者皆
四圍斜面三之一於前形爲六之一四圍皆六之一合之爲三之一而所存必三之二矣
凡立方體各自其邊之中半斜剖之得三角錐八此八者合之卽同八等面體
依前算八等面體其邊如方其中高如方之斜若以斜徑爲立方則中含八等面體而其體積之比例爲六與一
何以言之如己心辛爲八等
面之中高庚心戊爲八等面
之腰廣己庚己戊戊辛辛庚
則八等面之邊也若以庚心
戊腰廣自乘爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乘之爲甲乙丙丁立方【立方一面之形與平面等】則八等面之角俱正切於立方各面之正中而爲立方内容八等面體矣夫己心辛庚心戊皆八等面【己庚等面】爲方之斜也故曰以其斜徑爲立方則中含八等面體也
又用前圖甲乙丙丁爲立方之上下平面從己庚庚辛辛戊戊己四線剖至底則所存爲立方之半而其所剖
三角柱體四合之亦爲立方之
半也
此方柱也其高之度如其方之斜
立方之四隅各去一立三角
柱則成此體 其積爲立方
之半爲八等面之三倍其中
仍容一八等面體
八等面體在方柱體内
柱形從對角斜線【如己辛戊庚】剖
至底又從對邊十字線【如丑尾卯
箕】剖至底又從腰線【角申亢】横
截則剖為三角柱一十六【即皆
如心辛申未丑之體】
三角柱眠視之則塹堵也
塹堵從一尖【即心尖】斜剖至對
底【未申】則鼈臑也鼈臑居塹堵
三之一
塹堵立則為三角柱鼈臑立
則為三角錐
八等面體從尖心剖至對角
亦剖至對邊而皆至底【子】又
從腰【角申亢】横剖之則成三角
錐十六
夫方柱為塹堵十六而八等
面為鼈臑亦十六則塹堵鼈
臑之比例即方柱八等面之
比例矣鼈臑為塹堵三之一
則八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既為方柱三之一不得不為立方六之一矣
立方内容燈體
甲庚立方體六面各平分其
邊【如壬丑癸卯及子未酉午辰諸點】而斜剖
其八角【如從丑癸剖至子從從癸卯剖至酉從酉
剖至午未則立方去其八角】成燈體
燈體立方六之五
何以知之立方所去之八角
合之即成八等面八等面既
為立方六之一則所存燈體
不得不為立方六之五矣
凡立方内容燈體皆以燈之邊線為立方之半斜立方内之燈體又容八等面則以内八等面之邊線為立方之半斜與立方竟容八等面無異推此燈内容八等面其邊線必等其中徑亦等
剖立方之角成此
以剖處為底則三邊等以立
方之角丁為頂成三角扁錐
扁錐立起則成偏頂錐為八
等面分體
凡八等面容燈體皆以燈體
之邊線得八等面之半八等
面内之燈體又容立方則亦
方斜比例與八等面竟容立
方無異也
甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁
乙皆八等面之一己子卯等
小三角在甲丁丙等大三角
面内即燈體之八斜面正切
於八等面者也其中央心點
即内容立方角所切
等徑之比例
立方徑一 其邊一 其積一 一○○○○○○内容燈徑一 其邊○七 其積六之五○八三三三○○内容八等面徑一 其邊○七 其積六之一○一六六六○○凡立方内容燈體燈内又容立圓圓内又容八等面其切於立方之面之中央凡六處皆同一點若立圓内容燈體燈内又容立方方内又容八等面其相切俱隔遠不能同在一點
凡燈體皆可依楞横剖如方燈横剖成六等邊面故其外切立圓之半徑與邊等 如圓燈横剖成十等邊面故其外切立圓之半徑與其邊若理分中末之全分與其大分
凡諸體改為燈皆半其邊作斜線剖之
凡燈體可補為諸體皆依其同類之面之邊引之而會於不同類之面之中央成不同類之錐體乃虛錐也虛者盈之即成原體所以化異類為同體也
如方燈依四等邊引之補其八隅成八尖即成立方若依三等邊引之補其六隅成六尖即成八等面如圓燈依五等邊引之補其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等邊引之補其十二隅成十二尖即成二十等面
增異類之面成錐則改為同類之面而異類之面隱此化異為同之道也
凡燈體之尖皆以两線交加而成故稜之數皆倍於尖【方燈十二尖二十四稜圓燈三十尖六十稜】
凡燈體之稜【即邊】皆可以聯為等邊平面圈 如方燈二十四稜聯之則成四圈每圈皆六等邊如六十度分圓線 圓燈六十楞聯之則成六圈每圈皆十等邊如三十六度分圓線 此外惟八等邊聯之成三圈每圈四楞成四等面而十二稜成六尖有三稜八觚之正法其餘四等面十二等面二十等面皆不能以邊正相聯為圈
燈體亦有二
其一為立方及八等面所變其體有正方之面六三角之面八有邊稜二十四而皆同長稜尖凡十有二其一為十二等面二十等面所變其體有五等邊之面十二有三角等邊之面二十有邊楞六十而皆同長稜尖凡三十
立方及八等面所變是刓方就圓終帶方勢謂之方燈十二等面及二十等面所變是削圓就方終帶圓體謂之圓燈方燈為立方及八等面所變其狀並同而比例同
甲乙立方體丙丁戊己庚辛
壬癸子皆其邊折半處各於
折半點聯為斜線【如丙戊丙己等】依
此燈體斜線剖而去其角則
成燈形矣
