歷算全書卷五十一
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷二
算例
三角形有三類
一曰句股形
即直角三邊形也有正方角一餘並銳角
一曰銳角形
三角並銳
一曰鈍角形
三角内有鈍角一餘並銳角
以上三類總謂之三角形其算之各有術
句股形第一術 有一角一邊求餘角餘邊
内分二支
一先有之邊為弦
一先有之邊為句【或先有股亦同】
假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁弦【九十一丈八尺】
求餘角餘邊
一求癸丁邊
術曰以半徑全數比丁角之餘弦
若壬丁弦與癸丁句【半徑即丁乙餘弦即甲丁
以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】
一率【原設弦】半徑 一○○○○○為法
二率【原設句】丁角【五十七度】餘弦 五四四六四【相乘】
三率【今有弦】壬丁邊 九十一丈八尺【為實】
四率【今所求句】癸丁邊 五十丈 法除實得所求一求壬癸邊
術曰以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一率【原設股】半徑 一○○○○○ 為法二率【原設股】丁角【五十七度】正弦 八三八六七 【相乘】三率【今有弦】壬丁邊 九十一丈八尺 【為實】四率【今所求股】壬癸邊 七十七丈 法除實得所求一求壬角
以丁角【五十七度】與象限九十度相減得餘三十三度爲壬角
計開
先有之三件
癸正方角【九十度】 丁角【五十七度】 壬丁弦【九十一丈八尺】
今求得三件
癸丁旬【五十丈】 壬癸股【七十七丈】 壬角【三十三度】
右例先得弦以求句股也是為句股形第一術之第一支
假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求餘角餘邊
一求壬角
以丁角【六十二度】與象限相減得餘二十八度為壬角
【戊丙丁句股形以戊丙切線為股丙丁半徑為句戊丁割線為
弦是丁角原有之線】
【今壬癸丁句股形既同丁角則其比例等】
一求壬丁邊
術為以半徑比丁角之割線若癸丁句與壬丁弦
一【原設句】半徑 一○○○○○ 為法二【原設弦】丁角【六十二度】割線 二一三○○五 【相乘】
三【今有句】癸丁邊 二十四丈 【為實】
四【所求弦】壬丁邊 五十一丈二尺 法除實得所求一求壬癸邊
術為以半徑比丁角之切線若癸丁句與壬癸股
一【原設句】半徑 一○○○○○為法
二【原設股】丁角【六十二度】切線 一八八○七三 【相乘】
三【今有句】癸丁邊 二十四丈 【為實】
四【所求股】壬癸邊 四十五丈一尺 法除實得所求計開
先有之三件
癸正方角 丁角【六十二度】 癸丁句【二十四丈】
今求得三件
壬角【二十八度】 壬丁弦【五十一丈一尺】 壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求弦及股也或先得股以求弦及句亦同是為句股形第一術之第二支
句股形第二術 有邊求角
亦分二支
一先有二邊
一先不知正方角而有三邊【新增】
假如【壬癸丁】句股形有壬丁弦【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】
求二角一邊
一求丁角
術為以壬丁弦比癸丁句若半
徑乙丁與丁角之餘弦甲丁
一 壬丁邊 一百○二丈二尺 今有之弦為法二 癸丁邊 四十八丈 今有之句【丈相】三 半徑 一○○○○○ 原設之弦【乘為】四 丁角餘弦 四六九六六 法除實得所求原設句
依術求得丁角六十二度【實以所得餘弦撿表即】
一求壬角
以丁角【六十二度】與象限相減得餘二十八度為壬角一求壬癸邊
術為以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一 半徑 一○○○○○
二 丁角【六十二度】正弦 八八二九五
三 壬丁邊 一百○二丈二尺
四 壬癸邊 九十丈○二尺三寸
計開
先有之三件
壬丁弦【一百○二丈二尺】 癸丁句【四十八丈】 癸正方角
今求得三件
丁角【六十二度】 壬角【二十八度】 壬癸股【九十丈○二尺三寸】
右例以邊求角而先知方角故只用二邊也是為句股形第二術之第一支【此先有二邊為弦與句故用正餘弦若先有者是句與股則用切線其比例之理一也】
假如【壬癸丁】三角形有壬丁邊【一百○六丈】壬癸邊【九十丈】癸丁邊【五十六丈】求角
一求癸角
