歷算全書卷五十七
宣城梅文鼎撰
幾何補編卷一
四等面形算法
先算平三角形平三角形
三邊同者求中得中長線
【乙甲】其三之一即内容平圓
半徑【心甲】其三之二即外切
圓之半徑【乙心或心丙】
又法以邊半之【丙甲】自乘得數【丙庚方】取其三之一開方【甲壬小方】得容圓之半徑【壬癸或甲癸俱與心甲等】又取自乘數【丙庚方】三分加一【丙庚方加壬甲小方】并而開方得外切圓之半徑【丙心】
論曰三邊角等則半邊之角六十度【丙心甲角】其餘角三十度【心丙甲角】内容圓半徑為三十度之正弦【心甲】外切圓半徑如全數【丙心】其比例為一與二故内容圓半徑【心甲】正得外切圓半徑【丙心】之半也【此論可解前一條】
形内丙心甲與乙心丁兩小句股形相等又並與乙甲丙大句股形相似【何則乙角丙角並分原等角之半丁甲等為正角則三角皆等而邊之比例等】而大形之句【丙甲】旣為其弦【乙丙】之半則小形之句【心丁亦即心甲】自必各為其弦【心乙亦即心丙】之半故知心甲【原同心丁】為乙甲之半也
心甲旣為心丙之半則心甲一心丙必二而丙戊必三矣【乙甲同】何也以乙心與丙心同為二心甲與心戊同為一也聯心乙二與心甲一豈不成三
今以内圓半徑為股【心甲】外圓半徑為弦【心丙】三邊之半為句【丙甲】成心甲丙句股形則心丙自乘内【弦幂】有心甲【股幂】及甲丙【句幂】兩自乘之積也而心甲股與心丙弦旣為一與二之比例則心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一減心丙弦幂四其餘積三即丙甲句幂矣故心甲之幂一則丙甲之幂三心丙之幂四今先得邊故以丙甲三為主而取其三之一為心甲股幂又於丙甲三加三之一為四即成心丙弦幂也【此論可解後一條】
以上俱明三等邊平面之比例
今作四面等體求其心
法自乙頂向子向甲剖切之成乙子甲三角面
心者面之心中者體之心
前圖所謂心者面之心也今
所求者體之心即後圖所謂
中也故必以剖而後見
次求甲丑線
乙子邊平分于丑從丑向甲
得垂線此丑甲垂線在體中
必小於乙甲在外之垂線故
乙甲如弦丑甲如股乙丑如句也法以甲乙弦自乘内減乙丑句幂餘為股幂開方得丑甲
又法凖前論乙丑之幂三【即丙甲皆半邊故】則乙甲之幂九【乙甲三倍大于心甲故心甲幂一則乙甲幂九】以三減九餘六亦即甲丑股幂矣以開方得甲丑
捷法倍原半邊【甲丙】自乘數以開方得【甲乙】中垂線 或半原邊【丙己】自乘之數開方亦得【甲丑】 丙甲之幂三【乙丑同】則甲丑之幂六而丙己之幂十二也【甲丑與丙己幂積之比例為一與二】次求心中線
捷法但半心甲自乘即心中幂
論曰心甲與心中猶甲丑與乙丑也甲丑幂與乙丑幂為六與三則心甲與心中之幂亦如二與一
又捷法心中之幂一心甲之幂二則乙丑之幂六【即丙甲】而心丙之幂八【亦即乙心】俱倍數
但以半邊【乙丑或丙甲】之幂取六之一即心中幂開方得心中即四等面形内容小渾圓之半徑也【心中線者即各面之心至體心也故為内容小渾圓半徑】
以心中之幂一【句】加乙心之幂八【股】并之為弦幂九開方得中乙【或中子或用前總圖則為甲丙為甲己並同】是即四等面形外切渾圓之半徑也外切圓之冪九【中乙】内切圓之冪一【心中】得其根之比例為三與一故四等面形内容渾圓之徑一則其外切渾圓之徑三又捷法但以乙丑半邊之幂加五【即二之一】為中乙【或中子等】幂開方得外切圓之半徑【蓋乙丑之幂六中乙之幂九其比例為一有半也】
此四邊不等形【又為三角立錐形】為
四等面形四之一各自中切
至邊線成此形其底三邊等
即四等面形之一面其高為中心即内容小渾圓之半徑其中乙等三楞線三倍大於中心之高即外切渾圓之半徑
取四等面形全積捷法
先取面幂【即前圖乙己丙平面依前比例求其幂】以内容圓半徑【心中】乘之得數四因三歸見積
法曰丙甲半邊之幂三則甲乙中長之幂九開方得中長【乙甲】以乘丙甲得乙己丙三等邊之幂積即四等面形之一面也
次求本積四之一【即各面輳心剖裂之形如右圖】
丙申半邊之冪六則中心之冪一開方得中心高以乘所得面冪而三分取其一即為四等面形四之一於是四乘之即為全積也
又捷法以丙甲乘心甲又以中心乘之即得本形四之一【即同三除以心甲為乙甲三之一故也】
此帶縱小立方形與右圖四等面形四之一等積
又捷法以丙己全邊【亦即丙乙】乘
乙心再以中心乘即得本形
全積【乙心為心甲之倍數丙己為丙甲之倍數用以】
【相乘則得丙甲乘心甲之四倍數也】
邊設一百
依上法求容
丙己邊一百其冪一萬丙甲半邊五
十其冪二千五百三因之得七千五百
為乙甲中垂之幂【丙甲股幂減丙己弦冪得句幂也丙己亦即丙乙】 平方開之得八十六【六○二五】為乙甲其三之一得二十八【八六七五】為心甲 其三之二得五十七【七三五○】為心乙 又置丙甲幂二千五百取六之一為心中幂得四百一十六六六不盡 開方得心中之高二十零四一二四亦即内容渾圓之半徑
依上法以丙己全邊一百乘乙心五十七【七三五○】得五千七百七十三半 又以心中二十零【四一二四】乘之得全積一十一萬七千八百五十一弱【與歷書微不同】
四等面體求心捷法
准前論心中幂一則心甲幂
二中乙幂九乙丑幂六以句
股法考之則中甲與中丑之幂俱三也
何也心中甲句股形以中甲為弦故心中句幂一心甲股幂二并之為中甲弦幂三也而乙中丑句股形以中丑為句故乙中弦幂九内減乙丑股幂六其餘為中丑句幂亦三也
由是徵之則中丑與中甲正相等但如法求得甲丑線折半得中點即為體心
又捷法取乙丑幂【即原設邊折半自乘】半之為中丑幂開方得中丑亦得甲中【或乙子全邊自乘取八之一為甲中幂亦同】
中丑即原邊乙子距體心之度甲中即原邊丙己距體心之度而中為體心
想甲點在丙己邊折半之處今從側立觀之則線化為點
而丙己與甲成一點故從丙
己原邊依楞直剖至乙子對
邊即成甲丑線其線即所剖
面之側立形
此圖即前圖甲丑線所切之
面蓋面側視則成線矣
原設四等面全形今依子丑
乙楞剖至甲則成縱剖圖故
甲點内有丙己線若依丙甲
己楞剖至丑則成横剖圖故
丑點内有子乙也
縱剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己邊於甲一也依丙乙楞剖而平分子巳邊二也依己乙楞剖而平分子丙邊三也
横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙邊于丑一也依子丙邊剖而平分乙己邊二也依子巳楞邊剖而平分丙乙邊三也其所剖之面並相似皆以中點為三對角垂線相交之心
一率 一一七八五一 例容
二率 一○○○○○○ 例邊之立方積
三率 一○○○○○○ 設容
四率 八四八五二九○ 設邊之立方積
開方得根二百○四弱為公積一百萬之四等面體楞與比例規解合
若商四數則其平廉積四十八萬長廉積九千六百其隅積六十四共得四十八萬九千六百六十四不足四千三百七十四為少百分之一弱故比例規解竟取整數也
計開
四等面諸數
邊一百
積一十一萬七八五一
積一百萬
邊二百○三九六
内容渾圓半徑二十○【四一二四】
内容渾圓全徑四十○【八二四八】
外切渾圓半徑六十一【二一○○】
外切渾圓全徑一百念二【四二○○】
互剖求心之圖
設邊一百其幂一萬【丙己乙子乙丙
乙己子丙子己並同為外切渾圓徑幂三之二】半邊五十其幂二千五百【丙甲
甲己乙丑丑子等並同為邊幂四之一】
斜垂線之幂七千五百【乙心甲子
角甲丙亢丑己氐丑並同為邊幂四之三】
其根八十六六○二五
斜垂線三之一二十八八六
七五其幂八百三十三三三
【即外切渾圓徑幂十八之一為邊幂十二之一】即各
面内容平圓半徑【心甲角甲亢丑氐丑並同】
斜垂線三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三【乙心子角丙亢己氐並同】
内容渾圓半徑二十○四一二四其幂四百一十六六六不盡【為邊幂二十四之一即外切渾圓三十六之一】即分體中高【心中角中亢中氐中並同】 若内圓全徑之幂則一千六百六十六六六【為邊幂六之一外切渾圓徑幂九之一】
外切渾圓半徑六十一二三七二其幂三千七百五十即分體之立面楞【乙中子中丙中己中並同】四因之為渾圓全徑幂一萬五千其徑一百二十二四七四四
又外切正相容之立方其幂五千為四等面邊幂之半即斜方之比例又為外切渾圓徑幂三之一
一率 外切渾圓徑一百二十二四七四四
二率 四等面之邊一百
三率 渾圓徑一百
四率 内容四等面邊八十一六四九六
又捷法渾圓徑幂一萬五千則内容四等面邊幂一萬或内容立方面之斜亦同為渾圓徑幂三之二
若設渾圓徑一百其幂一萬則内容四等面邊之幂六千六百六十六六六亦三之二也
平方開之得八十一六四九六為四等面邊即内容立方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三為渾圓徑幂三之一即方斜之半幂亦即四等面邊幂之半平方開之得五十七七三五○是為渾圓徑一百内容立方之邊亦即渾圓内容立方立方又容小圓之徑若於四等面内又容渾圓則其徑幂一千一百一十一一一為渾圓徑幂九之一為四等面幂六之一立方面幂三之一
