歷算全書卷四十八
宣城梅文鼎撰
句股闡微卷三
句股法解幾何原本之根
句股羃與弦羃相等圖
甲乙丙句股形 乙辛大方為弦羃 弦羃内兼有句股二羃
論曰試於弦羃作對角之乙
子線與甲丙股平行而等又
作丙丁對角線與甲乙句平
行與乙子線遇於子成十字
正角則丙子與甲乙句相等
成乙子丙句股形與甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊兩線皆與丙丁等亦與乙子等而皆與甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆與丙子等即皆與甲乙句等則弦冪内所作四句股形皆與原設句股形等於是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
丁癸庚壬磬折形末引丁癸
至巳截成大小二方形則丙
巳方形即股幂癸壬小方即
句幂也
若先有丙巳股幂癸壬句幂
則聯為磬折形而移乙壬庚
句股補於丙丁辛之位移甲乙丙句股補於癸庚辛之位即復成乙辛大方而為弦幂
又法
甲乙丙句股形 乙丙弦 其幂乙戊丁丙
甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲法於原形之甲正角作十字線分弦幂為兩長方【一為丑子丁丙】凖股幂【一為丑子戊乙】凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛並引之至巳而成方角
次移甲丑丙句股補巳子丁虚形又移巳壬甲句股補丁辛丙虚形即成股冪而與丑子丁丙長方等積又移甲丑乙句股補己子戊虚形再移己卯戊句股補戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形補癸寅乙庚虚形即成句幂而與丑子戊乙等積
解幾何二卷第五題 第六題
甲丙為弦 丁丙為句
丁甲句弦和 乙丁句弦
較【丁甲同丁壬甲癸並同】
庚辛戊己弦幂也 己句
幂也 戊庚辛較乘和之
長方幂也
移戊補戊移庚辛補庚辛而弦幂内净多一己形即句幂也故弦幂内有和較相乘之長方又有句幂也論曰凡大小方形相減則其餘必為兩形邊和較相乘之長方是故己形者句自乘之小方也戊庚辛句弦較乘句弦和之長方也合之成戊庚辛巳形即弦自乘之大方矣
幾何二卷第五題以倍弦為甲乙原線以甲丙弦為平分之線以甲丁和乙丁較為任分之兩線以丁丙句為分内線其理一也
第六題以子丁倍句為原線以丁丙句為平分線以句弦較乙丁【即子甲】為引增線以丁甲句弦和為全線其理亦同
以數明之 甲丙弦八 丁丙句五 乙丁較三 丁甲和十三 和較相乘三十九 句自乘二十五 以句幂加和較長方共六十四與甲丙弦幂等
又論曰用股弦和較亦同
解幾何二卷第七題
甲丁股幂【即甲乙元線上方】子戊
句幂【即甲乙方内所作已辛方乃任分線甲丙
上方也】併之成癸寅弦幂【即所
謂兩直角方形併也】
弦幂内有戊甲股【即甲乙原線】戊癸句【即任分之甲丙線】相乘長
方形二【即己甲長方及丁辛長方亦即甲乙偕甲丙矩形二也】及句股較乙丙上方一【即壬丙小方亦即所謂分餘線上方也】
何以明之曰試於戊癸線引長至丑令丑癸如已丁較【即乙丙】遂作子丑小長方【與丁庚等】以益亥癸成亥丑長方【與丁辛等亦與已甲等】
次於癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四線皆與甲乙股等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四線皆與戊癸句等又自有未卯卯酉等句股較與乙丙較等 即顯弦
幂内有句股形四較幂一也
試於弦鼏内移午辰寅句股補癸戊甲之位成戊卯長方【與己甲等】又移癸未午句股補甲戌寅之位成戌酉長方【與亥丑等】而較幂未酉小方元與壬丙等又子丑小長方元與丁庚等
合而觀之豈非丁甲股幂及子戊句幂併即與己甲亥丑兩長方及壬丙小方等積乎
解幾何二卷第八題
庚甲乙句股形 取丁乙如
庚甲句則丁甲為句股和
