歷算全書卷三十五

　　宣城梅文鼎撰
　　筆算卷二
　　乘法
　　以數生數是之謂乘數不能自生相得乃生故乘亦曰因【生則不窮故乘有陻義生則日積故乘有載義】有一位乘有多位乘【或分一位曰因多位曰乘然古皆謂之乘今從古】皆有法有實有得數
　　【凡實數縱列於右凡法數横列於下縱横相遇而得
　　數生焉直行所對者法數也斜行
　　所對者實數也而紀得數則以横行定之
　　或問實何以對斜行曰法有進行故得數斜陞是故
　　右第一行是法單位乘出之數也其次行則法十位
　　乘出之數也又次而百而千視此矣故其乘得數不
　　出斜格　此虛位也單十百千周流迭居皆於臨時
　　定之】
　　凡乘出數皆有本位有進位如有十數又有零數【三四一十二四四一十六之類】則紀零於本位【本格之右方】紀十於進位【上一格之左方】有十數無零數則紀十於進位而本位作○【五四成二十五六成三十之類】有零數無十數則紀零於本位而進位作○【一一如一二二如四之類】凡法實有空位則本位進位俱紀○
　　凡乘皆從法尾位起【即右第一行】對定實數相乘自下而上如畫卦之法右行乘畢挨乘左行每移一行必進上一位其各行中斜對實數自下而上皆如右行法
　　凡法與實有空位則無可乘然必於本位進位各作○以存其位【若實尾有空位則於合摠時補之】
　　凡各行乘訖必覆核之乃以併法合總而紀於左方以為得數實尾有幾○皆作於總數之下
　　凡乘訖定位皆於原實内尋原問每數為根以横行對定得數命為法尾數則上下之位皆定
　　凡數單乘單成單【甲為本位戊為進位】十乘十成百【乙為本位已為進位】百乘百成萬【丙為本位庚為進位】千乘千成百萬【丁為本位辛為進位】前圖可明
　　定位又法【法曰有本數有大數有小數如原問是每畝之價而原實恰止於畝數是本數也凡本數即用得數尾位命為法尾數　若原問是每畝之價而原實只有十畝或只有百畝是大數也凡大數當於得數尾位下增○然後於所增○位命為法尾數若大幾位亦增幾○皆增至每位止即命末○為法尾數也若原問是每畝之價而原實不止於畝畝下帶有分釐是小數也凡小數當於得數之尾截去之原帶畸零幾位亦截去幾位然後命之即所截之上一位為法尾數是也】
　　凡乘畢恐其有誤宜用除法還原【置得數為實以法數為法除之即得原實或置得數為實以實數為法除之亦得法數】不則以九減七減試之尤捷
　　【先以法數如法九減之而紀其餘於右如甲次以實數亦九減之而紀
　　其餘於左如乙再以左右兩減餘相乘得數仍九減之而紀其餘於上方
　　如丙　末以得數亦九減之而紀其餘於下方如丁　丁丙相同即知無
　　誤七減亦然】
　　【先以法數實數各如法九減之而並紀其餘如甲與乙　次以兩減餘相
　　乘得數仍九減之而紀其餘如丙以上並居左方　末以得數亦九減之
　　而紀其餘于右方如丁　視丙丁相同卽知無誤　如甲乙二者内有一
　　○卽丙亦○又或甲爲一數卽丙數同乙皆不用乘　七減亦然】
　　一位乘式
　　假如有熟田三千五百一十九畝每畝編銀六分問該若干答曰二百一十一兩一錢四分
　　【法從下起先以法數六乘實數九呼六九五十四紀四於
　　於本位紀五於進位進乘實數一呼一六得六紀六於本
　　位紀○於進位進乘實數五呼五六成三十紀○於本位
　　紀三於進位進乘實數三呼三六一十八紀八於木位紀