燈形之丁辛高丙丁濶皆與立方同徑 其邊得立方之半斜【假如立方邊丁辛一百則燈體邊丁壬七十有奇】其積得立方六之五【假如立方邊一百其積百萬則燈體邊七十有奇其積八十三萬三千三百三十三三三】此為立方内容燈體之比例也若燈與立方同邊必反小于燈【假如燈體邊亦一百則其積二百三十五萬七千○二十一而立方一百之積只一百萬是反小於燈也】解曰燈體邊一百【如前圖之丁壬】其外切立方必徑一百四十一【四二一三如前圖之丁辛】其自乘之幂二萬以徑乘幂得二百八十二萬八四二六為立方積再五因六除得燈積二百三十五萬七千○二十一
又法以燈邊自乘倍之開方得根仍以根乘倍幂再五因六除
見積亦同
甲乙為八等面體 甲乙丙
丁戊皆其邊稜所輳之尖
甲丙丁面三邊皆等其三邊
折半於辛於庚於己
甲丁戊面其邊折半於辛於
壬於癸乙丙丁面其邊折半
於寅於己於丑乙丁戊面其
邊折半於丑於癸於子各以折半點聯為斜線則各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等邊面其邊皆半於原邊如庚辛得丁丙之半餘三邊同
各自其小三角之面之邊剖之而去其錐角則成燈形矣
如依辛巳己丑丑癸癸辛四邊平剖之而去其丁角【以丁角為尖辛巳丑癸為底成扁方錐甲丙乙戊尖並同】則所剖處成辛巳丑癸平方面【去甲壬辛庚錐成卯壬辛庚面去丙庚己寅錐成庚酉寅己面並同一法餘可類推】
八等面體有六角皆依法剖之成平方面六而剖之後各存原八等面中小三角等邊面八與立方剖其八角者正同
燈形之高濶皆得八等面之半
如辛丑高得甲乙之半
己癸濶得丙戊之半
其邊亦為八等面原邊之半
其積得八等面八之五
何以知之曰同類之體積以
其邊上立方積為比例故邊
得二之一其積必八之一也
今所剖去之各尖俱以平
方為底而成方錐兩方錐合
為一八等面體皆等面等邊
與原體為同類而其邊正得
原邊二之一則其積為八之
一也 原體六尖各有所成之錐體皆相等合之成同類八等面之體凡三其積共為原積八之三以為剖去之數則所存燈體得八之五也
如上圖甲乙二錐合為八等面體一丙戊二錐合為八等面體一 丁尖及所對之尖其二錐合為八等面體一 通共剖去同類之形三
假如八等面之邊一百則其積四十七萬一千四百○四其所容燈體邊五十其積必二十九萬四千六百二十七五 以八等面積五因八歸之見積
或用捷法竟以十六歸進位所得燈積亦同
右法乃八等面内容燈體比例也
若燈體之邊與八等面同大則其積五倍大於八等面假如燈體邊一百則其積二百三十五萬七千○二十以八等面邊一百之積四十七萬一千四百○四加五倍得之 此法則燈體與八等面同為立方所容之比例亦即為燈内容八等面之比例
准此而知燈内容八等面八等面又容燈則内燈體為外燈體八之一
燈體内容八等面 五之一 【用畸零乘法化大分為小分以八等面母數八乘五之一】八等面内容燈體 八之五 【得八乘母數五得四十】
外燈體四十 八等面體八 内燈體五 合之為内體得外體四十之五約為八之一
又八等面容燈燈又容八等面内八等面亦為外八等面八之一 其體之比例既同則其所容之比例亦同也立方内容燈體燈内又容立方則内立方邊得外立方邊三之二内立方積得外立方積二十七之八
以三之二自乘再乘為三加之比例也
六 之 五 一百三十五
二十七之八 四十八
准此而知燈内容立方則内立方積得燈積一百三十五之四十八 若燈容立方立方又容燈則内燈積亦為外燈積二十七之八其為所容者之比例即能容者之比例故也求方燈所去錐體
三角錐稜皆五十即原邊之
半【甲乙甲丙甲丁】 底之邊皆七十
○【七一○七】即燈體之邊【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】
求甲戊斜垂線
法曰乙丁為甲乙之方斜線則甲戊為半斜與乙戊戊丁等皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十
求丙戊中長線
以戊丁幂三因之為丙戊幂平方開之得六十一【二三七二】為丙丁乙等邊三角形中長線
求甲己中高線
法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一為己戊幂【四百一十六六六六六】與甲戊幂【即丁戊幂】相減餘【八百三十三三三三三】為甲己中高幂開方得甲己中高二十八【八六七五】
又以己戊幂開方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】為乙丙丁三等邊幂
又以中高甲己【二十八八六七五】乘之得數三除之得三角錐積二萬○八百二十三【六六三五】又八乘之得一十六萬六千五百八十七【三○】為所去八三角錐共積即立方一百萬六之一與前所推合【本該一十六萬六千六百六十六六六不盡因積算尾數有欠然不過萬分之一耳】
圓燈為十二等面二十等面所變體勢並同而比例亦别