開得平方根三十三三三不盡【幂九之一則其根必三之一也】為内容小渾圓之徑以徑乘幂得三萬七千○三十七為徑上立方積 以十一乘十四除得二萬九千一百○○半為圓柱積 柱積取三之二得一萬九千四百為小渾圓積得大渾圓二十七之一 以小渾圓積二十七因之得五十二萬三千九百為四等面外切大渾圓積【即徑一百之渾圓積也】
互剖求心法
凡四等面體任以一尖為頂則其垂線為自尖至相對之平面心【亦即平面容圓之心】而以餘三尖為底其垂線至底之點旁距三尖皆等【即乙心丙心己心三線之距心皆等而以子尖為頂其垂線為子中心其底為乙丙己平三角面餘倣此】此為正形【各尖皆可為頂其法並同】若以子中心垂線為軸而旋之則成圓角體
凡四等面體任平分一邊而平分之點為頂以作垂線則其垂線自此點至對邊之平分點而以對邊為底底無面但有邊底邊與頂邊相午直正如十字形假如以子乙邊平分於丑以線綴而懸之則其垂線至所對丙己邊之平分正中為甲點其線為丑中甲而子乙邊衡於上則丙己邊縱於下正如十字無左右之欹亦無高下之微差也
若以丑中甲垂線為軸旋之則成圓柱體
凡四等面體以其邊為斜線而求其方以作立方則此立方能容四等面體
何以知之曰准前論以一邊衡於上而為立方上一面之斜則其相對之一邊必縱於下而為立方底面之斜
矣又此二邊之勢旣如十字
相午直而又分於上下為立
方上下兩面之斜線然則自
上面之各一端向底面之各一端聯為直線即為四等面之餘四邊亦即立方餘四面之斜如此則四等面之六邊各為立方形六面之斜線而為正相容之體如前所論圓角體圓柱體雖亦能容四等面形而垂線皆小於圓徑故不得為正相容
捷法四等面之邊自乘折半開方即正相容之立方根【即弦倍句股意】設邊一百其幂一萬折半五千即為立方一面之積求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂線之高
若以此作容四等面之圓柱則其高七十○七一○六同立方之方根而其圓徑一百同立方面之斜此圓柱内可函立方
其乙中子中等為自四等面體心至各角之線又為立方心至各角之線又為外切渾圓之半徑又為四等面分為四體之楞線又為立方分為六方錐之楞線又捷法以四等面之邊幂加二分之一開方即外切正相容之渾圓徑亦即立方體内對角線【如自乙至震】折半為自心至角線 四等面設邊一百其幂一萬用捷法二分加一得一萬五千為外切正相容之渾圓全徑幂開方得一百二十二四七四四為渾圓全徑折半得六十一二三七二為渾圓半徑
立方内容四等面圖
設立方邊一百其積百萬内
容四等面邊一百四十一【四二
一三】其積三十三萬三千三百
三十三【三三三三】為立方積三之
一乾坤震巽立方【乾丙坤己乙巽子震與中心之丑甲同高】内容子乙丙己四等面為立方積三之一
何以明之凡錐體為同底同高之柱體三之一今自立方之乙角依斜線剖至丙巳成乙丙巳巽三角錐以丙巳巽立方之半底為底又自子角斜剖至丙巳成子丙巳震錐以丙巳震立方之半底為底合丙半底則與立方同底矣而子震與乙巽之高即立方高也是此二錐得立方三之一矣
又自子乙斜線斜剖至巳角成倒錐以子乙坤立方之半頂為底以坤巳立方高為高又自子乙斜剖至丙角亦成倒卓之錐以子乙乾立方之半頂為底以乾丙立方高為高與前二錐同亦三之一也
合此二錐共得立方三之二則其餘為子乙丙巳四等面體者必立方三之一矣
准此論之凡同邊之八等面積四倍大於四等面積何以知之以此所剖之四錐體合之則為八等面之半體皆以剖處為面而其邊其面皆與四等面等是同邊之體也而八等面之半體旣倍大於四等面則其全體必四倍之矣
設八等面邊一百四十一【四二一三】與四等面同邊則八等面之積一百三十三萬三千三百三十三【三三不盡】為四等面之四倍
若設四等面邊一百則其外切之立方面幂五十立方根七十○【七一○六】以根乘幂得立方積三十五萬三千五百五十三四等面積一十一萬七千八百五十一為立方積三之一
推得八等面邊一百其積四十七萬一千四百○四此同邊之比例
若立方内容之八等面則其積為立方内容之四等面二之一何以知之八等面與立方同高則其積為立方六之一故也
設立方邊一百内容八等面邊七十○【七一○六】其積一十六萬六千六百六十六為四等面之半若設立方邊七十○【七一○六】則内容八等面積五萬八千九百二十五半其邊五十
四等面體又容小立方小立
方内又容小四等面體則内
容小立方徑為外切立方三
之一内小四等面在小立方
内其徑亦為四等面三之一
而其積皆二十七之一
何以知之凡三等邊平面之心皆居垂線三之一假如子巳丙為四等面之一面其平面之心必在癸而子甲垂線分三之一為癸甲其餘三面盡同而内容之小立方必以其下方之兩角縱切子巳丙之癸心及乙己丙之壬心其上方之兩點必横切於子乙己之卯心及子乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角同切此四點也今壬癸兩點旣下距丙己線為其各斜垂線三之一而卯申兩點又上距子乙線之斜垂線亦三之一則其中所餘三之一必為立方所居也而内小立方不得不為子乙與丙己相距線三之一矣
問癸點為三之一者斜面之垂線也小立方者直立線也何以得同為三之一乎答曰癸點所居三之一雖在斜面而子乙縱線與丙己横線上下相距必有垂線直立於其心此直立垂線即前圖之甲丑與外切立方線同高者也丑甲中垂線以上停三之一之上點與卯申平對以下停三之一之下點與壬癸平對依句股法弦與股比例同也然則丑甲線之中停即小立方之所居矣
又丑甲者即外切立方之高也故知小立方徑為外切立方徑三之一
又小四等面在小立方内以其邊為小立方之斜而縱横邊相午對如十字其中心亦以丑甲線之中停為其軸其斜面之勢一切皆與大四等面同而丑甲者亦大四等面之軸也小四等面之中軸旣為丑甲三之一其餘一切皆三之一矣
夫體積生於邊者也邊為三之一者面必為九之一體必為二十七之一無疑也
准此論之渾圓在四等面内者亦必為外切渾圓二十七之一其徑亦三之一也何也渾圓之切點與小立方小四等面之切點並同也
以此推知小立方與小四等面在大四等面内或居小渾圓内以居大四等面内其徑積並同
求體積
渾圓徑一百其徑上立方一百萬依立圓法以十一乘十四除得七十八萬五千七百一十四為圓柱積仍三分取二得五十二萬三千八百○九為渾圓積
内容立方面幂三千三百三十三【三三】其邊五十七【七三五○】以邊為高乘面得一十九萬二千四百五十○為内容立方積
内容四等面體邊幂六千六百六十六【六六】其邊八十一【六四九六】
依前論四等面體為立方三之一得六萬四千一百五十○為四等面積
立方内容小渾圓以立方之邊為徑五十七【七三五○】依立圓法以立方積十一乘十四除得一十五萬一千二百一十為圓柱積取三之二得一十○萬○八百六十六為小立圓積
四等面内容小渾圓徑幂一千一百一十一【一一】其徑三十三【三三】以徑乘幂得徑上立方積三萬七千○三十七以十一乘十四除得二萬九千一百○半為圓柱積又三分取一得一萬九千四百為立方内之四等面内容小渾圓積為大渾圓積二十七之一若先有内小渾圓積但以二十七因之得大渾圓積
依此論之凡渾圓内容立方立方内又容四等面體四等面内又容小渾圓其内外相似之大小二體皆二十七之比例也
又捷法用方斜比例
立方面之斜設一百其冪一萬則其方冪五千用三
因之得一萬五千開方得立
方對角斜線即為外切渾圓
全徑
立方面之斜一百即立方内容四等面之邊
立方體對角斜線一百二十二【四七四四】即立方外切渾圓之全徑亦即四等面外切渾圓全徑半之得六十一【二三七三】即立方外切渾圓半徑亦即立方體心至各角之線亦即四等面體心至各角之線
八等面形圖註
第一合形
甲丁 甲丙 甲己 甲戊
丁丙 丙己 己戊 戊丁
戊乙 己乙 丁乙 丙乙
以上形外之楞凡十有二即根
數也其長皆等
或設一百為一楞之數則十二楞皆一百也
甲丁戊 甲戊己 甲己丙 甲丙丁 丙丁乙己丙乙 戊己乙 丁戊乙
以上形周之分面凡八皆等邊平三角形也其容積其邊皆等
或設一百為邊數則三邊皆一百而形周之分面八皆三邊邊皆一百也
第二横切形【二】
甲丁丙己戊為上半俯形
丁丙己戊乙為下半仰形
右二形各得合形之
半皆從
丁戊楞横剖至己丙
一俯一仰皆方錐扁形丁丙
己戊為方錐之底其邊皆等
其從四角凑至頂之楞皆與
底之邊等
第三直切形【四】
從甲尖依前後楞直剖過丁
己至乙尖成左右兩形
從甲尖依左右楞直剖過丙
戊至乙尖成前後兩形
此四形者一切皆與仰俯二
形同但彼為眠坐之體故為
方錐【仰者即倒卓方錐】而此則立體即如打倒方錐之形也第四横切之面一直切之面二
因横剖得正方平面在立方錐以此
為底倒方錐以此為面在合形則為
腰圍其己丁及丙戊兩對角斜線相
交於心即兩直切之界也【心即合形中心】因直剖得斜立方面二其己丁及戊
丙横對角線即横切之界其從甲至
乙垂線即直剖之界如立面在前後
互剖之形則此線為左右直剖之界
彼此互為之也亦即為全形之中高
徑線
以此知八等面之中高線為方斜之
比例
第五分形
因横剖及兩直剖分總形為八皆
三角錐形也
皆以等邊平三角形面為錐形之
底而以横直剖線相交處之點為
其銳頂即合形之中心也
其自頂心至角之楞皆等皆邊線
之方斜比例也【底線為方則此線為其斜之半】而
此楞線又即為八等面形之外切
圓之半徑
設己戊邊一百其幂一萬則心戊