　　一於進位　乘畢以倂法合總】
　　定位法　因原問是每畝科則就於右行原實内尋每畝數為定位之根横對左行得數命法尾分則其餘皆定【根是九畝横對是四分則上位是錢又上是兩又上十兩又上是百兩定所得為二百一十一兩一錢四分】
　　兩位以上乘式
　　假如有金九錢八分五釐每兩價銀八兩八錢問該若干　答曰八兩六錢六分八釐
　　【先以法八錢乘實數五呼五八成四十紀○於本位紀四於進位進
　　乘實數八呼八八六十四紀四於本位紀六於進位進乘實數九呼
　　八九七十二紀二於本位紀七於進位
　　次進一位以法八兩乘實五呼五八成四十紀○於本位進乘實八
　　呼八八六十四紀四本位紀六進位進乘實九呼八九七十二紀二
　　本位紀七進位乘畢以併法合總】
　　定位法【原問每兩之價而實無兩當於實九錢上補作○兩位為根以横對得數定為法尾錢即上下之位俱定】
　　定位又法【此小數也原問以每兩價為法而實有錢分釐共小三位即於得數截去尾三位定第四位為六錢】
　　【法實減餘平列左上相乘而減之列左下
　　得數減餘列右下以相同為定】
　　假如有錢三十萬零五百八十文每千賣銀九錢零五釐該若干
　　答曰二百七十二兩零二分四釐九毫
　　【先以法數五乘實數八紀四○次乘實數五紀二五
　　次乘實數○○本位進　位俱紀○次乘實數三紀一五
　　進一位以法數○乘實○無可乘於本位進位各紀
　　○以存其位又進一位以法數九乘實
　　數八紀七二進乘實數五紀四五進乘兩○紀○進
　　乘實數三紀二七乘畢以併法合總】
　　定位【原問是每千之價當於原實内尋干位為根以對得數命為法尾釐則其餘皆定】定位又法【此亦小數也實有十丈於原問每干為小兩位當於得數截去末兩位定為法尾釐】
　　【此即前問也因法有空位省不乘但於法首九
　　錢起進二位乘之即得數無訛與前法同
　　本宜進一位乘九錢今進兩位以合空位之數
　　若法有兩空即進三位以上倣論】
　　假如星命家以年月日時配成八字【以七百二十乘七百二十】問共該若干
　　答曰五十一萬八千四百
　　【如法乘訖併之得五一八四】
　　定一【原問七百二十年月下每一數中各配七百二十日
　　時宜於原實下補作○單位為根以對得數定法尾十】或用又法【實數止於十大於每數一位乃大數也宜
　　徑於得數增一○位定法尾一】
　　解曰【六十年各十二月則前四字七百二十六十日各十二時下四字亦七百二十故以相乘即能盡八字之變】
　　假如西歷天度每週三百六十今有星行天三百週該若干答曰一十萬零八千度
　　【依法乘訖用併法合總得一○八】
　　定位【原問是每週之度今實數是三百週當於原實下補作兩○至每週位止
　　以此為根横對得數定法尾十度而得數空補作一○上一位為百度位得數亦空
　　又補作○是得數無百無十也再上為千為萬為十萬定所得為一十萬○八千】或用又法【星行三百週大於每週兩位乃大數也法徑於得數下增兩○
　　定末○為法尾十度即得數皆定】
　　【此先置三百六十為實而以三百週為法乘之也得
　　數一○八與前法同但變兩位乘為一位乘其用更
　　簡】
　　定位【用大數法以實止十度無每位徑於得數
　　下補作一○定為法尾百即得數定為十萬○八千】
　　假如有珠子三分五釐每兩值銀二十四兩該
　　若干
　　答曰八錢四分

