歷算全書卷三十三
宣城梅文鼎撰
籌算六之七
開方捷法
勿菴氏曰亷隅二形也故有二法今借開方大籌為隅法列于亷法籌之下而合商之則亷隅合為一法而用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善其事
平方
法曰如前列實從單位作點每隅位點之以求初商【初商列位有常法進法俱如前】既得初商即倍根數為亷法【亦同前法】以亷法數用籌【亷法幾位用籌幾根】列于平方籌之上為亷隅共法【或省曰次商法】合視亷隅共法籌某行内有次商之實同者或略少者減實以得次商【以本行内方根命之】
三商者合初商次商倍之以其數用籌列平方籌上為亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之實而得三商四商以上倣此求之
解曰隅者小平方也故可以平方籌為法 亷之數每大于隅一位今以平方籌為隅列于亷之下則隅之進位與亷之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為一法
【何以知亷大于隅一位也曰有次商則初商是十數矣平方亷法是初商倍數其位同初商故大于隅一位】
凡初商減積盡最上一點故最上一點者初商之實也次商減積盡第二點故第二點以上次商之實也三商減積盡第三點故第三點以上三商之實也推之第四點為四商之實第五點為五商之實【以上並同】
審空位法曰若次商之實小于亷隅共法之第一行【凡籌第一行最小數也】則知次商是空位也【不能成一數故空】即作圈于初商下以為次商 乃于亷法籌下平方籌上加一空位籌為亷隅共法以求三商【若空位多者另有簡法見後】三商實小有空位並同
假如有平方積二千四百九十九萬九千九百九十九尺問每面若干
列位 作點
如圖點在次位以二千四百
萬為初商實
視平方籌有小于二四者是
一六其方四也商四千尺減積一千六百萬尺【有四點故初商是千而有次商】
次以初商四千尺倍之得八千尺為亷法用第八籌列平方籌上為亷隅共法
以第二點餘實八百九十九萬為次商實視籌第九行合數八○一小于實次商九百尺減實八百○一萬尺
【此所減首位不空故對位書之】
次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八兩籌列平方籌上為廉隅共法 以第三點上餘實九八九九為三商之實
合視籌第九行是八九○一小于實商九十尺減餘
實八十九萬○一百
尺
【首位不空故亦對位書之】
次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三籌列平方籌上為廉隅共法
以第四點上餘
積九九八九九
為四商之實
合視籌第九行
積八九九○一
小于實商九尺
減餘實八萬九
千九百○一尺
不盡九千九百九十八尺
開方已得單尺而有不盡以法命之倍方根加一數得九千九百九十九為命分
凡開得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八
右例可明四以上用常法之理蓋積所少者不過萬分之一不能成五數之方而其法迥異
加空籌式
假如有平方積一千六百七十七萬七千二百一十六問每面若干
列位 作點
如圖點在次位以一千六百萬
為初商實
視平方籌有一六與實同其方
四商四千尺減積一千六百萬尺【凡餘實必在商數下一位起倘空位則作圈補之後倣此】 次以初商四千尺倍得八千尺為亷法用第八籌列平方籌上為亷隅共法【籌見前例】
以第二點上餘實○七七為次商實
籌最小數是○八一【第一行數】大于實
不及減是商數無百也
乃于初商四千下作一圈以為次
商【減去實中○位】 次如上圖加一空位籌于次商亷法之下平方籌之上為三商亷隅共法
以第三點上七七七二為三商實
視籌第九行是七二八一小于實商九十尺減積七十二萬八千一百
次合初商次商三商共四○九倍之得八一八為廉法
去空位籌加一八兩籌列于平方籌之上為四商廉隅共法
以第四點上四九一一六為四商之實
合視籌第六行數與實合商六尺減積四萬九千一百一十六尺恰盡
凡開得平方四千○九十六尺
假如有平方積九億○○一十八萬○○○九步問每面若干
列位
作點
如後圖點在首位以○九億步為初商實
視平方籌有○九與實同商
三萬步【五點故初商萬】減積九億步
次以初商三萬步倍之得六
萬步用第六籌加平方籌上為次商法【即廉隅共法】 以第二點上為次商之實視實三位俱空無減知商數有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位則于原實内銷一圈【凡續商之實必下于前商之實一位故雖○位必減去之以清出續商之實】而于共法籌内加一空位籌如此挨商頗覺碎雜故改用又法