公法皆於原邊之半作斜線相聯則各平面之中成小平面此小平面與原體之平面皆相似即為内容燈體之面 依此小平面之邊平剖之去原體之銳角此所去之銳角皆成錐體錐體之底平割錐體則原體挫銳為平亦成平面於燈體原有若干銳亦成若干面而與先所成之小平面不同類然其邊則同
如圖
十二等面每面五邊等今自
其各邊之半聯為斜線則成
小平面於内亦五等邊為同
類
依此斜線剖之而去其角所
去者皆成三角錐錐體既去
即成三等面為異類
原有十二面故所存小平面
同類者亦有十二
原有二十尖故所剖錐體而
成異類之面者亦二十
求燈體邊
法以十二等面邊為理分中末之大分求其全分而半之即為内容燈體之邊
一率 理分中末之大分 六十一【八○三三九八】二率 理分中末全分之半 五十○
三率 十二等面之邊 一百○○
四率 内容燈體之邊 八十○【九○一七】
燈體邊原為大横線之半十二等面邊與其大横線若小分與大分則亦若大分與全分也而十二等面邊與燈邊亦必若大分與全分之半矣
總乘較為實戊丙底為法法
除實得丙辛以丙辛減戊丙
得戊辛折半為戊己
法當以所得戊己自乘為句
幂用減甲戊幂餘為甲己幂
開方得一十七【八四一一】為中高
今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂
九之一為戊己幂【戊己為戊内三之一
故其幂為九之一】得五百四十五【四二
三七】
或徑用戊丁幂三之一亦同
又捷法不求甲戊斜垂線但以戊丁幂三分加一以減甲丁【即甲丙或甲乙】幂為甲己幂開方即得甲己中高比前法省數倍之力
戊丁幂 一千六百三十六【二七一二】
三之一 五百四十五【四二三七】
併得 二千一百八十七【六九四九】
甲丁【即甲丙幂】二千五百○○
相減餘【甲乙幂】 三百一十八【三○五一】 與前所得同解曰原以戊丁幂減甲丁幂得甲戊幂復以戊丁幂三之一減甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而減甲丁幂即徑得甲己幂其理正同
前之捷法有求丙辛及較總相乘後用底除諸法可謂捷矣今法徑不求甲戊斜垂線捷之捷矣凡三角錐底濶等者當以為式
訂定三角錐法【圓燈所去】
用捷法以戊丁幂三分加一減甲丁幂為甲己幂
甲丁【甲乙甲丙】皆設五十
丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其
半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】為底之垂線
甲己一十七【八四一一】為中高
丙乙丁底幂二千八百三十四
【一○三八】
法以半邊【戊丁】乘中長【丙戊】得底幂【丙乙丁】 以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱積五萬○五百六十三【五二九三】 三除之得錐積一萬六千八百五十四【五○九七】 又以二十乘之為燈體所去之積三十三萬七千○九十○【一九四○】十二等面邊設一百前推其積為七百六十八萬三千二百一十五今減去積三十三萬七千○九十存燈積七百三十四萬五千一百二十五 内容燈體邊八十○【九○一七】
依測量全義凡同類之體皆以其邊上立方為比例可以推知二十等面所變之燈體
二十等面邊設一百則燈體之邊五十
捷法求得一百七十三萬三千九百四十八為設邊五十之燈積
一 燈體邊八十○【九○一七】之立方五十二萬九千○百○八【五】二 燈體積七百三十四萬五千一百二十五
三 燈體邊五十之立方一十二萬五千
四 燈體五十之積一百七十三萬三千九百四十八圓燈
邊設三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圓半徑五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圓全徑一百【即外切立方】體積四十○萬三千三百四十九
内有三角錐計二十共計一十二萬
八千七百五十二
五稜錐計十二共積二十七萬四千
五百九十六
丁中丙乙三角錐為圓燈分體之一 乙丁丙三等邊面巳為平面心 中為體心 中巳為分體之中高戊丁為半邊丁中自體心至角線為分體之稜 戊中為斜垂線
乙癸中辛五稜錐亦圓燈分體之一 乙丁癸壬辛五等邊面庚為平面心 中庚為分體中高 其戊丁半邊丁中分體稜戊中斜垂線與前三角錐皆同一線何以知两種錐形得同諸線乎曰乙戊丁邊两種分體所同用而两種錐體皆以體心中為其頂尖故諸線不得不同觀上圖自明
先算三角錐【共二十】
半邊一十五【四五○八五】戊丁幂二百三十八【七二八七】
平面容圓半徑【即戊巳】○八【九一○五】其幂七十九【五七六二用捷法取戊丁幂以三除得之】
平面積【乙丙丁面】四百一十三【四八七九】
中高【即己中】四十六【七○七五本法以戊丁幂減丁中幂為戊中幂又以戊丁幂三之一當戊己幂減之為巳中幂今徑以戊丁幂加三之一減丁中幂為己中是捷法也】
三角錐積六千四百三十七【六六二○】
二十錐共積一十二萬八千七百五十三【三四】
次算五稜錐【共十二】