　　依法乘而併之得八四○
　　定位【原問珠每兩價今實數只有分乃進位作
　　○於錢位又上作○於兩位兩為根横對得數為法尾數
　　兩而兩位空補作　定所得為八錢四分】

　　定位又法【此小數法也實有分釐在原問每兩下三位宜截去得數末三位定法尾數兩而得數只三位無可截乃補作○於得數之上然後截之定為○兩】
　　此與前條金價並畸零乘法也【餘詳通分】
　　省乘法【古謂之加法】
　　假如有漕糧三百六十石每石帶耗米四斗問正耗共若干答曰共五百○四石
　　此就身加法也【原數即當得數不動只挨身加四
　　先於六十石加四六二十四石又於三百石加三四一百二十石末
　　用併法連原數併之合總凡加法定位依原數不須更求下同】

　　【加法九試七試略同併法並合原數加數减餘列右共數減餘列左此及下
　　條並九減七減俱無餘】
　　假如銀五十四兩每兩月息二分五釐今兩箇月共本息若干
　　答曰共五十六兩七錢
　　【此因所加是分在兩下二位故隔位加　又因每月二分半今兩箇
　　月該五分故以五分為法先於四兩加二○進於五十加二五末以
　　併法連原數合總】
　　省乘又法【古謂之求一乘法】
　　凡法數之首為一數者即原數不動而挨身加之與前兩條同也若法首非一數者以法變為一數則亦可挨加此為本非一數求而得之故名求一乘法也　其法遇法首為二為三則折半用之而倍其實　法首遇五六七八九則加倍用之而半其實　法首遇四則取四之一用之而四其實【如此則法首成一數可用省乘】
　　【凡求一乘法定位亦於原實内尋每數為根以横行對得數定之但此所對得數恒為法首位數　若乘法則為法尾位數與此不同乃理勢之自然不可不知】
　　假如前條珠三分五釐價每兩值銀二十四兩用乘法得價銀八錢四分今以法數折半作一十二兩實數加倍作七分挨身加之所得正同而用加捷矣
　　【原數不動即用為法首一數所乘也挨身以法次位二與原數相乘呼二七加
　　一十四本位紀一下位紀四加訖以併法合總亦連原數作數併之】定位【亦從原數七分上加兩○尋每兩位為定位之根横對左行總數得法首
　　位是十兩下一位是兩俱空位補作兩○再下一位即錢定所得為八錢四分】
　　又如前條錢三十萬○○五百八十文每千價九錢○五釐以錢折半【十五萬○二百九十】為實價加倍【作一兩八錢一分】為法
　　【原數借為得數不動　以法去首位一只用八一挨身加
　　之自下起於九加七二九於二加一六二其○位無加於
　　五加四○五於實首一加八　一加訖合　原數併總】定位【尋原數千位為根横對左行得數得法首兩位】
　　併乘法【凡有數次乘者併為一次乘亦算家簡法舊謂之異乘同乘】
　　假如原本銀三千二百兩每兩一年獲息一錢五分六釐二毫五絲已經四年該息若干　答曰二千兩
　　【法先以三千二百兩乘四年得一萬二千八百兩再
　　以息銀乘之是併兩次乘為一次乘也】

　　截乘法【凡乘法位多者截作數次乘之以便初學其法與併乘相反而其理相通】
　　假如有三十二人各給布六丈四尺共若干
　　答曰二百○四丈八尺
　　【先置六丈四尺以十六人為法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又
　　二乘加倍合總解曰十六乘又二乘即三十二乘也】定位【凡就身加者原數即可定位如前條漕糧每石加四斗是也此
　　條是十六加首行六四雖以原數當得數而六丈四尺已陞為六十四丈
　　矣　若加倍自是本位此在用算者臨時消息之也】
　　或置三十二人以八丈乘兩次亦同
　　解曰八乘二次即六十四乘也
　　或置六丈四尺以四乘之得數又以八乘之所得亦同