又法曰凡實有多空位者知商數亦有多空不必挨商當于原實中審定可減之數在何位則此位之上皆連作圈而徑求後商如此餘實有三圈皆無積可減必至○一乃有可減而法是第六籌籌最小是○六大于○一仍不可減必至一八方可減而一是籌之進位當以商數對之則知以上俱是空位乃皆作圈合視之有三圈即次商三商四商也干原實内銷去三圈如後圖
此即次商三商四
商合圖也
次加三空籌于平亷【第六籌】之下平方之上為五商亷隅共法 徑以第五點上一八○○○九為五商實
視籌第三行數與餘實合商三尺
除積一八○○○九恰盡
凡開得平方三萬○○○三步
又假如積二千五百○七萬○○四十九尺問方若干列位 作點
如圖點在次位以二千五
百萬尺為初商實
視平方籌有二五與實同
其方五商五千尺減積二千五百萬尺
次倍初商五千尺得一萬○千尺用一籌空位籌為廉法【凡商得五數則原帶有空位】列平方籌上為次商法 實多空位以前除又法審之必至○七萬尺乃有可減而○七之○與籌上首位之○對當以商數居之則知此以上俱無商數也于是于初商五千下作兩圈如後圖
此次商三商合圖也【原實上減兩圈商數下加兩圈】
如上圖加兩空位籌于廉法一萬○千之下平方之上為四商法
以○七○○四九為四商實【次商三商之兩點已銷故徑用第四點】
視籌第七行相合商七尺減實
恰盡
凡開得平方五千○○七尺
又假如積五千六萬三千五百○○尺問方若干列位
作點 如圖點在次位以五十六萬為初商實
視平方第七行是四九小
于實商七百尺除實四十
九萬
次倍初商七百得一千四百用第一第四兩籌列平方籌上為次商法 以第二點上○七三五為次商實
合視第五
行是○七
二五小于
實商五十
尺減去餘
積○七萬
二千五百
尺
次合商數七百五十倍之得一千五百○尺應用第一第五空位三籌加于平方籌上為三商法以第三點上○一千○○尺為三商實而實小于法不能成一尺乃于商數未作一圈以為三商其不盡之數以法命之
凡亷隅共法籌第一行數即命分
也蓋能滿此數即成一單數矣
凡開得平方七百五十○尺又一
千五百○一之一千○○○約為
三之二弱
立方
法曰如前列實隔兩位作點以求初商既得初商即以初商數自乘而三之為平亷法【即方法】以平亷法用籌列于立方籌之上【借立方籌為隅法也】為平亷小隅共法别以初商數三之而進一位為長亷法【即亷法】以長亷法用籌列于立方籌之下【法于長亷數下加一空籌以合進一位之數】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】為次商之法即截取初商下一位至第二點止為次商之實法除實得次商【視共法籌内有小于實者為平亷亷小隅共積用其根數為次商】次以次商之自乘數【即大籌立積下所帶平方積數】與長亷法相乘【以平方數尋長亷籌之行取其行内積數用之】得數加入平隅共積為次商總積以此總積減次商之實及減則已倘不及減轉改次商及減而止【因亷積或大有不及減者】
三商者合初商次商數自乘而三之為平亷法以其數用籌列方籌上為平亷小隅共法
别以初商次商數三而進位以其數用籌加一空位籌列立方籌下為長亷法
截取次商下一位至第三點為三商之實共法為法除之以得三商【其積為共積】 次以三商自乘數與長亷法相乘得數加入共積為三商總積 减實【又一法長亷法不必加空位籌得于得數下加一圈即進位也】
四商以上倣此
解曰隅者小立方也故可以立方籌為法平亷之數每大于隅二位今以立方籌為隅列于平亷下則隅之首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平亷小隅可合為一法 長亷之兩頭皆如次商自乘之數故可以平方乘之又長亷之數每大于隅一位故于下加一空籌以進其位便加積也
【何以知平亷大于隅二位而長亷只大一位也曰平亷者初商自乘之數也初商于次商為十數十乘十則百數矣隅積者次商本位也故平亷與隅如百與單相去二位也若長亷只是初商之三倍位同初商初商與次商如十與單故長亷與小隅亦如十與單相去一位也】
凡初商積盡于上一點故上一點為初商實次商積盡于第二點故第二點以上為次商實推之三點為三商實四點為四商實以上並同
審空位法曰若次商之實小于平亷小隅共法之第一行或僅如共法之第一行而無長亷積則次商是空位也即作圈于初商下以為次商乃于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求三商其長亷法下又加一空位籌【并原有一空位籌共兩空位籌】為三商長亷法【又法長亷不必加空籌但于得數下加兩圈】 若商數有兩空位者平亷小隅籌下加四空位籌長亷積下加三圈