和之幂為丁己大方【即元線甲乙偕
初分線上直角方也】於大方周線取戊
丑己子皆與庚甲句等即丑
丁戊子己庚皆與甲乙股等【即甲乙元線也句線則初分線】
次作丑癸庚辛乙壬子卯四線皆與外周四股線平行而等
自有丑壬子癸庚卯乙辛四線皆與外周四句線平行而等
又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股較線自相等【即分餘線也】丁已和幂内有長方形四皆句乘股之積【即元線偕初分線矩内形四也】又有句股較自乘幂一即分餘線上方形也
解幾何二卷第九題
甲丙為股 丁丙為句
丁甲句股和 乙丁句股
較 壬庚為句幂 辛丙
為股幂 丑丁較幂 丁
癸和幂 戊巳線上方為
句幂之倍 戊甲上方為
斜線上方倍於元方圖 股幂之倍併和較幂倍大於句幂股幂之併古法倍弦幂内減句股和幂開方得較若減較幂亦開方得和即其理也
論曰己丁較上方與丁
甲和上方併之即己甲
上方也戊巳線上方與
戊甲線上方併亦即巳
甲上方也 而戊巳為句幂斜線戊甲為股幂斜線凡斜線上方形倍於原方故較幂併和幂亦倍大於句幂股幂之併也而句幂股幂併之即弦幂古人所以用倍弦幂也
此第十題與前題同法 甲
丙即句 丁丙即股 丁甲
全線即和 丁乙引增線即
較
准前論丁庚【即丁乙】較上方幂與丁甲和上方幂併成庚甲線上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股【即巳戊亦即己庚】及丙甲句二幂【己壬為股幂辛丙為句幂】之倍數【庚戊為股斜線其幂必倍於股幂戊甲為句斜線其幂必倍於句幂】故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂
丙丙線皆弦也丙丙方弦幂
也甲丙之長者皆股也【亦即丙丁
丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁線句股較也丁丁小方
較幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也
丁甲長方皆句股相乘即倍句股形積也
合而觀之則弦幂内有句股積四及較冪一也和幂内有句股積八及較幂一也 若倍弦幂則有句股積八及較幂二也故以和幂減倍弦幂得較幂 若以較幂減之亦得和幂矣
以句股法解理分中末線之根
即幾何二卷第十一題 六卷第三十題四卷第十第十一題
古法句弦較 癸庚弦 其鼏庚乙 丙癸
乘句弦和開 句 其鼏丙戊
方得股之圖 引庚甲弦至壬使甲壬如丙
癸句則庚壬為句弦和丙庚
原為句弦較 以較乘和成
丙壬長方 長方内截甲丁
小長方與戊辛等 其餘庚辛
合而觀之是弦鼏内兼有句弦較乘和之積及句鼏也
夫弦鼏内原有句股二鼏而今以句弦較乘和之積可代股鼏是句弦較乘和即同股鼏也
句弦和及股 用法
及句弦較為 有句弦和 有句弦較
連比例圖 求股法以較乘和開方得股
或有股有句弦和求句求
弦法以股自乘為實以句
弦和除之得較以較減和
半之得句句加較得弦若
先有較以除股鼏亦得和矣
如圖 丙戊丁句股形 丙丁弦與丁乙等【亦與丁庚等】丁戊句 亥戊為倍句 乙戊為句弦較與庚亥等戊庚為句弦和與亥乙等
亥巳為句股和乘句弦較之
積與戊癸等
丙戊股 其方鼏甲丙
准前論甲丙方與亥巳長方
等積【戊癸亦同】則庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較也一 句弦和 庚戊
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句弦較 戊乙
以戊乙較減亥乙和餘亥戊倍句折半為句【丁戊或丁亥】或戊乙較與丙戊股若丙戊股與庚戊和也
一 句股較 戊乙
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句股和 庚戊
又論曰以二圖合觀之凡倍句加句弦較即句弦和以倍句減句弦和餘即句弦較