　　解曰四乘一次又八乘一次即三十二乘也
　　除法
　　以數剖數是之謂除除其原數以歸各數故除亦曰歸【除與乘對理精用博近或謂之分義則淺矣】
　　有一位除有多位除【或分一位曰歸多位曰除或曰歸除曰混歸然古皆曰除】皆有法有實有得數【得數一名商數】
　　實其物也法其則也法實在乘法或可互用而除法必須審定乘法以法與實相遇而生一數如陰陽相交而生物也故雖互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以實滿法而成一數如鎔金以就型也故曰實如法而一若倒用之則非矣【實如法而一或變文曰如某數而一如用三除者省文曰以三而一言以三數成一數也而字皆連上為文或者不察遂竟以而一當除之字義失其旨矣】定法實訣
　　凡審法實有二訣一曰先有定則即以定則為法其所除者必同名之物也【如有定則之銀為法而除總銀以定則之米為法而除總米是也】一曰先無定則而求定則須詳問意以所用求之者為法其所除者必異名之物也【如以總米除總銀以總銀除總米是也】何以為先有定則也以事明之如銀糴米而先知每米一石之銀若干是先有定則之銀也即以此定則之銀為法而以總銀為實以法除實則得總銀所糴之總米矣【此為有總銀數又有米每石之銀數故以銀除銀而得總米】
　　若先知每銀一兩之米若干是先有定則之米也即以此定則之米為法而以總米為實以法除實則得總米所糶之總銀矣【此為有總米數又有銀每兩之米數故以米除米而得總銀】
　　是皆所除者同名而所得者異名也又謂之以每數求總數【凡以每數求總數者以每數為法每數即定則也以比例求之更明圖具左方】
　　何以為先無定則而求定則也如有總米又有總銀而無每數則當於問意詳之問者若欲知每米一石之銀是以米分銀也則以總米為法總銀為實問者若欲知每銀一兩之米是以銀分米也則以總銀為法總米為實是所除者異名而所得者亦異名也又謂之以總數求每數【凡以總數求每數先無定則故必於問者之所求酌之亦有比例之理】
　　又捷法
　　凡不動者為法動者為實何以明之如有總米總銀而欲知每米一石之銀則將變總銀為每米之銀是銀動而米不動也故以米為法若欲知每銀一兩之米則將變總米為每銀之米是米動而銀不動也故以銀為法其以每數求總數者先有定則不動即用為法尤為易見
　　凡布算乘易而除難除法之難尤在法實法實無誤則思過半矣此乃珠算筆算所同也故首辨之如右若筆算除法更有宜知者數端具如後方
　　一列位【法實既辨即當列位】
　　其法先作兩直綫自上而下平行相望約其間可容字兩行為率其長短則視位數多寡定之先以實數列於右直線之右自上而下依列位法書之次以法數列於右直線之左亦自上而下其千百十單皆與實相對或法數有千而實只有百者即對書於上一位餘皆倣此亦有實數無分秒而法數有之者亦對書於實尾之下次約實以求得數【得數亦名商數】
　　以法約實紀其得數於左線之右視法首位是言如之數【如三三如九之類】則書於實之上一位而於實首添作○以遙對之或法首位是言十之數【如二六一十二之類】則書於實首之對位其次商三商以上皆依此書之若書之而不相接輳是商數有空位也補作○此定位之根慎不可錯次乘商數求應減之數以減原實
　　以商得數與法數相呼乘之而紀數於左線之左皆以乘數之進位對商數紀之【如二六一十二則以一十對商數書之如三三如九是為○九則以九上之○對商數書之他皆倣此】乃遂以乘出數與右行原實對減【周減法】足減者於原實抹改之不足減者改商數其乘出數亦抹去便續商也
　　次定得數之位
　　先於法數之上一位作□為識以對得數命為單位等而上之則十百千萬等而下之則分秒忽微皆從此定
　　次命分
　　除有不盡者以法命之用法數為母不盡之數為子命為幾分之幾
　　次還原
　　凡除法恐其有誤當以乘法還原用法數與得數相乘除有不盡者併入之即得原實
　　又法仍以除法還原用得數為法轉除原實即復得法數除有不盡者以減原實為實然後除之
　　又法以九減七減試之以法數九減七減皆用其所減之餘紀右再以得數如法減之紀其餘於左左右兩餘數相乘仍如法減之紀其餘於上方末以原實亦如法減之紀其餘於下方上下相同則無誤矣
　　又簡法作直綫於左方以應減之數依併法併之必合原實有不盡數亦併入之【此法更簡更確】
　　按筆除原法以法實上下相疊不論數之何等【謂十單分秒之等】而但齊其尾殊欠條理又以得數横續於法實之尾定位易淆今法與實皆用真數相對而宜減之數先列左方對減無誤即古人實如法而一之故了了分明據法首定位尤為簡快
　　一位除式
　　假如有額編地丁銀二百一十一兩一錢四分其科則每畝六分問原地若干
　　答曰三千五百一十九畝
　　審法實訣【此為以每數求總數也其每數六分為先有之定則不動故以為法】