解曰有空位則所求者三商也初商于三商如百與單而平亷者初商之自乘百乘百成萬故平亷與三商之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理也【平亷原大二位加二空籌則大四位矣】初商與三商既如百與單則長亷與隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也
初商列位商一用常法二至五用進法六至九用超法今各存一例于後
假如有立方積六百八十五萬九千尺問每面若干列位 作點
如圖點在首位以○○六百
萬為初商實
視立方籌有小于○○六者
○○一也其立方一商一百尺【三點故初商百】減積一百萬尺次截取第二點上五八五九為次商實
以初商一百尺自乘得一萬尺而三因之得三萬尺為平廉法用第三籌列立方籌上為平廉小隅共法
别以初商一百尺三而進位得三百○十尺為長廉法
列立方籌下視平隅共法籌第九行是三四二九小于實商九十尺
次以第九行平方八一乘長廉三得二四三○以加共積得五百八十五萬九千為次商九十尺之積除實盡
次商十宜有三商而除實已盡是方面無單數也凡開得立方每面一百九十○尺
假如有立方積一千二百八十六億三千四百六十七萬○五百九十二尺問方若干
列位
作點
如圖點在第三位以一
千二百八十億為初商
實
視立方籌内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺【四點故初商千】減積一千二百五十億
次截取第二點上○三六三四為次商實
以初商五千自乘得二千五百萬而三之得七千五百萬為平廉法用七五兩籌列立方籌上為平廉小隅共法别以初商五千尺三而進位得一萬五千○百尺為長亷法用籌列立方籌下
視共法籌第一行是○
七五○一大于實不及
減知次商百位空也于
初商下作一圈為次商【原實上減一圈】
乃截第三點三六三四六七○為三商實
次于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為平亷小隅共法
于長亷籌下又加一空位籌【原有一空位籌共二空位】為長亷法
視共法籌第四行
是三○○○○六
四小于實用為共
積商四十尺 以長廉法與四行之平方一六相乘得二四○○○為長廉積加入共積得三○二四○六四減積三十○億二千四百○六萬四千尺次以商數五千○四十自乘得二千五百四十○萬一千六百尺而三之得七千六百二十○萬四千八百尺為平廉法列立方籌上為平隅共法别以商數五千○四十尺三而進位得一萬五千一百二十○尺為長廉法列立方籌下
乃截第四點
六一○六○
六五九二為
四商之實
視共法籌第
八行六○九
六三八九
一二小于實
商八尺以長亷法與第八行平方六四相乘得九六七六八○為長亷積以加共積得六一○六○六五九二除實盡
凡開得立方每面五千○四十八尺
右加兩空籌例
假如有立方積七千二百九十七億二千九百二十四萬三千○二十七尺問每面若干
列位 作點
如圖點在第三位以七
千二百九十億為初商
實 視立方籌方九之
積七二九與實同商九千尺減積七千二百九十億【四點故初商千】次截第二點○○○七二九為次商實以初商九千尺自乘八千一百萬尺而三之得二億四千三百萬尺為平亷法列立方籌上為平亷小隅共法别以初商九千尺三而進位得二萬七千○百尺為長亷法列立方籌下 視共法籌第一行是○二四三○一大于實不及減知次商百位空也于初商九千尺下作一圈為次商【原實上減去一圈】乃于平亷籌下立方籌上加兩空籌為平廉小隅共法于長亷籌下又加一空籌得二七○○為長亷法 截取第三點○○七二九二四三為三商實 視共法籌第一行是○二四三○○○一大于實仍不及減知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圈為三商【原實上又減去一圈又法實多空不必挨商但尋至不空之界如○七乃與平亷相應即于○七之上初商之下作連圈為次商三商而于原實中銷兩圈】
此次商三商合圖也
乃于平亷籌下立方籌
上又加兩空籌【共四空籌】為
平亷小隅共法 其長亷籌下又加一空籌【共三空籌】得二七○○○為長亷法【或不必加籌只于得數下加三圈亦同】
截取第四點○七二九二四三○二七為四商實
視共法籌第三行是○七二
九○○○○二七小于實商
三尺 以長亷法與第三行
平方○九相乘得二四三○
○○為長亷積以加共積得
○七二九二四三○二七除實盡
凡開得立方每面九千○○三尺
右加四空籌例
開方分秒法【籌算七】
勿菴氏曰命分古法也然但可以存其不盡之數而已若還原則有不合故有分秒法以御之也雖亦終不能盡然最小之分即無關于大數視命分之法不啻加密矣
平方
法曰凡開平方有餘實不能成一數不可開矣若必欲開其分秒則于餘實下加二圈【原實一化為一百分】如法開之所得根數是一十分内之幾分也或加四圈【原實一化為一萬分】如法開之所得根數是一百分内之幾分也或加六圈【原實一化為一百萬分】如法開之所得根數是一千分内之幾分也如此遞加兩圈則多開得一位乃至加十圈【原實一化為百億分】其根數則十萬分内之幾萬幾千幾百幾十幾分也