此不論句小股大如前圖或句大股小如後圖並同此可以明倍句與句弦較必為句弦和之兩分線故以句弦和為全線則其内兼有倍句及句弦較之兩線矣但倍句有時而大於較有時而小於較故不能自為
連比例而必藉股以通之
今於句弦和全線内取倍句如股則先以股線為和較之中率者今以如股之倍句當之而倍句原係句弦和全線之大分於是和與倍句之比例若倍句與較亦即為全與大分若大分與小分此理分中末線所由出也下文詳之
丙戊線上取理分中末線
先以丙戊線命為股 以丙戊折半成丁戊命為句取丙丁弦與丁乙等則戊乙為句弦較
變股為倍句成 亥戊倍句與丙戊股等 以理分中末線圖 加較成亥乙即句弦和
亥巳為和較相乘積與丙亥
股鼏等【丙亥為丙戊股之方即為亥戊倍句之方】准前論亥乙和與丙戊股
若丙戊股與戊乙較
今亥戊即丙戊則又為亥乙
和與亥戊倍句若亥戊倍句與戊乙較也
夫亥乙者全線也亥戊其大分戊乙其小分也合之則是全線與其大分若大分與其小分
論曰此以丙戊股線為理分中末之大分而求得其全線亥乙與其小分戊乙也而大分與小分之比例原若
理分中末線 全線與大分故即可以丙戊
比例圖 大分為全線而以小分戊子
【即戊乙也】為大分則子丙自為小
分矣
以亥乙為全線【亥戊大分即丙戊亦即乙】
【甲 戊乙小分即戊子】
亥乙與乙甲【即亥戊大分】若亥戊與子戊也【即亥戊與戊乙】
理分中末線 此用亥乙甲大句股比亥戊
相生不窮圖 子小句股
若丙戊為全線
則又戊子為大分【亦即子巳】子丙
為小分【亦即巳甲】為亥戊與戊子
【即丙戊與戊子】若子巳與巳甲也【即子戊與子丙】
此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
亥戊與戊乙若戊子與子丙又相視之理也
又若子巳為全線
則子庚又為大分 庚巳又為小分
其法但於大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方則戊子【即子巳】與子丙若子庚與庚巳
似此推之可至無窮
解幾何三卷第二十七題
甲乙丙句股形 以乙丙句
折半於巳 作已戊線與股
平行平分甲丙弦於戊 又
作戊庚線與句平行平分甲
乙股於庚成巳庚長方此即半句乘半股為句股積之半也
凡句股形内依正角作長方惟此為大 若於形内别作長方皆小【皆不及句股半積也】
今仍作卯丁形則小於巳庚何以知之曰試作丑戊線與丙巳半句平行而等又作丑丙線與戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即顯壬丑形與壬巳形等又乙辰原與巳寅等則以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦與卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以較已庚半積方形亦缺戊未之一角也蓋丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作長方於丙戊界内者皆小於巳庚半積形也
又作子癸形則亦小於巳庚何以知之曰試作戊乙對角線引之至酉即顯癸未形與卯未形等即卯丁形與子癸形亦等而其小於巳庚形為所缺之戊未小方亦等矣 准此言之即凡作長方於甲戊界内者皆小於巳庚半積形也
又知句股内容方之積亦皆小於半積惟句股相等如半方者容方即為半積
論曰此磬折形依弦線而成蓋即幾何所謂有闕依形也所闕之小方午辰及戊未皆與丑巳形相似而體勢等以有弦線為之對角也然以句股解之殊簡
又論曰若壬角在弦線上去戊角更遠則所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而體勢等辛角亦然
解幾何三卷三十五題
甲丙乙句股形 以
甲乙弦為半徑作員
則甲丙股為正弦
丙乙句為餘弦
己丙矢為句弦較丁
丙大矢為句弦和
依句股法 較乘和開方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乘丙戊與巳丙乘丁丙等積也