楞之幂五千【倍戊庚半邊之幂為半斜幂也】戊心之幂五千内減戊庚幂二千
五百則其餘二千五百為心庚之
幂故心庚必與戊庚等
從心頂對己庚楞直剖至庚分形為兩則其中剖處成三角平面
己庚者乙己戊等邊三角平面之
中垂線也其幂為邊四之三設邊
一百之幂一萬則己庚之幂七千
五百
庚辛者平面三角容圓之半徑也得己庚三之一其幂則九之一也己庚之幂七千五百則庚辛之幂八百三十三【三三】辛點即各三角平面之中心
以庚辛幂八百三十三【三三】減心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六開方為心辛即分形之中高也求得分形中高四十○【八二四七】
依平面三等邊法設邊一百其中長線八十六【六○二五】其幂積得四千三百三十○【一二五○】 取平幂三之一得一千四百四十三【三七五○】以乘中高得分形積五萬八千九百二十五【三五一三】 再以八因之得總積四十七萬一千四百○二【八一○四】與總算合
設八等面之邊一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方 半之為每角輳心之線之幂得○五○○○此線即分形自底角輳頂心之楞【如心戊心己心乙】又為八等面形外切渾圓之半徑 又半之為分形每面自頂至邊斜垂線之幂【即心庚】得○二五○○此線即設邊之半其幂為設邊四之一
設半邊之幂取其三之二為分形中高線之幂【即心辛】得○一六六六不盡又為八等面形内容渾圓之半徑捷法取八等面設邊之幂六而一為八分體中高之幂開方得中高
假如設邊一百其幂一萬則分體中高之幂一千六百六十六不盡 求其根得四十○【八二四八】 以中高乘三角平面幂三除之得分體八因之得全積
又捷法八等面設邊之幂取三之二為體内容渾圓之徑幂開方得内容渾圓徑折半為八分體中高
假如設邊一百其幂一萬則内容渾圓之徑幂六千六百六十六不盡 求其根得八十一【六四九六】 折半為分體中高
或竟以内容渾圓全徑乘設面三角平幂四因三除之得全積
又捷法 此方斜之比例
八等面設邊之幂倍之為體外切圓徑幂開方得徑以乘設邊之幂【即腰廣平方】得數三歸見積
假如設邊一百其幂一萬其斜如弦弦之幂倍方幂得二萬求其根得一百四十一【四二一三】 以乘腰廣一萬得一百四十一萬四千二百一十三 三除之得總積四十七萬一千四百○四
一系 八等面體之邊上幂與其外切渾圓之徑上幂
其比例為一與二【方斜比例】
一系 八等面體之邊上幂與其内容渾圓之徑上幂
其比例為三與二
一系 八等面體外切渾圓之徑上幂與其内容渾圓之徑上幂 其比例為三與一
准此而知八等面内容渾圓渾圓内又容八等面其渾圓外切之八等面邊或徑上幂與内容之八等面邊或徑上幂其比例亦必為三與一也
計開
八等面形諸數
設邊一百 其積四十七萬一四○四【與歷書所差甚微】其體外切渾圓之徑一百四十一【内外兩渾圓之徑幂為三與一其根約為四與七而強】體内容渾圓之八十一
八等面外切立方徑一百四十一【方斜比例也與外切渾圓同】八等面内容立方徑四十七
内外切大小立方之徑之比例為三與一
内外兩立方之積之比例為二十七與一
若渾圓内容立方立方内容八等面體八等面體内又容渾圓則大小兩渾圓之徑亦若三與一其積亦若二十七與一
一率 四七一四○四 例容
二率 一○○○○○○ 例邊之立方
三率 一○○○○○○ 設積
四率 二一二一三二二 設邊之立積
開立方得根一百二十八為公積一百萬之八等面根【與比例規解合】
幾何補編卷二
二十等面形自腰切之成十等邊平面
先求甲丁 乃十等邊平面
從心對角之線 亦即二十
分形各三角立體一面之中
垂斜線
法為甲乙【即切形十等邊之半在原設二十等面形邊為四之一】與甲丁若十八度之正弦與全數也【十等邊各三十六度其半十八度】
設邊一百 所切十等邊平面之邊五十 其半甲乙二十五
一率 十八度正弦 ○三○九○
二率 全數 一○○○○
三率 甲乙 二五
四率 甲丁 八○【九○六一】
用等邊三角求容圓法
設邊一百 其内容圓半徑二十八【八六七五】為心甲
以心甲為句二十八【八六七五】其幂八百三十三【三三二五】以甲丁為弦八十○【九○六一】其幂六千五百四十五【七九七○】
句幂減弦幂餘五千七百一十二【四六四五】為心丁股幂開方得心丁七十五【五八○八】 此即各面切形自各面之心至切體尖之高也 其切體之尖即原設二十等面總形之體心為丁點
用後法得乙己丙平面幂積四千三百三十○【一二五○】又依三等邊角形設邊一百【丙己】 其半五十【丙甲】 求到乙甲中長八十六【六○二五】用其三之一即心甲二十八【八六七五】以與丙甲五十相乘得一千四百四十三【三七五○】為各等面平積三之一【三因之得平面幂】
又以丁心七十五【五八○八】乘之得一十○萬九千○九十一【四三七二】為二十等面形分切每面至心之積又以二十乘之得全積
依上法求到二十等面全積
設邊一百 其積二百一十八萬一千八百二十八【查比例規解差不多惟測量全義差遠】
按此法以本形分為二十各成三角立錐形而各以分形之高乘底取三之一以為分形積然後以等面二十為法乘而并之得總積可謂的確不易矣然與歷書中比例規解及測量全義俱不合何耶
計開
二十等面形
設邊一百 其每面中長線八十六【六○二五】
其每面幂積四千三百三十○【一二五○】
其每面容平圓之心作線至形心之丁七十五【五八○八】即心丁 心丁即内容渾圓之半徑
其分形各以每面之幂積為底心丁為高各得三角立錐積一十萬九千○九十一【四三七二】
其立錐積凡二十合之得總積二百一十八萬一千八百二十八
用上法求形内容渾圓
其心丁七十五【五八○八】即内容渾圓半徑【以心丁線與各平面作垂線而丁點即體心故】倍之得一百五十一【一六一六】為内容渾圓全徑置小渾圓徑一百五十一零自乘得二萬二千八百○一以十一乘十四除得一萬七千九百一十五為圓幂置内容渾圓之平圓幂一七九一五以圓徑一百五十一取三之二得一百強以乘平圓幂得一百八十○萬二千二百四十九為二十等面内容渾圓之積
置内容圓徑一百五十一自乘得【二萬二千八百○一】再乘【三百四十四萬二千九百五十一】以立員捷法【○五二三五九八七七】乘之得渾圓積一百八十○萬二千七百二十五
先用密率【十四除十一乘】得渾圓一百八十萬二千二百四十九以較立圓捷法所得少尾數四百七十六約為一萬
八千之五弱不足為差也
依立圓法以圓率三一四一五九二乘立圓法六而一得五十二萬三五九八為徑一百之渾圓積
依法求得立方邊五十七【七三五○】立方積一十九萬二四五○四等面積六萬四千一百五十○並合前算小渾積一○○七六六 若用捷法以渾圓率五二三五九八乘立方積得數後去末六位亦得一十○萬○七六六
内容渾圓尚且如此之大况二十等面之形又大於内圓乎然則歷書之率其非確數明矣
二十等面
一率 二一八一八二八 例容
二率 一○○○○○○ 例根一百之體積三率 一○○○○○○ 設容
四率 ○四五八三三二 所求根立積
如法算得二十等面之容一百萬其根七十七
比例規解作七十六尚差不多測量全義云二十等邊設一百其容五二三八○九則大相懸絶矣久知其誤今乃得其確算己未年所定之率以兩書酌而為之究竟不是今乃得之可見學問必欲求根也
二十等面分體之圖
亥子戌為二十等面之一面
亦即各分體之底
亥子子戍戍亥皆其邊即根
也半之為亥甲
甲乙丙為横邊切處即横切成十等邊形之一邊丁為體心亦即切十等邊平面之中心
甲乙丙丁即横切十等邊平面之分形 心為二十等面每面之正中 心丁為體周各平面至體心之垂線亦即分體之中高亦即體内容渾圓之半徑 丁亥丁子丁戌皆分體之楞線乃自各分面角輳體心之稜也亦即為外切渾圓之半徑 丁甲丁丙皆横切平面各角輳心之線亦即分體各斜面之中垂斜線也
求法以丁甲為股亥甲為句【即根之半】兩幂相并開方得弦即丁亥也【丁子丁戌同】
求二十等面外切渾圓之半徑
依句股法 以丁甲股八十○【九○六一】自乘幂六千五百四十五【七九七○】 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相并為亥丁弦幂九千○四十五【七九七○】 平方開之得亥丁九十五【一○五二】為外切渾圓半徑 亦即二十分形自其各角輳心之稜 倍之得一百九十○【二一○四】即外切渾圓全徑
計開二十等面體諸數
設邊一百 其容二百一十八萬一千八百二十八其内容渾圓徑一百五十一 其外切渾圓一百九十其每面中心至體心七十五半【即内容渾圓之半徑】
其每面各角至體心九十五【即外切渾圓之半徑】
計開二十等面體諸用數
設邊一百 外切立方之半徑八十○【九○一七】為體心至邊之半徑【即寅中卯中辰中等】
倍之為邊至邊一百六十一【八○三四】即外切立方全徑外切渾圓之半徑九十五【一○五六】為體心至各角尖之半徑【即甲中戊中心中等】
倍之為角尖至角尖一百九十○【二一一二】即外切渾圓全徑
内容渾圓及内容十二等面之半徑七十五【五七六一】為體心至各面之半徑【即己中庚中等】
倍之為内容渾圓全徑一百五十一【一五二二】為面至面内容十二等面之邊五十三【九三四四】