　　【右併法還原即用原列應減之數併之必合原實是為簡法】列位法【如法作兩直線先以實數二一一一四列於右直線之右自上而下順布之次以法數六列於右直線之左因法係六分故與實分位相對】
　　商除法【次以法數約實法是六實是二以六除二當合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三六一十八是言十之數將商得三以法首二書於左直線之右以乘得一八書於左直線之左因是言十之數以乘得進位一字對商數三字書之遂以此乘得一八用減法與原實二一對減先於實次位減八實係一不足減作點借上一數為十一減八餘三改書三於實一之右次於實首位減一實係二因借去一點只作一減盡作○乃作線抹去二一存○三亦於左作線抹去減數一八】
　　【次商以六除三亦當合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之數將次商五對實三字書於初商之下亦以乘得三○依法以三字為進位對次商五字書於左直線之左依法對減實三】

　　【作○仍作線抹去實三亦於左減數抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之數將三商一對實上位一字書於次商五之下依法以乘得○六對所商一字書於左線之左以對減實一一以六減一不足減作點借上成十一減六餘五改書　五於右抹去一一亦於左減數抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之數將商得九對實五字書於三商一之下依法以乘得五四對所商九字書左線之左以對減實五四恰盡俱改書○而抹去五四左減數亦抹去　共商得三五一九】
　　定位訣【於右線法數六字上一位作□為單位之識以横對左得數九字定為單九畝進位是十畝又進百畝又進千畝命所得為三千五百一十九畝】
　　乘法還原【以法六分乘得數三千五百一十九畝仍得原實見乘法】除法還原【以得數為法除原實仍得法數六分　見後條】試法
　　【九減得數無餘紀○於左法數餘六紀於右左右相乘仍紀○於上
　　九減原實無餘紀○於下凡○位與他數相乘所得皆○】

　　【七減得數餘五紀左法數餘六紀右左右相乘仍以七減餘二紀於
　　上七減原實餘二紀於下兩試皆上下相同知其不悮】
　　【論曰除法以乘法還原猶之乘法以除法還原此舊法珠算所必需若除法以除法還原則舊所無也同文算指用九減七減試法可免還原頗稱巧捷今以併法代之則試法亦省故稱簡法焉兹各具一則用相参互以明筭理握算者擇而用之可也今定筆除只用簡法還原若筆乘仍用試法】
　　多位除式
　　假如有熟地三千五百一十九畝共徵銀二百一十一兩一錢四分問每畝科則若干　答曰每畝六分審法實【此以總數求每數也問者欲知每畝科則是將以總銀變為每銀銀數動地畝不動故以地為法銀為實】
　　列位法【先以實數自上而下順布於右線之右次以法數對書於右線之左實首位是二百法首是三千法大於實一位故進一位列之凡進位列者皆不滿法】

　　商除法【以法數約實法首是三實是二合兩位二一除之宜商七因法有次位須留餘地改商六以乘法三呼三六一十八是言十之數以商數六對實首二書於左直線之右以乘得一八書於左線之左遂以商數六徧乘法次位五呼五六成三十乘得三○挨書於一八之下一位又以商數徧乘法第三位一呼一六如六乘得○六挨書下一位又以商數六徧乘法末位九呼六九五十四乘得五四又挨書下一位如此徧乘法四位訖乃以乘出數為減數對減原實恰盡】
　　定位【尋法首上一位為單位横對左線得數上二位定為兩順下一位是錢此二位俱空補作○○再下是分定所得為六分】
　　此一次除盡例也又為法大實小故所得不能成整數【兩為整數今所得是分在兩下二位】
　　【若用乘法還原同前條還原法若用除法還原即前條除法】
　　此所定單位在得數之外乃借虛位以定實數【下條同】其故何也曰法是三千有零能滿此數始能成一兩故曰實如法而一今法大實小是實不滿法不能成一數所得者乃剖一整數而得其若干如此條所得乃百分兩之六也【詳命分】
　　假如有銀八兩六錢六分八釐換金每金一兩該銀八兩八錢問換金若干
　　答曰九錢八分五釐
　　定法實訣【此為以銀除銀金價八兩八錢是先有之定則不動就以為法】
　　【如前法對列法實於右線之左右初商法八實八宜商一因無次商改退商九以乘法八得七二又乘法次位八亦得七二依法挨書遂以對減實三位八六六餘○七四　次商八以乘法八得六四乘法次八亦得六四依法書之遂以對減餘實七四八餘○四四　三商五以乘法八八得四四○依法書之遂以對減餘實恰盡】