半邊一十五【四五○八五戊丁】
半周七十七【二五四二五用半邊五因得之】
平面容圓半徑二十一【二六六三戊庚】
五等邊平積一千六百四十二【九一二○】
中高四十一【七八五三庚中】
五稜錐積二萬一千九百六十二【六六】
十二錐共積二十七萬四千五百九十六
求戊庚半徑
一率 三十六度切線 ○七二六五四
二率 全數 一○○○○○
三率 半邊戊丁 一十五【四五八五】
四率 平面容圓半徑【戊庚】二十一【二六六二】
戊丁句幂二百三十八【七二八七】丁中弦幂二千五百○○
戊中股幂二千二百六十一【二七一三】
戊庚句幂四百五十二【二五五五】戊中弦幂二千二百六十一【二七一三】庚中股幂一千八百○九【○一五八】
戊丁半邊幂四因之為全邊三十○【九○一七】之幂
一 燈體邊五十之立方一十二萬五千
二 燈體邊五十之體積一百七十三萬三千九百四
十八
三 燈體邊三十○【九○一七】之立方二萬九千五百○八
【四九八七】
四 燈體邊三十○【九○一七】之體積四十○萬九千三百二十九與細推者只差五千九百八十為八十分之一
柱積六萬八千六百四十九
錐積二萬二千八百八十三
十二錐共積二十七萬四千五百九十六
孔林宗附記
方燈可名為二十四等邊體 圓燈可名為六十等邊體
四等面體又可變為十八等邊體為六邊之面四為三邊之面四凡十二角
又可變為二十四等面體面皆三邊凸邊二十四凹邊十二十字之交六凡八角如蒺藜形
六等面體又可變三十六等邊體為八邊之面六為三邊之面八凡二十四角
八等面體亦可變三十六等邊體為六邊之面八為四邊之面六凡二十四角
又可變四十八等邊體為四邊之面十八為三邊之面八凡二十四角
大圓容小圓法 平渾
甲大圓内容乙戊丙三小圓
法以小圓徑【如乙戊戊丙】為邊作
等邊三角形而求其心如丁
乃於丁戊【三角形自心至角線】加戊甲
【小圖半徑】為大圓半徑【丁甲】
凡平圓内容三平圓四平圓五平圓六平圓皆以小圓自相扶立 若平圓内容七平圓以上皆中有稍大圓夾之
甲大渾圓内容丙戊乙己四
小渾圓法以小渾圓徑【如乙戊戊
巳等】為邊作四等面體而求其
體心如丁 次求體心至角
線【如丁戊丁己丁乙丁丙又為外切立圓半徑】加小渾圓半徑【即戊甲】為大圓半徑【如丁甲】
凡渾圓内容四渾圓或容六渾圓或容八渾圓十二渾圓皆直以小渾圓自相扶 若渾圓内二十渾圓則中多餘空必内有稍大渾圓夾之
甲大平圓内容乙戊丙己四
小平圓法以小圓徑【如乙戊等】為
邊作平方【如乙戊丙己方】而求其斜
【如丁乙即方心至小圓心線】加小圓半徑
【如乙甲】為大圓半徑【如丁甲】
若先有大圓【甲】而求所容小圓則以三率之比例求之一率 方斜併數 二四一四
二率 方根 一○○
三率 所設之渾圓半徑 丁甲
四率 所容之小圓半徑 乙甲
推此而知五等邊形於其銳角為心半其邊為界作小圓而以五等邊之心至角如半邊以為半徑而作大圓則大圓容五小圓俱如上法
若六等邊於其鋭作小圓仍可於其心作圓共七小圓何也六等面之邊與半徑等也其法只以小圓徑【即六等邊】
二分加一為大圓半徑
甲大渾圓内容乙丙等六小
渾圓
法以小渾圓之徑為邊作八
等面虛體如乙己丙辛戊皆
小立圓之心聯為線則成八
觚 乃求八等面心【丁】至角
之度【如丁乙等】加小圓半徑【如甲乙】為大渾圓半徑【如甲丁】
捷法以小渾圓徑為方【即乙己丙
辛平方】求其斜【如丁乙】加小圓半
徑【如甲乙】為大圓半徑或以小渾圓徑自乘而倍之開方得根加小圓半徑為大圓半徑亦同
或先得大圓而求小圓徑則用比例
一率 方斜并 二四一四
二率 方根 一○○
三率 所設大渾圓之徑
四率 内容六小渾圓之徑
甲渾圓内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圓
法以小立圓徑【如乙丙等】作二十
等面虛體之稜【如乙丙等俱小圓之心聯
為線則成二十等面之稜】次求體心【丁】至
角【即小圓心】之線【如乙丁】加小圓半
徑【如甲乙】為大圓半徑【如甲丁】按體心至角線即二十等面
外切圓半徑
二十等面之例邊一百【即小渾圓
例徑】
外切渾圓例徑二百八十八
【一三五五】
二十等面邊一百者其外切渾圓徑一百八十八奇又加小渾例徑得此數
若先有大渾圓而求所容之十二小渾圓則以二率爲一率四率爲三率
一 外切渾圓之例徑二百八十八【一三五五】
二 二十等面之例邊一百【卽小渾圓例徑】
三 設渾圓之全徑一百
四 内容十二小渾圓之徑三十八【六九 其比例如全四八 分與小分】甲庚大平圓内容七小圓
法以甲庚圓徑取三之一【如丁
乙庚辛等】爲小圓徑若容八圓以
上則其數變矣假如以七小圓
均布於大圓周之内而切於
邊則中心一小圓必大於七
小圓而後能相切【以上倣此】
甲大渾圓内容八小立圓
法以小圓徑作立方【如乙庚方】求
其立方心至角數【即外切渾圓半徑如
乙丁】再加小圓半徑【如甲乙】為大
渾圓半徑【如甲丁】
按八小員半徑十【甲乙】則其全徑二十内斜線【乙丁】十七加【甲乙】共二十七内減小圓徑二十餘七倍之得十四是比小圓半徑為小其比例為十之七安得復容一稍大小圓在内乎