每面之幂四千三百三十○【一二五○】
二十等面之幂共八萬六千六百○二半
分體積一十○萬九千○八十四【六五】為二十等面體積二十之一
合之得全積二百一十八萬一千六百九十三
内容小立方之邊八十七【二六 以内容立圓徑自乘七七 乏幂取三之一開方得之】
内容燈體邊五十【即原邊之半】
立方内容二十等邊算法
亢卯寅房為立方全徑一百
中寅中卯為半徑五十
寅卯二點為二十等面邊折
半之界
寅卯線為二十等面邊之半
中為體之中心 寅中卯角為三十六度
中寅半徑當理分中末之全數 寅卯即理分中末之大分
甲戊戊心心甲皆寅卯之倍數即
二十等面之邊其數六十一【八○三三九八】
甲辰半邊三十○【九○一六六九與寅卯同】
心辰垂線五十三【五二三三】 半垂線心箕二十六【七六一六】 甲辰幂九百五十四【九一五○】 三因甲辰幂為心辰幂二千八百六十四【七四五○不盡】
計開
立方徑設一百 半徑五十
理分中末線大分六十一【八○三三九八】即二十等面之邊論曰以中寅半徑五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊邊原倍於寅卯寅房全徑亦倍於寅中是全數與大分皆倍也故徑以全數當寅房全徑以理分中末之大分當甲戊等二十等邊之全邊也
又立方邊設一百【即寅房徑】 半之五十【即中寅】
内容二十等面之邊六十一【八○三三九八即甲戊等】
面之中垂線五十三【五二三三即心辰】
中垂線之半二十六【七六一六即心箕】
面之幂一千六百五十三【九五七八甲戊心面】
中垂線三之一得一十七【八四一一即心己】
内容立圓半徑四十六【七○八六即己中】 全徑九十三【四一七二】二十等面全積五十一萬五千○二十六【九五九七】
約法
立方根與所容二十等面之邊若全數與理分中末之大分 面幂三之一以乘容圓全徑得數十之為全積中垂線三之一心己為句【即平面容員半徑】自乘得句幂三百一十八【三○四八四九】以減中寅弦幂二千五百○○餘己中股幂二千一百八十一【六九五一五一】開方得己中根四十六【七○八六】
二十等面邊設一百用理分中末線求其外切之立方一率 二十等面邊六十一【八○三三九八】
二率 外切立方一百○○
三率 二十等面邊一百○○
四率 外切立方一百六十一【八○三四】
依法求得二十等面邊一百其外切立方一百六十一【八○三四】與先所細算合
半圓内容正方
法以圓徑為三率【丙丁】 理分中末之小分為二率【庚辛】理分中末全線加小分為首率【丁辛為全線再加庚辛為小分共得為丁庚總線也】 二三相乘一率除之得四率【丙乙即甲丁】為全徑之小
分以減全徑餘【乙丁】乃于乙作
正十字線至圓界【如己乙】即以
此線自乘作正方【己甲】如所求
論曰己乙即丙乙與乙丁之中率而丙乙旣為乙丁全徑之小分則己乙即大分也而甲乙亦為大分 甲丁亦為小分矣若自甲作甲戊必與己乙甲乙等而其形正方
半渾圓内容立方
法以乙甲圓徑自乘之幂取其六之一開方得容方根【丙丁方丙戊邊】
論曰試倍甲丙乙庚半渾圓為全渾圓體亦倍丙丁正方形作丙己長立方形亦必能容矣然則丙己線在長
立方形之内為斜線者亦即
渾圓之徑也【與甲乙徑等】
試於長立方面作戊己斜弦
則己壬為之句戊壬為之股
而戊己弦幂内有己壬幂與
戊壬幂矣
而丙己線為弦則戊己又為
股丙戊又為句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣【丙戊亦即己壬】
又戊壬為己壬【即丙戊亦即戊癸】之四倍則戊壬股幂内有己壬句幂四合之為戊己弦幂則戊己幂内有己壬幂五矣
而丙己弦幂内復兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己旣同圓徑則取其幂六之一開方必丙戊容方邊矣
立方内容十二等面其内又容立方【此相容比例】
立圓内容十二等面其内又
容立方此立方之面幂為外
圓徑上面幂三之一而立方
之各角即同十二等面角以切於立圓之面
法以外切渾圓徑上幂取三之一為十二等面内小立方幂平方開之得小立方根根乘幂見積
又簡法以十二等面之面幂求其横剖之大線此線即
十二等面内容小方之邊
如圖作甲乙線剖一面為二
此線在面中最大即為内小
立方根以此自乘而三之即
小立方外切渾圓徑幂
凡立方内容二十等面二十等面内又容渾圓圓内又容小立方此小立方之各角能同渾圓之切點以切於二十等面之平面心
法以内容渾圓徑之幂取三
之一為内小立方之幂平方
開之得切點相距即小立方
根以根乘幂見積
簡法取内容渾圓之内小立方邊求其理分中末之大分為内容十二等面邊
又簡法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大線即二十等面内容小立方之根 以根自乘而三之即二十等面内容渾圓之徑幂 開方得根即内容渾圓徑 折半為分體之中高
此二十等面之面作三分之
一横剖
此十二等面之面在二十等
面内
此五等面邊即前横線所成
凡五等邊平面其邊即七十二度之通弦横剖大線即一百四十四度之通弦各折半為正弦可以徑求一率 三十六度正弦
二率 七十二度正弦
三率 五等邊之一邊
四率 横剖之大線
凡十二等面體與二十等面體可互相容而不窮十二等面體有二十尖二十等面體有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧
凡二十等面内容立圓仍可以容二十等面
二十等面内容立圓仍可以容十二等面
甲心乙 乙心丙 丙心丁
丁心戊 戊心甲 皆二十
等面之一面其各三邊皆等
各以庚辛壬癸己為其面之
心若内容十二等面體則十二等面之各尖必切於庚辛壬癸己等心點
今求内容十二等面之邊則必以庚辛等心點聯為直線即成五等邊面之邊而與十二等面之形相似而可
以相容矣
法當以邊【如甲戊】半之【如甲辰】作
對心垂線【如辰心】成心辰甲句
股形既得己卯倍之為己庚即内容十二等面之一邊二十等面體内容十二等面之圖
第一圖原形如五面扁錐心
尖鋭起甲心戊等三等邊平
面凡五共輳而成一心尖乃
二十等面四之一
其己庚辛壬癸五點皆三等邊平面之中心亦即内容十二等面之稜尖所切故必先求此點
簡法曰以甲戊邊半之於辰作辰心對角斜垂線又以心甲心戊各取三分之二為心子心丑乃聯子丑為線與甲戊邊平行與辰心垂線十字交於己點則己點即甲心戊平面之心再從子至午作與邊平行線線之半即庚點餘三面盡如此作平行線則辛點在午未線壬點在未酉線癸點在酉丑線但半之皆得心矣
第二圖剖形是五等邊平面
因前圖所作子丑等平行線
横剖之去其中高之尖成子
午未酉丑五等邊平面此平
面之心點在前圖心頂之内
惟子丑等邊線是原形所作平行線在體外可見餘皆以剖而成乃從各角作線至心如子心等分形為五皆平面三角形而心子等線皆小於子丑邊因子己原邊及子心丑角求得心己垂線及子心對角線
第三圖正用之形即内容十二等面之一面
因前第二圖各平分其邊得
己庚辛壬癸五點即原形之
平面心又聯此點作己庚等
直線則成此形以此形為内容十二等面之一面則己庚等五點為十二等面之鋭角而皆切二十等面之平面心矣
求己庚線法因心子對角線及心己垂線子己原半邊得己卯倍之為己庚
第一圖
設二十等面邊一百 甲戊等五邊甲心等五輳頂線並同 則子心六十六【六六】 子丑平行線同 皆為原邊三之二 心己斜垂線五十七【七三五○】 為心辰斜垂線三之二
以上用第一圖乃斜立面也
第二圖
子己半邊三十三【三三】 子心對角線五十六【七○九九】己心垂線四十五【八七九二】
法為全數與五十四度之割線【一七○一三○】若子己邊與子心也子己乘割線以全數十萬而一得子心
又全數與五十四之切線【一三七六三八】若子己邊與己心也子己乘切線以全數十萬而一得己心 凡全數除降五位
第三圖 仍從第二圖生
己庚等兩平面心相距線五十三【五八一六】 其半己卯二十六【七九○八】
法為子心對角線與己子半邊若己垂線與己卯也倍己卯得己庚
求得二十等面邊一百 内容十二等面其邊五十三【五八一六】
捷法但用法聯兩平面之中心點即為内容十二等面之邊 兩平面心相聯為直線之圖
乙心甲及戊心甲兩等邊平
三角面以甲心邊為同用之
邊而甲心隆起如屋之山
兩平面之中心為己為庚聯
為己庚線與甲心為十字然
不緊相切何也甲心既隆起
則甲心折半之卯在己庚折
半之柳點上其距為卯柳
試側視之則甲心戊面變為
戊卯線甲心乙面變為卯乙
線而甲卯心線變為卯點己
庚點在平面原近甲心點為
卯戊卯乙三之一則卯柳之距亦為垂線三之一矣二十等面從腰横剖之圖
凡二十等面體其面之邊皆
等而皆斜交故邊皆高於面
面之中心如己如庚是距體
心最近之處故為内容渾圓
及十二等面所切之點也
邊之兩端又高於其折半之處邊所輳為尖如甲如戊如乙如心等是距體心最遠之處故為外切渾圓及外切十二等面之尖也 其各邊折半之點如寅如卯其距體心在近遠酌中為外切立方之半徑其内切之己庚外切之甲戊乙心等賴寅卯距心之線為用然後可知故其用最要
横剖所成之面【十二等面從腰横剖其根亦同】
問各邊既高於面而又斜交
何以能横切成平面乎曰從