幾何三卷第三十五題言員内兩線相交則其各分之線相乘等積即此理也
巳丁過員心線
有庚壬斜線相交
於丙【分丙巳及丙丁又丙庚及
丙壬】皆分為兩法自
員心乙作十字線
至辛平分庚壬為兩【辛庚辛壬】皆斜線之半
辛庚半線内又分辛丙為小線
以辛丙減辛庚餘庚丙為較以辛丙加辛壬成丙壬為和
以大小二方相較之理言之庚辛方内有庚丙較乘丙壬和之積及辛丙方
乙辛庚句股形以乙庚為弦弦幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乘丙壬之積及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙為弦則乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙為弦弦幂内兼有甲丙及乙丙二方 此兩弦者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又與乙丙方等則各減等率而其所餘之庚丙乘丙壬積亦必與甲丙方等矣
而已丙乘丙丁原與甲丙方等則巳丙乘丙丁亦必與庚丙乘丙壬等矣
辛戊線 庚壬線
相交於丙則戊丙
乘丙辛與庚丙乘
丙壬亦等
何以知之曰試作
一丁巳過心線與
兩線交於丙凖前論戊丙乘丙辛之積及庚丙乘丙壬之積皆能與丁丙乘乙丙之積等則亦必自相等矣
丁巳員徑 有
庚壬斜線相交
於丙則庚丙乘
丙壬與巳丙乘
丙丁等
如法作乙辛及
乙庚線成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛句減庚辛句餘庚丙為較 以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊為和【即丙壬】
又以乙丙弦【即乙子亦即乙癸】減庚乙弦餘子庚為較 又兩弦相加成庚癸為和【即子丑】以庚子較乘庚癸和與庚丙較乘丙壬和之積必等【詳後條】而已丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乘丙丁與庚丙乘丙壬亦等
又大小方相減之理 庚乙方内兼有庚子乘庚癸之積及乙子方即如兼有庚丙乘丙壬之積及乙丙方也【乙丙即乙子】
而同庚乙之甲乙弦幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙兩積内各減去乙丙方則所存者一為庚丙乘丙壬之積一為甲丙自乘積此所餘兩積亦必相同可知矣
又巳丙乘丙丁之積原與甲丙方等則亦與庚丙乘丙壬等矣
先解兩方相減
寅辛大方内減子巳小方【寅辰為兩方邊之較卯辰為兩方之和即子辛】法以小方邊【乙子】為度于大方邊截取【乙長乙戊】作辰午線及
戊未線成辰戊
小方與巳子等
為減去之積其
餘為寅午長方
【即二方較線寅長乘大方邊之
積】及未辛長方
【即較線午未乘小方邊之積】
末取未辛長方移補丑卯之位成卯寅長方【即較乘和之積】又庚甲大方内減己癸小方【丁辛為兩方較已辛為兩方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二線減去丁癸小方與已癸等其餘辛壬壬癸兩長方又移癸壬為丙壬成丁丙長方即較乘和之積也
凖此論之凡大小二方相減其所餘者必皆為較乘和之積
次解兩句股形相減 凡兩句股同高即可相加減【謂股數同也】
乙庚辛句股内減乙庚丁句股 則以丁庚句減辛庚句餘【辛丁】為兩句之較 又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已為兩句之和 和乘較成丁丙長方
又以乙丁弦減辛乙弦餘辛戊為兩弦之較 又兩弦相加成辛子為兩弦之和【戊乙子乙並同丁乙】 和乘較成卯寅長方
此兩長方者其積必等【無論乙為正角或鈍角或鋭角並同】