術以壬丁大邊與丁癸邊相加得【一
百六十二丈】為總又相減得【五十
丈】為較以較乘總得【八千一百丈】為實以壬癸邊【九十丈】為法除之
仍得【九十丈】與壬癸邊數等即知
癸角為正方角
依術求得癸角為正方角定為句股形
一求丁角
術為以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角之切線
一 丁癸句 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角切線 一六○七一四
依術求得丁角五十八度○六分【以所得切線撿表即得】
一求壬角
以丁角【五十八度○六分】與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角
計開
先有三邊
壬丁邊【一百零六丈】 壬癸邊【九十丈】 癸丁邊【五十六丈】
求得三角
癸正方角 丁角【五十八度零六分】 壬角【三十一度五十四分】右例亦以邊求角而先不知其為句股形故兼用三邊是為句股形第二術之第二支
銳角形第一術 有兩角一邊求餘角餘邊
假如【乙丙丁】銳角形有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邊【一百二十尺】
先求乙角
術以丙角【六十度】丁角【五十度】相
併得【一百一十度】以減半周一百
八十度餘七十度為乙角
次求乙丁邊
術為以乙角正弦比丙丁邊若丙角正弦與乙丁邊
一 乙角【七十度】正弦 九三九六九
二 丙丁邊【即乙角對邊】 一百二十尺
三 丙角【六十度】正弦 八六六○三
四 乙丁邊【即丙角對邊】 一百一十尺○六寸
次求乙丙邊
術為以乙角正弦比丙丁邊若丁角正弦與乙丙邊
一 乙角【七十度】正弦 九三九六九
二 丙丁【乙角對邊】 一百二十尺
三 丁角【五十度】正弦 七六六○四
四 乙丙【丁角對邊】 九十七尺八寸
計開
先有之三件
丙角【六十度】 丁角【五十度】 丙丁邊【一百二十尺】
今求得三件
乙角【七十度】 乙丁邊【一百一十尺零六寸】 乙丙邊【九十七尺八寸】右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與一角相對亦同盖三角形有兩角即有第三角故無兩法
銳角形第二術 有一角兩邊求餘角餘邊
此分二支
一先有之角與一邊相對
一先有之角不與邊相對
假如【甲乙丙】銳角形有丙角【六十度】甲丙邊【八千尺】甲乙邊【七千零三十四尺】
先求乙角
術為以甲乙邊比甲丙邊若丙角
正弦與乙角正弦
一 甲乙【丙角對邊】 七千○三十四尺
二 甲丙【乙角對邊】 八千尺
三 丙角【六十度】正弦 八六六○三
四 乙角 正弦 九八四九六
撿正弦表得乙角八十度○三分
次求甲角
以丙角乙角相併得【一百四十度○三分】以減半周餘三十九度五十七分為甲角
次求乙丙邊
術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邊之與乙丙邊
一 乙角【八十度○三分】正弦 九八四九六
二 甲角【三十九度五十七分】正弦 六四二一二
三 甲丙【乙角對邊】 八千尺
四 乙丙【甲角對邊】 五千二百一十五尺計開
先有之三件
丙角【六十度】 甲丙邊【八千尺】 乙甲邊【七千○三十四尺】
今求得三件
乙角【八十度○三分】 甲角【三十九度五十七分】 乙丙邊【五千二百一十五尺】右例有兩邊一角而角與一邊相對是為銳角形第二術之第一支
假如【甲乙丙】銳角形有甲丙邊【四百尺】乙丙邊【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】 角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊
先求中長線分為兩句股形
術為以半徑比丙角正弦若甲
丙邊與甲丁中長線
一 半徑 一○○○○○
二 丙角【六十度】正弦 ○八六六○三
三 甲丙邊 四百尺
四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分次求丙丁邊【即所分甲丁丙形之句而甲丙為之弦】
術為以半徑比丙角餘弦若甲丙邊與丙丁邊
一 半徑 一○○○○○
二 丙角【六十度】餘弦 五○○○○
三 甲丙邊 四百尺
四 丙丁邊 二百尺
次求乙丁邊【即所分甲丁乙形之句而甲丁為之股】
以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】