右圖觀之甲戊尖最高則其
所對之乙心等邊似平矣而
乙心等尖亦高則其所對之甲戊等邊又平一高一平彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之處其距體心皆等聯之為線即成相等之線而皆平行也
然則何以知其為十等邊平面曰准右圖上下各五面其腰圍亦上下各五面而尖牙相錯成十面今各從其半邊剖之則必為十邊平面無疑也
如圖奎卯寅十等邊平面以中為心
中寅中卯皆原體心與其邊
折中處相距之半徑亦即為
外切立方之半徑也於前圖
作外切之奎角卯寅平圖則
寅卯等即為分圓線乃全圈十分之一當三十六度理分中末線圖
奎中為全徑井中為半徑以半
徑【設五十】為句全徑【設一百】為股
求其弦得一百一十一【八○三三】
【九八】為井奎 以井為心中為界作圓分如中斗截井奎線於斗則井斗亦半徑也 以井斗減井奎其餘斗奎即為理分中末線之大分【亦即奎牛】 以奎牛為度作點于倍徑之圈周而徧即成十平分圈周之點聯其點為線即成寅卯等十等邊故十等邊之寅卯等即木圈半徑之理分中末大分也 若奎中為半徑則井中為半半徑亦同
奎中全數【半徑】設一百 寅卯必六十一【八○三三九八】即半徑理分中末之大分【奎牛即奎斗】
理分中末線 法以全數一百之幂一萬為股幂其半五十之幂二千五百為句幂并得一萬二千五百為弦幂開方求其根得一百一十一【八○三三九八】以半數五十減之得六十一【八○三三九八】為理分中末之大分即三十六度之分圓線也
半之為十八度之正弦三○九○一六九九【八線表作三○九○二】二十等面分體之圖
甲戊心為二十等面之一面
其三邊等中為體心
甲中戊中心中皆各面之鋭
角距體心之線又為體外切
渾圓及外切十二等面之半
徑
以甲戊心面為底依甲中戊
中心中三線剖至體心中成
三角錐體為二十等面體二
十之一
錐體之底各以其三邊半之
於寅於辰於卯從此三點作
線而體心之中點皆為錐體各立面之斜垂線如辰中即為甲中戊立面之斜垂線寅中為甲中心立面之斜垂線卯中為戊中心立面之斜垂線並同
又聯寅卯辰三點為寅卯卯辰辰寅三線成寅卯辰小等邊平三角面以此為底依寅中卯中辰中三斜垂線剖至體心之中點成小三角錐體其積為大三角錐四之一其寅卯等邊為原邊二之一 原設邊一百則寅卯五十
其己點為三角面之中心【大小並同】 己中即分體之中高【大小錐體同】是即内容渾圓之半徑亦即内容十二等面體各尖距其體中心之半徑
其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆為横剖成十等邊平面之分形故寅卯與寅中之比例若理分中末線之大分與其全數也
今求寅中線【即外切立方半徑卯中亦同】
一率 理分中末之大分 六十一【八○三三九八】
二率 全數 一百
三率 寅卯【剖形十等邊之一即原邊之半】 五十
四率 寅中 八十○【九○一七】按寅中線為量體之主線既得此線即可以知餘線而此線實生於理分中末線幾何原本謂分中末線為用最廣盖謂此也
次求己中【即内容渾圓及十二等面之半徑】
甲戊原邊設一百半之於寅
作寅己垂線至己心【乃平面心】己寅二十八【八六七五】為句其幂
八百三十三【三三三三】 用捷法
以邊幂一萬取十二之一得
之
寅中八十○【九○一七】為弦其幂
六千五百四十五【○八五○】句幂減弦幂餘五千七百一
十一【七五一七】開方得股為己中
七十五【五七六一】
訂定寅中線
一率 理分中未線大分 六十一【八○三三九八】
二率 全數 一百
三率 寅卯【剖形十等邊之一即原邊之半】五十
四率 寅中【即外切立方之半徑】 八十○【九○一七】
訂定己中線
甲戊邊原設一百【半之於寅作寅己線】
己寅句二十八【八六七五】 幂八百三十三【三三三三】
寅中弦八十○【九○一七】 幂六千五百四十五【○八五○】己中股幂五千七百一十一【七五一七】 根七十五【五七六一】末求己庚線【兩平面心相聯即内容十二等面之邊】
一率 寅中八十○【九○一七】 為大弦
二率 己中七十五【五七六一】 為大股
三率 寅己二十八【八六七五】 為小弦
四率 己星二十六【九六七二】 為小股
倍己星得五十三【九三四四】為己庚
解曰中寅己大句股形與己寅星小句股形同用寅角則其比例等而為相似之形故也
己庚等線相聯成五等邊平面圖
准前論甲心戊等三角平面
合二十面為二十等面體則
甲心等邊線皆高於平面而邊
線之端五相輳即為尖角【如心
點】依此推知甲乙丙丁戊點
皆必與他線五相輳而成尖角矣
其己庚辛壬癸各點為各平面之最中央在體為最平之處故内容之渾圓及内容之十二等面各尖必切此點
今依前法求得己庚等點相聯為直線則凡五平面相輳為尖必有各中央之點相聯為線而皆成五等邊平面形矣【此平面形正與心尖相應】 依此推知甲乙丙丁戊各點皆能為尖則其周圍相輳之五平面亦必各以其中央之點相聯為線而皆成五等邊平面形 二十等面體以五邊線相輳之尖凡十有二每一尖之周圍皆有五平面即皆有中央之點相聯而成五等邊平面亦十有二如此而内容十二等平面體己成故曰但聯己庚二
點為線即内容十二等面之邊也
求甲中線【即外切渾圓及十二等面之半徑心中戊中並同】
寅甲為原邊之半設五十其
冪二千五百為句冪
寅中為外切立方半徑八十
○【九○一七】其幂六千五百四十
五【○八五○】為股冪并句股冪九千○四十五【○八五○】平方開之得甲中弦
依法求得甲中九十五【一○六五】
求體積
設邊一百其半五十 斜垂線八十六【六○二五】 相乘得面冪四千三百三十○【一二五○】
又以己中高七十五【五七六一】乘面冪得柱積三十二萬七千二百五十三【九六○○】
三除之得分體積一十○萬九千○八十四【六五○○】以二十乘之得全積二百一十八萬一千六百九十三十二等面分體之圖
戊辛庚己壬五等邊形即十二等面立體之一面 亦即分體形之底【乃五面立錐形之底】丙為平面心
丙丁為平面心至體心之垂線亦即分體形之中高又為體内切渾圓之半徑亦即為内切二十等面之半徑丁為全體之中心又為十二分體之上鋭即五等面立錐形之頂
戊辛壬庚等皆各面之外周線【即邊也】為體之稜亦名之
為根
自分面之心丙作垂線至邊
【如癸丙甲丙】分各邊為兩其分處
為癸為甲【即各邊折半處】
乃自癸至甲聯為癸乙甲線又自此線向丁心平剖之成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等邊平面形故丁癸丁甲皆分體形自頂鋭至各邊之斜垂線在所切之十等邊平面形即為自丁心至平面角之線【甲癸等點在各邊為折中在切形之平面則對角】
又自丁至體周各角之線【如丁辛丁庚丁戊等】在分體即為自底角至頂鋭之稜又為外切渾圓之半徑又為外切二十等面之半徑
先算十二等面之面【即戊辛庚己壬】
法為全數與五十四度之切線若甲辛與甲丙也 以甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面積【甲丙辛角為五等邊之半角三十六度其餘角甲辛丙必五十四度】
次算面上大横線【即甲癸】
又全數三十六度之正弦若甲丙與甲乙也倍甲乙得甲癸
次算中高線【丙丁】
法為全數與七十二度之割線若甲乙與甲丁也【因平切十等邊為三十六度半之為十八度其餘角七十二度即乙甲丁角】
乃以甲丁為弦甲丙為句兩幂相減開方得股即丙丁也
次算分體之積
法以中高丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一為分形積
末以十二為法乘分形積得總積
簡法以分形中高乘底又四乘之即得總積【三歸三因對過省用】算甲丙
一率 全數 一○○○○○
二率 五十四度切線 一三七六三八【相乘得六八】
三率 設根之半【甲辛】 五○【八一九○○】
四率 甲丙 六八 【以全數除之減五位為畸零】算甲乙
法為全數與三十六度之正弦若甲丙與甲乙也
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度正弦 ○五八七七九
三率 甲丙 六八八一九○
四率 甲乙 四○四五一一
甲癸為横切十等邊平面之一
其半為甲乙丁即總形之心
亦横切平面之心
算甲丁
法為全數與十八度之餘割若甲乙與甲丁也
一率 全數 一○○○○○
二率 七十二度割線 三二三六○七
三率 甲乙 四○四五一一
四率 甲丁 一三○九○二五
算丙丁中高線
法以甲丁為弦 甲丙為句 求得股為丙丁
算得丙丁一百一十一【三五二六】為中高線亦即十二等面形内渾圓之半徑
算五等邊面幂
法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五乘之得一萬七千二百○四七五為五等邊【邊各一百】之平幂亦即十二等面分形之底積
算總積
用簡法以底積一七二○四七五四因之得六八九九○以乘中高得七百六十八萬二千二百一十五八七四○為十二等面之積
計開十二等面
一率 七六八二二一五 例容
二率 一○○○○○○ 例邊上立積
三率 一○○○○○○ 設容