　　定位【法數上一位為單位横對得數上一位是兩定為○兩九錢八分五釐法實首位同而法次位八大於實次位六故亦借虚位以定實數說在前條】
　　【甪乘法還原見乘法第二條　用除法還原以金九錢八分五釐為法除實得每兩價八兩八錢即畸零法也詳通分】
　　假如有銀四萬八千兩六十四人分之該若干
　　答曰各七百五十兩

　　假如有銀二百七十二兩○二分四釐九毫每錢一千銀九錢○五釐問錢若干　答曰三十萬零五百八十文定法實【此先有定則九錢○五釐故以為法】
　　【此法有○位例也亦是得數有○之例
　　初商三以乘法九得二七法次位空無乘挨作○○以存其位
　　再乘法末位五得一五各如式書之以對減原實二七二○餘
　　○○○五　實空位無可商次商從實五字起商作五以乘法
　　九得四五法次位空亦作○存位　乘法末位五得二五如式
　　書之以對減實五二四九餘○七二四】
　　【初商三乘九得二十七是言十之數宜對實首位二字書得數三次商五乘九得四十五亦是言十之數宜對餘實首位五字書得數五如此審定而書則乘出減實之數與實相對了了分明便知不誤然初商次商不相接續所差二位是得數有二空位也補作○○於初商次商之間以存得數之空位如是則次商之事畢　末商八以乘法九得七二法次位無乘亦作○存之法末位乘得四○以對減餘七二四恰盡】定位【此因所問是每千之價故千即單數也從法上一位横對定為千文之位上為萬又上十萬定所得為三十萬○○五百八十文】
　　若以數三十萬○○五百八十文為法除原實二百七十二兩○二分四釐九毫亦復得九錢○五釐為每千之價如後圖
　　審法實【此問錢價是以錢分銀故以總錢為法總銀為實】
　　列位之理【所欲知者每千之價故以千為
　　單以萬為十以十萬當百與原銀對列
　　其書商數如式不錯則得數之空位自明定位亦自無
　　舛說見前此兩條互相還原　若以
　　乘法還原並用乘法第三條】

　　命分法
　　凡除法至單而止故曰實如法而一所謂一者即單一數也其有除至單數而仍有不盡之餘實或法之數本大於實皆不能成一整數則以法命之其法有二其一除之至盡如計輕重者不滿一兩則除之為若干錢若干分及釐毫絲忽前條法大實小及得數單下仍有數位者是也【若授時歷萬分為度百秒為分及錢鈔論貫貫之下有百冇十有零文尤為易見】其一以法數為分母不盡之數為分子命為幾分之幾【如以三除五内除三數滿法成一整數餘實二不能成整則以此二數各剖為三分共成六分而以三除之各得二分是為三分之二也】假如十九人分銀二百五十四兩問各若干
　　答曰各十三兩零十九分之七
　　【以十九人為法除二百五十四兩各得一十三兩不盡七兩以法命
　　之　其法以法十九命為分母不盡七數為分子命為十九分兩之
　　七　解曰一整兩各剖為十九分則不盡之七兩共剖為一百三十
　　三分以十九人分之各得七分并整數分數為每人分得一十三兩
　　零十九分兩之七】
　　【若用乘法還原法以十九人乘得數十三兩得共二百四十七兩加
　　八不盡七兩共二百五十四兩合原實】
　　【若用除法還原　法置原實内減不盡之數七兩餘二百四十七兩為實每人十三兩為法法除實得十九人】
　　論曰古人只用命分後世乃有除之至盡之法然終不能盡【如以十九人除七兩各得三錢六分八釐四毫二絲一忽終餘一忽】故不如命分之簡妙【如錢糧尾數一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文無禆實用然亦終不能盡若命分之法只一語喝盡更無滲漏然後知古法為無弊】
　　省除法【舊名定身除亦名減法凡法首位是一數者用之】
　　假如漕糧正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗問正米若干
　　答曰三百六十石
　　【先以原數五定正數為三書直線左以應減耗數四乘所定正三得
　　耗一十二併正三共得四二以減原數五○餘○八次以餘數八定
　　正數為六書正數三之下以減耗四乘六得二十四併正六共得八
　　四減餘數恰盡合得數減數併之即還原數或用
　　加四亦同】
　　定位【凡省除皆以原數定位】
　　省除又法【古謂之求一除法】
　　凡定身除惟法首是一數者可用今以倍半之法求之則法首皆變為一數
　　其法遇法首位是二是三法實皆折半遇四則折半兩次遇五六七八九法實皆加倍【如此則法首位皆成一數】假如前條六十四人分銀四萬八千兩用除法各得七百五十兩今以法實各折半兩次用定身除所得亦同
　　【先以法六十四折半作三十二又折半一十六為法實四萬八千折
　　半作二萬四千又折半一萬二千為實用定身除法先以實首兩位
　　一二定七為得數法去首位一不用只用六以乘得數七得四十二
　　書左併得數七共一一二以減原實一二餘○○八次以餘實八定
　　五為得數亦以法六乘得三○挨書於左以減餘實八恰盡】
　　定位【得數七對原實千因法是有十之數退一等作七百定所得為七百五十石　假如十人七千即每人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位萬以上倣此論之凡省除依原實定位當知此訣】
　　併除法【舊名異除同除】
　　凡有當除數次者則以法相乘為法作一次除之亦簡法也【如以四除之又以五除之又以七除之則以四乘五得二十又以七乘得一百四十共為法以除之是併數次除為一次除也】
　　假如經商獲利二千兩原本三千二百兩已經四年問每年每兩之息
　　答曰每兩息一錢五分六釐二毫半