術為以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切線
一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
二 乙丁分邊 六十一尺○八分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角切線 一七六三三
撿切線表得一十度為甲分角
末求甲乙邊
術為以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊
一 半徑 一○○○○○
二 甲分角【十度】割線 一○一五四三
三 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙邊 三百五十一尺七寸五分求甲全角
以丙角【六十度】之餘角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】與求到甲分角【一十度】相併得四十度為甲全角
求乙角
以甲分角【一十度】減象限得八十度為乙角【或併丙甲二角减半周亦同】
計開
先有之三件
甲丙邊【四百尺】 乙丙邊【二百六十一尺○八分】 丙角【六十度】
今求得三件
甲乙邊【三百五十一尺七寸五分】 甲角【四十度】 乙角【八十度】右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對故用分形以取句股是為銳角形第二術之第二支
又術【新增】 用切線分外角
假如【甲乙丙】銳角形有甲丙邊【四百尺】乙丙邊【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】 此即前例但求甲角
術以【甲丙乙丙】兩邊相併為總相減為
較又以丙角【六十度】減半周得外
角【一百二十度】半之得半外角【六
十度】撿其切線依三率法求得半
較角以減半外角得甲角
一 兩邊總 六百六十一尺○八分
二 兩邊較 一百三十八尺九寸二分
三 半外角切線 一七三二○五
四 半較角切線 三六三九七
撿切線表得【二十度】為半較角轉與半外角【六十度】相減得甲角四十度
次求乙角
併甲丙二角共【一百度】以減半周得餘八十度為乙角次求甲乙邊
一 甲角【四十度】正弦 六四二七九
二 丙角【六十度】正弦 八六六○三
三 乙丙邊 二百六十一尺○八分
四 甲乙邊 三百五十一尺七寸五分
銳角形第三術 有三邊求角
假如【甲乙丙】銳角形有乙丙邊【二十丈】甲丙邊【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邊【一十三丈○五寸】
術曰任以【乙丙】大邊為底從甲角
作甲丁虚垂線至底分為兩句股
形
一甲丁丙形以甲丙邊為弦丁丙
為句
一甲丁乙形以甲乙邊為弦丁乙為句
兩弦相併為總相減為較 兩句相併【即乙丙邊原數】為句總求兩句相減之數為句較
術為以句總比弦總若弦較與句較也
一 兩句之總【即乙丙】 二十丈
二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分
四 兩句之較【即丙戊】 六丈九尺四寸六分
求分形之兩句
以句較【六丈九尺四寸六分】減句總【二十丈即乙丙】餘乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分為【甲丁乙】分形之句
又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句較【六丈九尺四寸六分 即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分為【甲丁丙】分形之句
求丙角
術為以甲丙弦比丁丙句若半徑與丙角之餘弦
一 甲丙邊 一十七丈五尺八寸五分
二 丁丙分邊 一十三丈四尺七寸三分
三 半徑 一○○○○○
四 丙角餘弦 七六六一六
撿餘弦表得丙角四十度
求甲角
術先求分形大半之甲角
以丙角【四十度】減象限餘五十度為【丁甲丙】分形之甲角
次求分形小半之甲角
術為以甲乙弦比丁乙句若半徑與分形甲角之正弦
一 甲乙邊 一十三丈○五寸
二 丁乙分邊 六丈五尺二寸七分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角正弦 五○○一五