又二十等面有十二尖可作十二小圓以居大渾圓之内而為所容
又八等面有六尖可作六小圓為大渾圓所容 四等面有四尖可作四小圓
又方燈亦有十二尖可作十二小圓為大渾圓所容其中容空處仍容一小圓為十三小圓皆等徑也
十二等面有二十尖用為小渾圓之心可作二十小立圓以切大渾圓内有稍大渾圓夾之
圓燈尖三十可作三十小球亦皆以内稍大渾圓夾之公法皆以心至尖為小渾圓心距體心之度皆以小渾圓徑為所作虛體邊
如作内容二十小渾圓聯其心成十二等面虛體虛體之各邊皆如小渾圓徑也虛體之各尖距心皆等此距心度以小渾圓半徑加之為外切之大渾圓半徑以小渾圓半徑減之為内夾稍大渾圓半徑
渾圓内容各種有法之體以查曲線弧面之細分公法凡有法之體在渾圓體内其各尖必皆切於渾圓之面
凡渾圓面與内容有法體之尖相切成點皆可以八線知其弧度所當
内惟八等面皆以弧線十字相交為正角餘皆鋭角其十二等面則鈍角
十二等面每面五邊等析之從每面之角至心成平三
角形五則輳心之角
皆七十二度半之三
十六度即甲心乙角
其餘心乙甲角必五
十四度倍之為甲乙
丁角則百○八度故
為鈍角
凡渾圓面切點依内切各面之界聯為曲線以得所分渾體之弧面皆如其内切體等面之數之形
如四等面則其分為弧面者亦四而皆為三角弧面十二等面則亦分弧面為十二而皆成五邊弧形八等面則弧面亦分為八二十等面弧面亦分二十而皆為三角弧形内惟六等面為立方體所分弧面共六皆為四邊弧形
凡渾圓面上以内切兩點聯為線皆可以八線知其幾何長
其法以各體心到角之線命為渾圓半徑以此半徑求其周作圈線即為圓渾體過極大圈以八線求两點所當之度即知兩點間曲線之長
凡渾圓面以曲線為界分為若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂積
假如四等面外切渾圓依切點聨為曲線分渾圓面為四則此四相等三角形弧面各與渾圓中剖之平圓面等幂何也渾圓全幂得渾體中剖平圓面之四倍今以渾幂分為四即與渾圓中剖之平圓等幂矣
推此而知六等面分外切渾圓幂為六即各得中剖平圓三之二
八等面分渾圓幂為八即各得中剖平圓之半幂十二等面分渾圓幂為十二即各得中剖平圓三之一二十等面分渾圓幂為二十即各得中剖平圓五之一凡依等面切渾所剖之圓幂又細剖之皆可以知其分幂
假如四等面所分為渾圓幂
四之一而作三角弧面若中
分其邊而會於中心則一又
剖為三為渾圓幂十二之一
與十二等面所分正等但十
二等面所剖為三邊弧線等此所分為四邊弧線形如方勝而邊不等若自各角中會於心成三邊形其幂亦不等也
再剖則一剖為六為渾圓面幂二十四之一【皆得十二等面所剖之半而邊不等】若但一剖為二則得渾圓幂八之一與八等面所剖正等但八等面三邊等又三皆直角此則邊不等又非直角
假如八等面所剖為渾幂八
之一若一剖為二則十六之
一剖為四則三十二之一可
以剖為六十四至四千九十
六 若以三剖則渾幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再細剖之可以剖為九十是依度剖也可以剖為五千四百則依分剖也再以秒微剖之可至無窮
惟八等面可以細細剖之者以腰圍為底而两弦會於極其形皆相似故剖之可以不窮
又以此知曲面之容倍於平面何也八等面所剖之渾體腰圍即平圓周也以平圓周之九十度為底两端皆
以平徑為两弦以會於平圓
之心則其幂為平圓四之一
若渾體四面以腰圍九十度
為底两端各以曲線為两弦
以會於渾圓之極則其幂為
平圓二之一矣
假如六等面【即立方】在渾圓内
剖渾幂為六得渾幂六之一
若一剖為二則與十二等面
所剖等剖為四則二十四之
一再剖則一為八而得四十
八之一
假如十二等面剖渾幂為十
二各得渾幂十二之一若剖
一為五則得六十之一再剖
一為十則得百二十之一而
與八等面所剖為十五之一
假如二十等面剖渾幂為二十各得渾幂二十之一若一剖二則四十之一若一剖三則六十之一若一剖六則百二十之一皆與十二等面所剖之幂等而邊不必等也
凡球上所剖諸幂以為底直剖至球之中心成錐形即分球體為若干分
如四等面之幂得球幂四之一依其邊直剖至球心成三角錐其錐積亦為球體四之一推之盡然
幾何補編【補遺】
平三角六邊形之比例
平三角等邊形
甲丁丙三邊等形其邊【丁甲】折半
【丁乙】自乘而三之即為對角中
長線幂開方得中長線丙乙
既得中長線丙乙以乘丁
乙半邊即等邊三角形積 若以丙乙幂丁乙幂相乘得數平方開之得三等邊形之幂積
捷法不求中長線但以丁乙幂三因之與丁乙幂相乘開方得根即三等邊幂積 或用原邊丁甲自乘得數乃四分之取四之一與四之三相乘得數開方得三等邊積亦同
論曰邊與邊横直相乘得積若邊之幂乘邊之幂亦必得積之幂矣故開方得積
法曰以原邊之幂三因四除之又以原邊之半乘之兩次為實平方為法開之得三等邊形幂積
解曰原邊幂四之三即中長幂也半邊乘二次以幂乘也 又法以原邊與半邊幂相減相乘開方見積平三角等邊形幂積自乘之幂與平方形幂積自乘之幂若三與十六【理同前條】