四率 ○一三○一七○ 求得設邊上立積立方法開之得其根五十
與比例規解合與測量全義差四千一百七十四為二百分之一
算辛丁【庚丁戊丁並用】 又即為外切渾圓半徑
法以甲丁股幂【一七一三五】甲辛句幂【○二五○○】并為弦幂【一九六三五】求得弦數一百四十○為辛丁即外切圓半徑計開
十二等面之數
設邊一百 其容積七百六十八萬二二一五
内容渾圓徑一百二十二 外切渾圓徑二百八十捷法十二等面邊求外切内容之立方及外切之立圓置十二等面邊為理分中末之小分求其大分為内容立方邊内容立方邊自乘而三之開方得外切立圓全徑
又置十二等面邊為理分中末之小分求其全線為外切立方邊
一率 理分中末之小分【三十八一九六六○一】 理分中末之大分二率 理分中末之大分【六十一八○三三九八】 理分中末之全分三率 十二等面之邊
四率 内容小立方邊 即大横線
又
一率 理分中末之小分
二率 理分中末之全分
三率 十二等面之邊
四率 外切立方邊
以十二等面邊減外切立方邊餘為内容立方邊以内容立方邊加十二等面邊即外切立方邊
又捷法但以十二等面邊加大横線【即小立方邊】 即外切立方邊
立方内容十二等面算法 用理分中末線
此五等邊面為十二等面之
一
巳為平面心 中為體心
寅卯為戌亥大横線之半【三十】
【○九○一六九九】卯中寅中為外切立方半徑【五十】 戌亥為面之大横線【六十一八○三三九八】為理分中末之大分亦即内容小立方之根
巳寅巳卯俱平面容圓半徑
巳中為内容立圓半徑即分體中高
丑中為外切立圓半徑【亥中戌中並同】
設立方根一百為徑 半徑五十為寅中卯中 理分中未大分之半為寅卯【三十○九○一六九九】 又半之為寅子【一十五四五○八四九五】為理分中末大分四之一
一率 全數 一○○○○○
二率 五十四度之割線 一七○一三○
三率 寅子 【一十五四五○八四九五】
四率 寅巳【即卯巳】 二六二八六五
求得卯巳為平面中垂線
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度之切線 ○七二六五四
三率 卯巳 二十六二八六五
四率 卯丑【即半邊】 一十九○九八二
倍卯丑得丑亥邊三十八【一九六四】即十二等面邊乃理分中末大分之大分也以此知大横線與五等邊為理分中末之全分與其大分之比例也
卯巳句幂【○六九○九八】 卯中弦幂【二五○○○○】相減為股幂一八○九○二 開方得巳中【四十二五三二五】為内容渾圓半徑
卯丑句幂【○三六四七四一二四三】 卯中股幂【二五○○】 相併為弦幂【二八六四七四一二四三】 開方得丑中【五十三五二三二】為外切渾圓半徑
丑亥巳卯相乘五因二除為面幂以乘巳中而四因之得十二等面積
簡法
十二等面内容小立方【六十一八○三三九八】即理分中末之大分蓋戌亥大横線倍大於寅卯故也 大横線即小立方之邊
以大横線之幂三因之開方得亥中為外切渾圓半徑【丑中同】
又立方根與所容十二等面邊若全數與理分中末之小分
約法
立方根與其所容十二等面體内小立方之根若全數與理分中末之大分
凡立方外切渾圓則徑上幂三倍於方幂
計開
立方設徑一百
内容十二等面邊三十八【一九六六○一】
内容小立方邊六十一【八○三三九八】
外切渾圓徑一百○七【○四六六二五】 即丑中亥中倍數外切渾圓半徑【五十三五二三三】 即丑中亥中
内容渾圓半徑四十二【五三二五】 即已中 為分體中高内容渾圓全徑八十三【○六五一】
内容二十等面邊四十四【七二一一】
幾何補編卷三
十二等面體分圖 用理分中末線
辛戌亥五等邊形為十二等面之一
寅卯點為邊折半處中為體心
卯中為外切立方半徑【設五十】
卯亢為外切立方全徑【設一百】
寅卯線與卯中半徑若理分中末之大分與其全數也在圓内為三十六度之分圓 辛癸辛戌等俱七十二度之分圓
乙巳為半徑【己丑同】乙癸為三十六度之通弦
乙已半徑與乙癸亦若理分中末一之全數與其大分也故乙已癸三角形與卯中寅相似
若取乙丙切線如乙癸之度則丙巳必同亥癸邊【即七十二度通弦】折半於甲則甲乙為十八度正弦再於寅卯線取子壬如乙甲取壬癸如乙己半徑引已子至癸中末乃自卯作線至中與壬癸平行因得寅中與卯中等則寅中卯即為横切之半面
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度割線 一二三六○七
三率 子寅 一十五【四五○八四九五】
四率 丑寅半邊 一十九【○九八三】
倍丑寅得丑戌三十八【一九六六】與簡法合
論曰凡十二等面從其半邊之點【如寅如卯】聯為線以剖至體之心【中點】則所剖成寅中卯三角形平面必為全圓十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯兩弦與寅卯底若理分中末之全分與其大分矣
又十二等面在立方形内必以卯中【或寅中】自心至邊之線當立方之半徑是立方半徑與十二等面之寅卯線亦若理分中末之全與其大分也 若設立方半徑一百則寅卯必六十一【八○三三九八】如理分中末之大分也今設立方全徑一百其半徑五十則寅卯亦必三十○【九○一六九九】如大分之半矣 寅卯二點既在【丑戌丑亥】兩邊之折半則戌亥大横線必倍大於寅卯而與理分中末大分之全相應為六十一【八○三三九八】 此皆設立方半徑五十之數也而半徑五十其全徑必一百故知設徑一百則十二等面之大横線必六十一【八○三三九八】而竟同理分中末大分之數也既得此大横線則諸線可以互知
試先求邊 法為酉戌【半大横線】與丑戌等邊若全數與三十
六度之餘割線也
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度割線 一二三六○七
三率 酉戌半大横線 三十○【九○一六九九】
四率 丑戌全邊 三十八【一九六六】
論曰五等邊各自其角作線至心分形為五則各得七十二度角【如丑巳戌等其巳角皆七十二度】其半必三十六度【如寅已丑之巳角得戊已丑之半正三十六度】而丑戌酉與丑巳寅皆句股又同用丑角則戌角與巳角等為三十六度
十二等面求積
平面中垂線【卯己】二十六【二八六五】
邊【即丑亥丑戌等】三十八一九【六六】 半邊【即丑卯丑寅】一十九【○九八三】一面之平幂二千五百一十○【一三七○】
内容渾圓半徑四十二【四三二五】 即分體五面立錐之中高【已中】 中高三之一一十四【一四四一】
分積三萬五千四百九十五【八四七三】 其形為五面立錐其體積為十二之一
全積四十二萬五千九百五十○【一六七六】
外切立方根一百 其積一百萬
外切渾圓徑一百○七【○四六六】
内容立方根六十一【八○三三九八】
外切立方與體内容立方徑之比例若理分中末之全分與其大分
又若外切立方之外又切十二等面體體外又切大立方則大立方之徑與今所算外切立方徑亦若理分中末之全分與其大分而外切之十二等面與其内十二等面徑亦必若理分中末之全分與其大分也
孔林宗云外立方與内立方之徑為理分中末線全分與大分之比例是矣若内立方之内又容立圓則小立圓之徑與小立方之徑同而外渾圓與外立方之徑不似未可以前比例齊之
若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圓大立圓外又切十二等面則大立圓與内容小立圓亦必若理分中末之全分與其大分而外切十二等面與十二等面亦必若理分中末之全分與其大分何則皆外切立方與内容立方之比例也
十二等面容二十等面圖
第一圖
割十二等面之三平面一尖
成此形癸丑丙丑戊丑俱五
等邊平面皆十二等面之一
【已庚辛各為其中心一點】
丑為三平面稜所聚之尖 亥丑戌丑乙丑俱平面邊各為兩平面所同用之稜 中為體心 巳中辛中庚中皆内切渾圓半徑亦内容二十等面自尖至體心半徑 巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂線 寅卯壬皆平面邊折半之點
第二圖
内容二十等面體各自其邊
剖至心成此分體為内容體
二十分之一 辛庚巳三角
尖即十二等面之中心原點
此點以外俱剖而得甲點與卯點同在卯中線而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同
第三圖
自卯點起依卯己卯庚二線
剖至體心中成此平面形卯
即原邊折半處卯中即原體
外切立方之半徑中即體心
已庚即原兩平面之中心點今聯為【已庚】線即内容二十等面之一邊
已中庚即内切二十等面分體之立面乃三角錐體之一面 甲中為内切二十等面分體之斜垂線 觀第二圖可明【第二圖角點居剖内三角之中心正對原體之丑尖而在其下故角中為内容分體之正高而甲中為斜垂線也】
今求已庚線【即内容二十等面之邊】
法於卯中【外切立方半徑】内求甲中以相減得卯甲為股用與卯已弦【原體之面上中垂線】兩冪相減開方得句為已甲倍之得巳庚
卯已中三角形
卯中即外切立方半徑設五十為底
卯已即原體之平面中垂線二十六【二八六五】
巳中即内容渾圓半徑亦即
内容二十等面分體之斜稜四
十二【五三二五】
以卯巳巳中兩弦相減為較