撿正弦表得三十度為【丁甲乙】分形之甲角
併分形兩甲角【先得五十度後得三十度】得共八十度為甲全角求乙角
倂丙甲二角共【一百二十度】以減半周得餘六十度為乙角計開
先有三邊
甲丙邊【一十七丈五尺八寸五分】 乙丙邊【二十丈】乙甲邊【一十三丈○五寸】
求得三角
丙角【四十度】 甲角【八十度】 乙角【六十度】
鈍角形第一術 有兩角一邊求餘角餘邊
假如【乙丙丁】鈍角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邊【五十四丈】
先求丁角
術以丙乙二角併之共【六十度半】以減半周得餘一百一十九度半
為丁鈍角
次求乙丙邊
術為以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邊與乙丙邊
一 丙角【三十六度二十分】正弦 五九四八二
二 丁角【一百十九度三十分】正弦 八七○三六
三 乙丁邊 五十四丈
四 乙丙邊 七十九丈○一寸
右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度減半周用之凡鈍角並同
求丁丙邊
術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊
一 丙角【三十六度三十分】正弦 五九四八二
二 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
三 乙丁邊 五十四丈
四 丁丙邊 三十六丈九尺二寸
計開
先有之三件
丙角【三十六度半】 乙角【二十四度】 丁乙邊【五十四丈】
今求得三件
丁鈍角【一百一十九度半】 乙丙邊【七十九丈○一寸】 丁丙邊【三十六丈九尺二寸】
鈍角形第二術 有一角兩邊求餘角餘邊
亦分二支
一先有對角之邊
一先有二邊皆角旁之邊而不對角
假如【甲乙丙】鈍角形有乙角【九十九度五十七分】甲丙對邊【四千尺】甲乙邊【三千五百一十七尺】
求丙角
術為以甲丙對邊比甲乙邊若
乙角正弦與丙角正弦
一 甲丙邊 四千尺
二 甲乙邊 三千五百一十七尺三 乙角【九十九度五十七分】正弦 九八四九六【即八十度三分正弦】
四 丙角 正弦 八六六○三
撿表得丙角六十度
求甲角
併乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以減半周得餘二十度○三分為甲角
求乙丙邊
術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙對邊與乙丙邊
一 乙角【九十九度五十七分】正弦 九八四六九
二 甲角【二十○度三分】正弦 三四二八四
三 甲丙邊 四千尺
四 乙丙邊 一千三百九十二尺計開
先有之三件
乙鈍角【九十九度五十七分】 甲丙邊【四千尺】 甲乙邊【三千五百一十七尺】
今求得三件
丙角【六十度】 甲角【二十度○三分】 乙丙邊【一千三百九十二尺】右例有兩邊一角而先有對角之邊是為鈍角形第二術之第一支
假如【乙丁丙】鈍角形有乙丁邊【一千零八十尺】乙丙邊【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】 角在兩邊之中不與邊對
術先求形外之虚垂線補成正方角
從不知之丙角作虚垂線於形外
如丙戊亦引乙丁線於形外如丁
戊兩虚線遇於戊成正方角
術為以半徑比乙角正弦若乙丙邊
與丙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
三 乙丙邊 一千五百八十二尺
四 丙戊邊【即虚垂線】 六百四十三尺
又以半徑比乙角之餘弦若乙丙邊與乙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角【二十四度】餘弦 九一三五五
三 乙丙邊 一千五百八十二尺
四 乙戊邊【即乙丁引長線】 一千四百四十五尺
以原邊乙丁【一千○八十尺】與引長乙戊邊相減得丁戊【三百六十五尺】為形外所作虚句股形之句【則先得丙戊垂線為股而原邊丁丙為之弦】
求丁丙邊
依句股求弦術以丙戊股自乘【四十一萬三千四百四十九尺】丁戊句自乘【一十三萬三千二百二十五尺】併之得數【五十四萬六千六百七十四尺】為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邊
求丙角
術為以丁丙邊比丁乙邊若乙角正弦與丙角正弦
一 丁丙邊 七百三十九尺