解曰甲戊庚丁為平方形丁
丙甲為等邊三角形其邊同
為甲丁題言丁甲線上所作
三等邊形與所作正方形其積之比例若平積三與十六之平方根也【即一七奇與四○】
捷法於分面線上取三點為等邊三角形積其十六點即正方積 若以邊問積則以邊之方幂數於分面線之十六點為句置尺取三點之句即得三等邊積其設數得數並於平分線取之【此用比例尺算】
又法作癸卯辰半員辰癸為徑於徑上勻分十七分而儘一端取其四分如丑癸【丑癸為辰癸十七分之四則丑子為辰子十六分之三】
折半於丁以丁為心丁癸為
半徑作癸壬丑小半員又以
丁癸折半於子作卯子直線
【與辰癸徑為十字埀線】割小員於壬則
壬子與卯子之比例即三等
邊幂與正方幂積比例
用法有三等邊形求積法以甲丁邊上方形【即庚甲】積作卯子直線如句四倍之作横線如辰子為股次引横線取子癸為卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸為半徑丁為心作半員截卯子於壬即得壬子為三等邊積
捷法不作辰子線但於子作半十字線如癸丁次於子點左右取癸取丁各為卯子四之一乃任以丁為心癸為界作割員分即割卯子於壬而為三等邊形之積論曰此借用開平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以兩方之邊當句當股而求其弦是為并方法也其一用半員取中比例此所用者中比例也【詳比例規解】
附三等邊求容圓
法曰以原邊之幂十二除之為實平方開之得容圓半徑
解曰原邊幂十二之一即半邊三之一也
附三等邊形求外切圓
法曰以原邊之幂三除之為實平方開之得外切圓半徑 一法倍容圓半徑即外切圓半徑
新增求六等邊法
法曰六等邊形者三等邊之六倍也【以同邊者言】 用前法得三等邊積六因之即六等邊積
依前法邊上方幂與三等邊形幂若四○與一七奇因顯邊上方幂與六等邊形幂若四○與十○二奇【亦若一○○與二五五】
今有六等邊形問積 法以六等邊形之一邊自乘得數再以二五五乘之降兩位見積
解曰置四○與一○二各以四除之則為一○○與二五五之比例也
若問員内容六等邊形者即用員半徑上方幂為實以二五五為法乘之得數降二位見積亦同【降二位者一○○除也】依顯平員積與其内容六等邊形積之比例若三一
四與二五五
論曰六等邊形之邊與外切員形之半徑同大故以半
徑代邊其比例等【半徑上方與六等邊
形亦若一與二五五】然則員全徑上方
形與内容六等邊形必若四
○○與二五五【全徑上方原為半徑上方】
【之四倍】而員面幂積與六等邊形積亦必若三一四與二五五矣【員徑上方與員幂原若四○○與三一四故也】
用尺算 用平分線 求同根之幂
平方幂 四○○ 八十○ 【皆倍而退位之數】平員冪 三一四 約爲六十三弱【實六二八】
六等邊冪 二五五 五十一
三等邊冪 一七○ 三十四
右皆方内容員員内又容六角之比例其六等邊與員同徑乃對角之徑也於六等邊之邊則爲倍數三等邊則只用邊
若六等邊形亦卽用邊與平方平員之全徑相比則如後法
平方 四○○ 平方 一○○○○平員 三一四 平員 七八五四六角 一○二○ 六角 二五五○○三角 一七○ 三角 四二五○論曰以平方平員之徑六角三角之邊並設二○則爲平方四○○之比例若設一○○則如下方平方一○○○○之比例也
量體細法
四等面體求積
法曰以原邊之幂三除之得數以乘邊幂得數副寘之又置邊幂二十四除之得數以乘副平方開之即四等面積也
又法置半邊冪三除之得數以乘半邊幂得數副寘之又以六為法除半邊幂得數為實平方開之即四等面積四分之一也【即三角扁錐】
算二十等面
二十等面之稜線甲丁設一百七十八【原設一百一十因欲使外切立方與十二等面同故改此數】 心乙一百四十四【即原切十等邊之半徑又為外切立方之半徑】 外切立方徑二百八十八
求中心為分體之高 法先
求乙中【乃各棱折半處至三角面中央一點之距】依幾何補編半甲丁得八
十九為甲乙自乘【七千九百二十一】取三之一【得二千六百四十又三之一】為
乙中句幂又以心乙【一四四】自乘【二○七三六】為弦幂相減餘【一萬八千○九十五又三之二】為股幂開方得心中一百三十四半強為分體鋭尖之高倍之得二百七十九半弱為内容立員徑
求甲心為分體斜棱 法以甲乙為句其幂【七九二一】以乙心為股其幂【二○七三六】併之【二八六五七】為弦幂開方得甲心一百六十九二為分體自角至鋭之斜棱 倍之三百三十八半弱為外切渾員之徑
或取理分中末線之大分【如心乙】為股小分【如甲乙或丁乙】為句取其弦【甲心或丁心】為二十等面自角至心之楞線合
之成甲心丁形即二十等面分形之
斜立面也甲丁則原形之楞也
如【甲心丁】之面三皆以心角為宗以甲
心等弦合之【三面皆有此弦】則甲丁等底【三底
並同甲丁】以尖相遇而成三等邊之面即
二十等面之一面也以此為底則成
三角尖錐矣 尖錐之立三角面皆等皆稍小於底解曰乙戊與甲乙等而甲心與戊心【即乙心】不等如弦與股【乙戊即十等邊之一邊乃二十等面横切之面之邊】今欲求心中正立線中即