相并為總以總乘較為實卯中底五十為法除之得亢中二十二【三六○六】以減卯中餘二十七【六三九四】為亢卯折半得一十三【八一九七】為卯甲
計開
立方根設一百其半五十【即卯中】亦為十二等面自體心至邊
十二等面之平面中垂線【即卯巳】二十六【二八六五】
十二等面内容渾圓半徑【即已中】四十二【五三二五】亦為内容二十等面自尖角至體心分體以為錐體之稜
卯巳已中之較一十六【二四六○】 總六十八【八一九○】
較總相乘一千一百一十八【○三三四】為實 卯中五十為法除之得中亢二十二【三六○六】 以中亢減卯中五十餘二十七【六三九四】為亢卯折半得一十三【八一九七】為卯甲以卯甲減卯中餘三十六【一八○三】為甲中即内容二十等面分體之斜垂線
卯巳自乘得六百九十○【九八○○】為弦幂
卯甲自乘得一百九十○【九八
四一】為股幂 相減餘四百九
十九【九九五九】為勾幂 開方得
巳甲二十二【三六○五】 倍之得
巳庚四十四【七二一一】即為内容二十等面邊
此法甚確亦且甚捷無可疑者偶於枕上又思得一法借燈體分形之三角錐以求十二等面内容二十等面分體之三角錐是以錐體相截而知其所截之
邊即為内容二十等面之邊
第一圖
丑為三平面所聚之尖 丑
戌丑亥丑乙皆兩平面同用
之稜 巳庚辛皆五等邊平
面之心 己寅己卯等皆平面心至邊垂線 已牛丑為平面心對角線 寅卯壬皆平面邊折半之點 寅中卯中壬中為體心至邊線即外切立方半徑 中為心
第二圖
聯寅卯卯壬壬寅三線為平
三角面横剖之又各依寅中
卯中壬中線剖至體心中則
成三角錐體二其一為丑寅
卯壬體是三角錐而稍扁者也其一為寅卯壬中體是三角錐而稍長者也其寅卯壬三角平面為扁形之底又為長形之面其寅卯等線與寅中卯中之比例皆若理分中末之大分與其全分也其扁形錐既剖而去則成圓燈所存長錐即燈形分體之一平面心之點為斗在丑尖下與牛點平故丑牛為弦則斗牛如勾而丑牛之距如股也
第三圖
又於圓燈分體剖去辰甲丁
之一截則成甲丁辰中三角
錐乃十二等面内容二十等
面分體中之分體其辰甲丁面與巳庚辛脗合為一蓋巳庚辛者内容二十等面之一面各於邊折半為甲丁辰而聯之為線則成小三角於中故辰丁等線皆居巳庚線之半而甲中原為二十等面分體之斜垂線者今則為三角錐之楞
第四圖
己牛丑即原平面從心至角
尖之線丑斗角中即原體自
尖至中心之線又為外切渾圓半徑
依第二圖截丑巳於牛而横剖之亦截丑中於斗成丑斗牛勾股形 又依第三圖截斗中於角成丑角巳勾股形此兩勾股相似而比例等
法為丑牛與丑斗若丑巳與丑角也
第五圖
寅中卯三角形為圓燈分體
之立面截為甲丁中三角形
此兩形相似而比例等 法為卯中與卯寅若甲中與甲丁也
又斗中為圓燈分體之中高其平面為寅卯壬角中為截體之中高其平面為丁甲辰此兩體相似而線之比例等 法為斗中高與寅卯濶若角中高與甲丁濶先求丑斗高
用截去扁三角錐以牛卯【即寅卯之半】自乘幂三分加一以減丑卯幂為丑斗幂開方得丑斗高
次求丑角高
用巳丑對角線乘丑斗以丑牛除之得丑角高 其丑牛線以牛卯幂減丑卯幂開方得丑牛 巳寅丑寅兩幂并開方為己丑
末求巳庚線
用丑角減丑中得角中 又用丑斗減丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚為内容二十等面之邊
理分中末線 以量代算
先以巳為心作圖而匀分其
邊為五作甲庚乙丙丁五等
邊平面【即十二等面之一面】
乙丁為大横線設一百甲庚
等邊必六十一【八○三三九八】為大横線理分中末之大分若乙丁大横線設六十一【八○三三九八】則甲庚等邊必三十八【一九六六】亦為大横線理分中末之大分
設立方一百 内容十二等面邊三十八【一九六六】為理分中末之小分亦即大分之大分
十二等面内又容小立方其邊與十二等面之大横線等六十一【八○三三九八】為大立方邊一百與十二等面邊三十八【一九六六】之中率何也大立方一百乘十二等面邊三十八【一九六六】開方得根即小立方及大横線六十一【八○三三九八】
若大横線自乘之幂以十二等面邊除之即仍得外立方根而以外立方根除大横線幂必仍得十二等面之邊矣
求理分中末線捷法 用前圖
作五等邊平面 求其大横線【乙丁】 聯兩角為線即得之
次以大横線之一端【如乙】為心其又一端【如丁】為界作丁戊圓分乃引五等邊與圓分相遇【如引乙丙至戊與圓分遇于戊】則相遇處【如戊】至圓心【如乙】為全分【即乙戊亦即乙丁大横線】原邊為大分【即乙丙】引出餘邊為小分【即丙戊】
又法
作平三角使兩角【如戊如丁】俱倍大於一角【如乙】末乃破一倍
角平分之作線至一邊【如平分丁
角為兩作丁丙線至乙戊邊】則其斜線即
為理分中末之大分【即丁丙也】
解曰倍破角則與小角等【如破丁角為兩皆與乙角等】而乙丙丁形之乙丁兩角同大則【乙丙丁丙】兩弦亦同大而乙丙既為大分丁丙亦為大分矣准此又破丙角可以遞求於無窮諸體比例
凡諸體之比例有三
一曰同邊之比例可以求積
一曰同積之比例可以求邊
一曰相容之比例可以互知
内相容之比例亦有三
一曰立圓内容諸體之比例 所容體又容立圓一曰立方内容諸體之比例 所容體又容立方一曰諸體自相容之比例【即同徑同高之比例】或或兩體互相容或數體遞相容
等積之比例 比例規解所用今攷定
立方積 一○○○○○○ 其邊一百
四等面積 一○○○○○○ 其邊二百○四八等面積 一○○○○○○ 其邊一百二十八十二等面積 一○○○○○○ 其邊五十
二十等面積 一○○○○○○ 其邊七十七方燈
圓燈
凡方燈依楞剖之縱横斜側皆六等邊平面凡圓燈依楞剖之縱横斜側皆十等邊平面故皆有法形體
等邊之比例 測量全義所用今攷定
立方邊 一○○ 積一○○○○○○方燈體邊 ○七○七一○六積○八三三三三三
邊 一○○ 積二三五七○二一
八等面邊 ○七○七一○六 積○一六六六六六
邊 一○○ 積○四七一四○四
四等面邊 一○○ 積○一一七八五一
十二等面邊一○○ 積七六八二二一五
二十等面邊一○○ 積二一八一八二二圓燈體邊 ○三○九○一七 積○二九○九二九
邊 一○○ 積○九八五九一六
等徑之比例 皆立方所容
立方徑 一○○積一○○○○○○ 邊【一○○】内容方燈徑 一○○積○八三三三三三 邊【○七○七一○六】内容四等面徑 一○○積○三三三三三三 邊【一四一四二一三】内容八等面徑 一○○積○一六六六六六 邊【○七○七一○六】内容立圓徑 一○○積○五二三八○九
内容二十等面徑一○○積○五一五二二六 邊【○六一八○三四】内容十二等面徑一○○積○四二五九五○ 邊【○三八一九六六】内容圓燈徑 一○○積○二九○九二九 邊【○三○九○一七】右以立方為主而求諸體
内立方及燈體之徑為自面至面
四等面十二等面二十等面之徑皆自邊至邊【以邊折半處作垂線至對邊折半處形如工字四等面則上下邊遥相午錯如十字】
八等面之徑為自尖至尖 然皆以其徑之兩端正切於立方方面之中心一點立方面其相切亦必六點求積約法
凡立方内容諸體皆與立方之六面同高同濶 則燈形積為立方積六之五 四等面積為立方積三之一八等面積為立方積六之一 以上三者皆方斜比
例
燈形及八等面皆以方求斜法以邊自乘倍之開方得外切立方徑以徑再自乘得立方積取六之五為燈六之一為八等面積
四等面則以方求其半斜法以邊自乘半之開方得外切立方徑以徑再自乘為立方積取三之一為四等面積
立圓在立方内則其積為立方積二十一之十一謹按方圓比例祖率圓徑一百一十三圓周三百五十五見鄭世子律學新說較徑七周二十二之率為密又今推平圓居平方四百五十二分之三百五十五較十四分之十一為密又推得立圓居立方六百七十八分之三百五十五較二十一分之十一為密
准立方比例以求各體自相比 皆以同高同闊同為立方所容者較其積
燈内容同高之八等面 為八等面得燈積五之一又立圓内容同高之八等面 為八等面得圓積六十六之二十一【即二十二之七】 二者皆同高而又能相容用課分法母互乘子得之
准此而知立圓内容八等面其積之比例若圍與徑也
又立方内容十二等面其内又容八等面 又立方内容二十等面其内又容八等面 二者亦同高而能相容
同高之四等面積為燈積五之二【即十之四 以燈面四因退位得四等面積】同高之八等面積為四等面積二之一
同高之四等面積為立圓積十一之七
此三者但以同高同為立方所容而不能自相容若相容則不同高
凡立方之燈形内又容立方則内小立方邊與徑得外立方三之二體積為二十七之八面幂為九之四凡燈容立方以其邊為方而求其斜為外切之立方邊取方斜三之二為内立方邊
立方邊一○○ 面幂一○○○○ 體積【一○○○○○○】
燈邊 ○七○七一○六 面幂○五○○ 體積【○八三三三三三】小立方邊○六六六六六六 面幂○四四四四四四 體積【○二九六二九六】凡方内容圓圓内又容方則内小方之幂得大方三之一捷法以小方根倍之為等邊三角形之邊而求其中垂線即外切立圓之徑亦即為外大方之邊
如圖三邊既等則乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂則四以乙丙句幂一減甲丙弦幂四所餘