二 丁乙邊 一千○八十尺
三 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
四 丙角 正弦 五九四四二
撿表得丙角三十六度二十九分
求丁角
併乙丙二角共【六十度二十九分】以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角
計開
先有之三件
乙丁邊【一千零八十尺】 乙丙邊【一千五百八十二尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丁丙邊【七百三十九尺】 丙角【三十六度二十九分】 丁鈍角【一百一十九度三十一分】
右例有兩邊一角而兩邊並在角之兩旁不與角對是為鈍角形第二術之第二支
又術【新增】 用切線分外角
假如【乙丙丁】鈍角形有丁乙邊【五百四十尺】丙乙邊【七百九十一尺】乙角【二十四度】 角在兩邊之中不與邊對求丙角
以【丁乙丙乙】兩邊相併為總相減為較又以乙角【二十四度】減半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】撿其切線得四七○四六三
術為以邊總比邊較若半外角切線與半較角切線
一 兩邊之總 一千三百三十一尺
二 兩邊之較 二百五十一尺
三 半外角切線 四七○四六三
四 半較角切線 八八七一九
撿表得半較角【四十一度三十五分】以轉減半外角【七十八度】得餘三十六度二十五分為丙角
求丁角
併乙丙二角共【六十度二十五分】以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角
求丁丙邊
術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊
一 丙角【三十六度二十五分】正弦 五九三六五
二 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
三 乙丁邊 五百四十尺
四 丁丙邊 三百六十九尺九寸八分計開
先有之三件
丁乙邊【五百四十尺】 丙乙邊【七百九十一尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丙角【三十六度二十五分】 丁鈍角【一百一十九度三十五分】 丁丙邊【三百六十九尺九寸八分】
鈍角形第三術 有三邊求角【新式】
假如【乙丙丁】鈍角形有乙丙邊【三百七十五尺】乙丁邊【六百○七尺】丁丙邊【三百尺】
術自乙角作虚垂線至甲又引丁
丙線横出遇於甲而成正方角則
成乙甲丁句股形
又引横線至辛使甲辛如丙甲成
乙甲辛句股形則丁辛為兩句之
總而所設丁丙邊為兩句之較
又乙丁邊為大形【乙甲丁】之弦乙丙邊為小形【乙甲辛即乙甲丙】之弦兩弦相併為總相減為較
術為以句較比弦較若弦總與句總
一 句較【即丁丙邊】 三百尺
二 弦較【即乙丁内减乙丙之餘】 二百三十二尺
三 弦總【即乙丁乙丙二邊相併】 九百八十二尺
四 句總 七百五十九尺四寸
以句較【三百尺】減所得句總【七百五十九尺四寸】餘數【五百二十九尺四寸】為大形之句甲丁
求丁角【用乙甲丁大形】
術為以乙丁弦比丁甲句若半徑與丁角之餘弦
一 乙丁弦 六百○七尺
二 甲丁句 五百二十九尺七寸
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 八七二六五
撿表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
術為以甲丙句比乙丙弦若半徑與丙角之割線
一 甲丙句 二百二十九尺七寸
二 乙丙弦 三百七十五尺
三 半徑 一○○○○○
四 丙角割線 一六三二五六
撿表得丙角【五十二度一十四分】為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分
求乙角
併丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以減半周得餘二十三度為乙角
計開
先有三邊
乙丙邊【三百七十五尺】 乙丁邊【六百七尺】 丁丙邊【三百尺】
求得三角
丁角【二十九度一十四分】 丙鈍角【一百二十七度四十六分】 乙角【二十三度】
右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線同銳角第三術
歷算全書卷五十一