二十等面一面之中自此至
心成心中線則其正高也
法先求甲中為句取其幂以
減甲心弦幂即心中股幂開
方得心中
簡法取乙甲【即原楞之半又即小分】自幂三之一以減乙心【即大分又即原楞均半處至形心即斜立面中線】之幂即心中幂
又解曰原以甲乙半楞【又即二十等面中剖所成之楞即十等邊之一邊故為小分】為句【在形内為小分乃乙戊也今形外之甲乙與甲乙同大故亦為小分】乙心【即二十等面中切成十等邊自角至心之弦故為大分又即為二十尖錐各立面三角形之中長線】為股則甲心為弦【自各角至體心之線】而甲心弦幂内有乙心股甲乙句兩幂今求心中之高則又以甲中為句自各角至各面心也而仍以甲心為弦弦幂内減甲中句幂則其餘心中股幂也 依幾何補編甲乙幂三分加一為甲中幂故但於乙心幂内減去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心為弦則中乙為句而心中為股依補編中乙幂為甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一為句幂以減心乙弦幂即得心中股幂開方得心中此法尤捷
作法 以二十等面之楞【如甲丁】折半【如甲乙或丁乙亦即甲戊】為理分中末之小分求其大分【如乙心即二十等面各楞線當中一點至心之線亦即外切立方之半徑】 再以大分為股【乙心】小分為句【甲乙亦即甲戊亦即戊乙】取其弦【甲心即二十等面自各角至心之線謂之角半徑亦即切員半徑】 再以原楞【甲丁】為底切員半徑為兩弦【甲心及丁心】成兩等邊之三角形即二十等面體自各角依各楞線切至體心而成立錐體之一面三面盡如是則成三角立錐矣 如是作立錐形二十聚之成二十等面體
立錐體之中高線【心中】以乘三體面之幂而三除之得各錐積二十乘錐積得立積 其中高線【心中】即内容立員之半徑
立方内容二十等面體其根之比例若全分與大分立方内容十二等面體其根之比例若全分與小分二十等面體之分體並三楞錐以元體之面為底原體之楞【甲丁】折半【甲乙】為小分為句取其大分【心乙】為股句股求弦得自角至心為外切員之半徑【心甲】
假如【甲丁】原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘【三千○二十五】為句幂其大分乙心【即外切立方半徑】八十九自乘【七千
九百二十一】為股幂并二幂【一萬○九
百四十六】平方開之得弦【一○四又六二
不盡約為一○四半強】為角至體心之
線【心甲】即外切立員之半徑
算二十等面之楞於渾天度
得幾何分
法以心甲為渾天半徑甲乙
為正弦法為心甲與甲乙若
半徑與甲心乙角之正弦查正弦表得度倍之為丁甲通弦所當之度
算十二等面
五等邊面為十二等面之一 面有五邊在體之面則為五楞錐其一楞設一百一十【甲丙】半之五十五【乙丙】以甲丙為小分求其大分得一百七十八丙戊也【即丙丁壬丁壬戊丁角為丙中甲角之半與平圓十等邊之一面等】半之八十九已丙也【即乙辛以丙巳乙為兩腰等形辛巳乙亦兩腰等形故辛乙與巳丙等丙巳乙形與元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙為小分乙巳或辛乙為大分】為内作小五等邊之一邊【乙辛】亦即十二等面從腰圍平切之十等邊面也
又以乙辛為小分求得大分一百四十四心乙也【分圖辛心乙形即前圖辛心乙形乙辛為心壬之小分心乙為大分乙心線即五等面一邊折半處至體心之距丙點即五等面邊兩楞相凑之角 乙丙辛虛線形即前圖乙丙辛形】為甲丙半楞【乙丙】之全分何則前圖之丙巳乙形乙丙為小分丙巳為大分試於辛乙心形内【分圖】作庚辛乙形與丙巳乙形等【庚乙即乙丙五等面一邊之半乙辛庚辛即丙巳乙巳為小五邊形之一邊】則乙庚為小分乙辛為大分【心庚同】今又以乙辛為小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也【乙癸同】夫心乙乃庚乙【小分】辛乙【大分即心庚】之并則乙心為庚乙之全分矣其比例心乙與心庚若心庚與庚乙而乙心即外切立圓半徑也
右法楊作枚補
今求心中線為五等邊最中一點【中】至體心【心】之距亦即内容渾員半徑
先求乙中線為五等邊各楞折半處至最中之距 法為甲乙比乙中若半徑與五十四度之切線
一 半徑 一○○○○○
二 乙甲中角【五十四度】切線一三七六三八
三 半楞甲乙 五十五
四 中乙 七十五【七○】
用句股法以心乙【一百四十四】為弦中乙【七十五七】為句句弦各自乘相減得心中股幂平方開之得中高線【心中為容員半徑】求得容員半徑一百二十二半弱【心中】
又求甲心線為各角至體心之距【即外切渾員半徑】 用句股法以甲乙【五五】為句心乙【一四四】為股并句股幂求甲心弦
求得外切圓半徑一百五十四強【甲心】
十二等面根一一○【甲丙】
外切立員半徑一四四【心乙】全徑二八八○
内容渾員半徑一二二半【心中】全徑二四五【弱】