為甲乙股幂三
内方之幂一而外切渾圓之
幂三故其根亦如乙丙與甲
乙也 或以小立方之根為句倍根為弦求其股為外切渾圓徑亦同【渾圓徑即外方邊】
若以量代算則三角形便
如以大方求小方者則以大方為中垂線而作等邊三角形其半邊即小方根也
或用大方為股而作句股形使其句為弦之半即得之捷法句股形使甲角半於丙角則弦倍於句而句與股如小立方根與大方根
或以甲角作三十度而自乙作垂線引之與甲丙弦線遇于丙則乙丙即圓所容方之根
又按先有大方求小方者取大方根倍之為等邊三角形之邊而求其中垂線以三歸之即得
凡立方内容方燈燈内又容立圓圓内又容圓燈燈内又容八等面凡四重在内其外切於立方也皆同點【切立方有六處所同者皆在其方面之最中一點若從此一點刺一針則五層悉透内惟方燈以面切面不可言點若言點則有十二皆切在立方邊折半處】
凡立方内容方燈燈内又容十二等面體體内又容圓燈燈内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同處【凡六處皆在立方面内方燈體以面切面十二等面以邊切餘皆以尖切尖切者皆每面之最中點】凡立方内容方燈燈内又容二十等面體體内又容圓燈燈内又容八等面同上
凡立方方燈立圓十二等面二十等面圓燈内所容之八等面皆同大
凡立方内容四等面體體内又容八等面其切立方皆同處【四等面以邊切為立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面邊折半處】准此而知立方内所容之八等面與四等面所容之八等面亦同大且同高各體中所容八等面皆同大因此可知
凡立圓内容十二等面體 又容立方其立方之角同十二等面之尖而切於立圓故立圓内所容之立方與十二等面内所容之立方同大
凡二十等面體内容立圓 内又容立方立方之角切立圓以切二十等面之面故立圓所容之立方與二十等面内所容之立方必同大
凡二十等面體内容立圓 内又容十二等面體體内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圓而切于二十等面之面皆同處
凡諸體能相容者其相容之中間皆可容立圓此立圓為外體之内切圓亦為内體之外切圓
惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圓燈其中間難著立圓何也八等面之切圓燈以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面則以尖切邊故其中間不能容立圓
其他相切之中間能容立圓者皆以内之尖切外之面凡諸體在立方内即不能外切他體惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他體故諸體所容四等面之邊皆與其所容立方之面為斜線
凡諸體相容其在内之體為所容其在外之體為能容能容與所容兩體之相切必皆有一定之處
凡相容兩體之相切或以尖或以邊【即體之稜】或以面渾圓在立方内為以面切面其相切處只一點皆在立方每面之中央【立方六面相切凡六點】
立方在渾圓内為以尖切面【立方之角有八故相切有八點】有一點不相切者即非正相容也
渾圓在諸種體内皆與在立方内同謂其皆以面切諸體之面而切處亦皆一點也然其數不同如四等面則切點有四方燈則切點有六八等面則切點有八十二等面及圓燈則切點有十二二十等面則切點有二十其切點之數皆如其面之數而皆在其面之中央也方燈則以其方面為數圓燈則以其五等邊之面為數而不論三角之面者何也三角之面距體心遠故不能内切立圓也
諸體在渾圓内皆與立方在渾圓内同謂其皆以各體之尖切渾圓之面也其數亦各不同如四等面則切點亦四方燈則切點十二八等面則切點六十二等面則切點二十二十等面則切點十二圓燈則切點三十皆如其尖之數也
四等面在立方内以邊稜切立方之面四等面有六稜以切立方之六面皆徧其四尖又皆切於立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其邊稜切立方之面兩種各有三十稜其切立方只有其六以立方只有六面也
此三者為以楞切面
八等面在立方内以尖切面凡六點 圓燈在立方内亦以尖切面有六點皆在立方面中尖與八等面同方燈在立方内則以面切面皆方面也方燈之方面六亦與立方等也其十二尖又皆切於立方之十二邊楞皆在其折半處為點
十二等面與二十等面逓相容皆以内體之尖切外體之面
十二等面在八等面内以其尖切八等面之面體有二十尖只用其八也
方燈在八等面内亦以面切面而皆三角面方燈之三角面有八數相等也又其尖皆切於八等面各稜之中央折半處稜有十二與燈之尖正等也
圓燈在十二等面内以面切面皆五等邊平面也圓燈體之五等邊平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之邊楞而皆在其中半
圓燈在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圓燈體之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之邊楞而皆在其中半
問十二等面與二十等面體勢不同而圓燈之尖皆能切其楞邊何也曰圓燈有三十尖而兩等面體皆有三十楞故也
凡能容之體皆可改為所容之體遞相容者亦可遞改如立方容圓即可刓方為圓渾圓容方即可削圓為方遞相容者如立方内容渾圓圓内又容十二等面體體内又容二十等面即可遞改
凡所容之體皆可補為能容之體皆以數求之
如立方外切立圓以其尖角則求立方心至角之線為立圓半徑
凡以面切面者其情相通
如方燈以其方面切立方面又能以其三角切八等邊面則此三者皆方斜之比例也
又如圓燈以其五等邊面切十二等面又能以其三角面切二十等面則此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方燈之内則立方之尖所切者必三角面若八等面在方燈之内則其尖所切又必方面也若令十二等面在圓燈内則所切者必三角面而二十等面居圓燈内所切者又必五等邊面也故曰其情相通
諸體相容
凡立圓立方皆可以容諸體
凡立圓内容立方立方内又可容立圓兩者不雜他體可以相生而不窮
凡立圓内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圓三者以序進亦可以不窮
凡立圓内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圓與立方尖所切必同點
凡立圓容四等面在立圓所容立方内必以其楞為立方面之斜依此斜線衡轉成圓柱形必為立圓之所容而此柱形又能含立方
外圓者柱之底若面内方者
立方之底若面直而斜者四
等面之邊
凡四等面體在立圓内任以一尖為頂以所對之面為㡳旋而作圓錐此錐體必為立圓之所容而不能為立方之容
此兩體雖非正相容體然皆有法之體
凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相與為不窮
凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容則所容體之尖皆切於為所容大體之面之中央而等
凡立方内容立圓此立圓内仍容八等面其八等面尖切立圓之點即可為切立方之點
八等面内容立圓此立圓内仍容立方則立方尖切立圓之點亦即可為其切八等面之點
凡立圓可為諸等面體所容其在諸體内必以圓面一點切諸體之各面此一點皆在其各等面之中心而等而徧
凡八等面内容立圓仍容立方 立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圓以切八等面叠串四體皆一點相切必在八等面各面之中心
立方設一百内容二十等面邊六十一【八○三三九八】内又容立圓也十三【四一七二】
簡法取内容立圓徑幂三之一開方得内容小立方再以小立方為理分中末之全分而求其大分得内容十二等面邊
凡十二等面二十等面皆能為立圓之所容皆以其尖切渾圓凡十二等面二十等面皆能容立圓皆以各面之中心一點正與渾圓相切
凡十二等面與二十等面可以互相容皆以内體之尖切外體之各面中心一點
凡十二等面内容渾圓渾圓内又容二十等面與無渾圓者同徑二十等面内容渾圓渾圓内又容十二等面亦與無渾圓同徑何也渾圓在各體内皆以其體切於外體各面之中心點而此點即各内體切渾圓之點故也以上皆可以迭串相生而不窮
凡十二等面内容渾圓渾圓内又容十二等面亦可以相生不窮
二十等面與渾圓遞相容亦同
凡立方内容十二等面皆以十二等面之邊正切於立方各面之正中凡六皆遥相對如十字
假如上下兩面所切十二等
面之邊横則前後兩面所切
之邊必縱而左右兩面所切
之邊又横若引其邊為周線
則六處相交皆成十字
立方内容二十等面邊亦同
凡各體相容皆以内之尖切
外之面惟立方内容四等面
則以角而切角立方内容十
二等面二十等面則以邊而
切面
歷算全書卷五十七