何以明其然也曰依句股法乙辛弦上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳弦上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方減乙辛上方則各所兼之乙庚方巳相同而減盡故乙辛上方之多於乙巳上方者即是庚辛上方多於庚巳上方之數也
又所用者是兩分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不論乙角銳鈍其法悉同也
解幾何三卷三十六三十七題
甲乙丙句股形 以丙乙
句為半徑作員 則甲丙
股為切線 甲乙弦為割
線
甲乙割線内減丁乙半徑
則甲丁為句弦較 甲乙割線加戊乙半徑成甲戊為句弦和 和較相乘平方開之得甲丙股
幾何三卷第三十六題三十七題之理蓋出於此若割員線不過乙心 如甲庚 則以他句股明之法自乙心向割員線作乙巳為十字正交線則割線之
在員内者平分為兩【子巳巳庚】並為員内線子庚之半
又作乙子半徑成子巳乙
小句股則子乙小弦上方
幂兼有子巳小股乙巳小
句兩幂又甲庚總線既分於巳則甲巳大線内減子巳小線其餘甲子在員外者為較 以小線巳庚加大線甲巳成甲庚總為和
凡大小二方相較則大方内兼有較乘和及小方之積
則是甲巳幂内必兼有甲
子乘甲庚之長方及子巳
方也
又甲巳乙亦句股形其甲
乙弦内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乘甲庚之長方及子巳方與乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方與甲子成甲寅之長方而成甲乙方也
又甲丙乙句股形 同以甲乙為弦原合丙乙方與甲丙方而成甲乙方
兩形之甲乙方内各去其相等之丙乙方則其餘積一為甲子乘甲寅之長方一為甲丙自乘方是二者不得不等矣
用法
凡測平員形 既得甲丙切線 自乘為實 以甲丁之距為法除之得甲戊之距以甲丁距減之得丁戊員徑
若欲測庚物之在員周者亦以甲丙切線自乘為實以甲子為法除之即得甲庚之距
又法用兩句股相加減
甲乙丙句股形 以乙丙句為半徑作員 又以甲乙弦為半徑作外員 自外員任取甲點作過心員徑至戊 又任作一不過心斜線入内員至庚 則以兩員
間距線乘其全線皆與
股幂等而亦自相等
如以甲丁乘甲戊或甲
壬乘甲庚其積皆等又
皆與甲丙切線上方幂等
法以兩句股相加減
先自乙心作乙辛十字正線平分壬庚線於辛成乙辛甲句股
又作乙壬乙庚二線成乙辛壬小句股與乙辛庚等法以辛壬與甲辛相減餘甲壬為兩句之較
又相加成甲庚全線為兩句之和則以甲壬乘甲庚為句之較乘和也
又以乙壬與甲乙相減餘甲丁為兩弦之較
亦相加成甲戊全線為兩弦之和則以甲丁乘甲戊為弦之較乘和也
此句與弦之和較相乘兩積必等
而甲丁乘甲戊原與甲丙自乘等【以甲丙乙句股言之也】故三積俱等
凖此論之凡自甲點任作多線入内員其法並同 不但此也但於外員周任作線入内員亦同如於丑作丑戊線則丑卯乘丑戊亦與甲丙幂等
何以知之曰試於丑作丑寅過心線即諸數並同甲戊矣而丑卯戊之於丑辰寅猶甲壬寅之於甲丁戊故也
簡法
庚壬斜線交丁巳員徑於
丙 如法作乙辛線 成
乙辛庚句股形及乙辛丙
小句股形
又以丙辛小句與辛庚大句相減得庚戊較又相加成庚丙和
再以乙丙小弦【即乙癸亦即乙子】與庚乙大弦相減得子庚較又相加成癸庚和
依大小兩句股相加減法庚戊較乘庚丙和與子庚較乘庚癸和同積
而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚則壬丙乘庚丙亦必與巳丙乘丁丙同積矣
又簡法
壬庚線斜交已丁員徑於丙 依法作乙辛又作乙壬線 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
今自庚别作一過乙心線如
庚戊則乙辛庚與乙辛壬成
相同之兩句股即顯壬丙為
大小兩句之較而丙庚為其
和
又顯戊癸為兩弦之較而與巳丙等則巳丙亦較也又癸庚為兩弦之和而與丙丁等則丙丁亦和也是故壬丙乘丙庚較乘和也已丙乘丙丁亦較乘和也而其積必等
歷算全書卷四十八