外切渾員半徑一五四【甲心】全徑三○八【強】
十二等面之分體並五楞錐並以五等邊面為底原體之楞甲丙設一百一十半之乙甲五十五為小分求其全分乙心一百四十四【即外切立方半徑】乙甲【五十五】自乘【三千○二十五】為句幂心乙【一百四十四】自乘【二萬○七百三十六】為股幂并之得【二萬三千七百六十一】平方開之得弦【一百五十四強】為自角至心之線甲心即外切員半徑
作法 以五等面之一邊為
底楞【甲丙】以外切員半徑【角至心之】
【線】為兩弦之楞【甲心及丙心】而會於心五邊悉同則為十二分體之一如是十二枚則成十二等面體
變體數
求渾圓積
設渾圓徑一○○○自乘得一○○○○○○又十一【古法】乘之得一一○○○○○○為實十四除之得○七八五七一四為平圓面幂或用舊徑七圍念二之比例亦得圓面七八五七一四以四因之得渾圓之幂三一四二八五六
置渾圓之幂以半徑五○○因之得一五七一四二八○○○是為以渾圓面幂為底半徑為高之圓柱形積置圓柱形積以三為法除之得五二三八○九三三三是為以渾圓面幂為底半徑為高之圓角形積亦即渾圓之積
渾圓根一○○○體積五二三八○九三三三用為公積
立方
置公積即渾圓積【五二三八○九三三三】立方開之得立方根八○六二○二七一七是為與渾圓等積之立方
方錐
置公積【五二三八○九三三三】以三因之得數立方開之得高濶相等之方錐形根一一六二二四四四四七是為與渾圓等積之方錐
方
錐
圓柱
置公積【同上】十四因之十一除之為實立方開之得高濶相等之圓柱形根八七四二三九四二是為與渾圓之積之圓柱
【圓柱】
圓錐
置公積【同前】以三因之【變圓錐形積為圓柱積】再以十四因之十一除之為實【變圓柱積為立方積】立方開之得高濶相等之圓錐形根一二五九四七五九是為與渾圓等積之圓錐 或置積以四十二因之十一除之立方開之亦同
【圓錐】
按變體線本法有四等面八等面十二等面二十等面諸數表皆未及其同者惟有渾圓立方二形其餘三形皆比例規解及測量全義之所未備今以法求之則皆長濶相等而不為渾圓立方者耳夫不為渾圖立方而仍可以法求者以其長濶相等則仍為有法之形也然而與今西書所載合者二不合者一意者其傳之有誤耶或其所用非徑七圍二十二之率耶俟攷
渾圓以徑求積
置徑自乘又以半徑乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之見積
解曰平圓與平方之比例知其周與周假如七則方周二十八圓周二十二兩率各折半為十四與十一 徑自乘則為平方形以十一乘十四除則平方變為平圓矣以平圓為㡳半徑乘之成圓柱形再以三歸之成圓角形【即圓錐】渾圓面幂為㡳半徑為高之角形四倍大於此圓角形故又四因之即成渾積也
捷法 徑自乘以乘半徑乃以四十四因四十二除見積 或徑上立方形二十二因四十二除或用半數十一因二十二除見積並同
渾圓以積求徑
置積以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方開之得圓徑
解曰圓積是圓角形四今三因之變為圓柱形四矣故用四除則成一圓柱此圓柱形是半徑為高全徑之平圓為㡳今以十四乘十一除則變為全徑之平方為㡳半徑為高矣故加一倍即成全徑之立方
捷法 積倍之以四十二因四十四除立方開之得圓徑 或用本積以八十四乘四十四除立方開之 或用半數以四十二乘二十二除立方開之 或又折半以二十一乘乘十一除立方開之得積並同
按徑七圍二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可見其立法之善雖異城有同情也雖其於真圓之數似尚有盈朒然所差在微忽之間而已吾及錫山楊崑生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小於徑七圍二十二之率則其所得圓積亦必小於古率矣
楊法立圓徑一○○○○積五二三八○九二五六四孔法立圓徑一○○○○積五二三五九八七七五
約法
立方與立圓之比例若二十一與十一 平圓與外方若十一與十四 平圓與内方若十一與七
圓内容方之餘【即四小弧矢形】若七與四圓外餘方【即四角減弧矢】若十一與三准此則餘圓【即小弧矢】與餘方若四與三而小弧矢與其所減之餘方角若一與七五亦若四與三也
歷算全書卷五十八
少廣拾遺序
少廣爲九章之一其開平方法爲薄海内外測量家所需非隸首不能作也平方而外有立方以爲鑿築土方之用課工作者猶能言之若三乘方以上知之者蓋已尠矣嘗見九章比類歷宗算會算法統宗俱載有開方作法本原之圖而僅及五乘竝無算例同文算指稍變其圖具七乘方算法而不適於用詮釋不無譌誤西鏡録演其圖爲十乘方而舉數僅詳平立三乘一式而已餘皆未及康熙壬申余在都門有友人傳遠問屬詢四乘方十乘方法蓋諸乘方法獨此二端不可以借用他法而問者及之竊喜朋儕中固自有留心學問之人遂稍取古圖紬繹發其指趣爲作十二乘方算例頗覺詳明然後知今日所用開平方法廼算數家徑捷之用而不及古圖之簡括精深也宣城梅文鼎