　　法曰先以四年乘原本【三千
　　二百】得【一萬二千八百】為總法【本法宜以
　　二千二百除二千得每兩之息再以四年除之得每
　　年每兩之息今併兩次除為一次除足簡法也】

　　截除法【與併除相反所以便初學】
　　凡除有法數位繁者或可以截為兩次除以從簡易假如五十六人分銀【一千五百一十二兩】各若干
　　答曰各二十七兩
　　【此因法五十六是七八相乘之數故先以八除得一百八十九兩仍用為實再以七除之得二十七兩合問】
　　【或先用七除得數二百一十六兩復以八除之亦得二十七兩為每人數】
　　【右省除式也祇作一直線書原實於右紀得數於左而以九九數呼而減之不必另書減數凡法只一位者用此為便】
　　假如銅一百二十八斤價二十兩問每斤若干
　　答曰每斤一錢五分六釐二毫半【原法三位今用截除三次俱一位為法可用省除】

　　假如銀一千○八十兩置田二百一十六畝問田價每畝若干
　　答曰五兩　【原法三位今用六除三次亦同】

　　約分法
　　凡命分有可約者以法約之古法曰可半者半之不可半者以少減多更相減損求其有等以等約之【以等數除母子數則皆除盡西人謂之紐數】
　　假如八十一人分銀二十七兩問各數　答曰各得三分兩之一
　　法曰【以八十一除二十七不能各得一兩依命分法八十一為分母二十七為分子命為八十一分兩之二十七又以法約之為三之一】解曰【八十一是三箇二十七若剖每兩為八十一分即各得其二十七分是三之一也】
　　分母八一　【約分法曰置分母八十一用遞減法以分子二十七減之餘五十四復以二十七減】分子二七　【之仍餘二十七如是則兩數齊同是有等也即用此等數二十七為法轉除分母八】減餘五四　【十一得三除分子得一如此則不用細分但以每兩均剖為三而各得其一分即三又減分子】二七　【人共一兩也若分子是五十四則用轉減法以子五四】仍餘二七　【轉減母八一餘廿七又以母餘二十七轉減子五四亦餘卄七是相等也就以此等數卄七為法除母八一得三除子五四得二是為約得三之二】
　　假如米八十五石分結一百○二人問各若干
　　答曰各得六分石之五
　　法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二為分母八五為分子命為一百○二之八十五以法約之為六分之五約分法曰置分母一百○二以分子八十五減之得餘十七用轉減法以餘十七減分子八十五餘六十八又遞減之餘五十一又減之餘三十四又減之餘亦十七是相等也就此等數十七為法轉除母數一百○二得六除子數八十五得五約為六分之五解曰一百○二是六箇十七八十五是五箇十七故曰六之五即六人共米五石也若以米每石均分六分八十五石共得五百一十分為實以一百○二人為法除之得五是每　所得為一石米中六分之五也】

　　歷算全書卷三十五