假如平方積八步開得二步除實四步餘四步不盡分秒幾何
法于餘實下添兩圈則餘實四步
化為四百○○分為次商之實
依捷法以初商二步倍作四步為
亷法列平方籌上為亷隅共法簡
籌第八行積三八四小于餘實次商八分除實三百八十四分開得平方每面二步八分不盡一十六分再開之
又于餘實下加兩圈則餘實一十六分化為一千六百○○秒為三商之實
依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第二行積一一二四小于餘實商作二秒除實一千一百二十四秒共開得平方每面二步八分二秒不盡四百七十六秒
此單下開兩位式也所不盡之數不過百分之四若欲再開亦可得其忽微如後式
還原以二步八二用籌為法又以二步八二列為實而自相乘之得七萬九千五百二十四分加不盡之分四百七十六共八萬乃以一萬分為一步之法除之【當退四位】仍得八步合原數
解曰此以一步化為百分故其積萬分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化為一百分則是横一百分直一百分而其積一萬分為一步
假如平方九十步開得九步除實八十一步餘實○九步不盡【小分幾何】
法于餘實九步下加八圈則餘實九步化為九億共作五點而以第二點○九億○○分為次商之實依捷法以初商九步倍作一十八步為亷法列平方
籌上為亷隅共法簡籌第
四行○七三六略小于餘
實商四千分除實七億三
千六百萬分餘一億六千
四百○○萬分為第三商
之實【第三點也】
又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十八步八為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行一五一○四略小于餘實商八除實一億五千一百○四萬餘一千二百九十六萬分○○為第四次商之實【第四點也】
又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八步九六為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第六行一一三七九六略小于實商六除實一千一百三十七萬九千六百分餘一百五十八萬○四百○○分為第五次商之實【第五點也】
又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九七二為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行一五一七八二四略小于實商八除實一百五十一萬七千八百二十四分餘六萬二千五百七十六分不盡凡開得平方每面九步四千八百六十八分【亦可名為四分八秒六忽八微】不盡一○○○○○○○○之○○○○六二五七六【即一萬分之六分有奇】
雖不盡不過萬分之一不足為損益可棄不用還原以九步四八六八用籌為法又為實自乘得八十九億九千九百九十三萬七千四百二十四分加入不盡之分六萬二千五百七十六共九十億以一億分為一步之法除之【當退八位】仍得九十步合原數解曰此以一步化為一萬分故其自乘之積一億何也自乘者横一步直一步之積也今既以一萬分為步則是横一萬分直一萬分而其積一億為一步
若依命分法則還原不合
如前例 原實八步開得方二步除實四步不盡四步法當倍每方二步作四步又加隅一步為命分命為二步又五分步之四意若曰若得五步則商三步矣今只四步是五分内止得四分也然還原有不合何也
以算明之
用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六為實以命分五自
乘得二十五分為法【每步通作
五分横一步直一步則共得二十五分也】除之
得七步又二十五分之二十一以較原實少二十五之四
以圖明之
每步作五分其羃積二十五分方二
步積四步共一百分又五之四以乘
方二步得四十分倍之為亷積八十
分又五之四自乘得隅積一十六分
共九十六分以合原餘積四步該一百分少二十五分之四
以此觀之實數每縮虛數常盈故命分之法不可以還原 其故何也曰隅差也何以謂之隅差曰平方之有奇零其在兩亷者實其在隅者虛何也亷之虛者一面而隅之虛者兩面也即如二步五之四謂五分内虛一分故不能成一步也然試觀于圖兩亷之四步皆虛一分【横四分直五分積二十分以二十五分計之是為于五分之中虛一分】而隅之一步虛一分有零【横四分直亦四分積一十六分虛九分以二十五分計之是為五分之中虛二分弱】則是邊數二步五之數者其積不及五之四也今餘積四步者實數也其邊數常盈于五之四有奇也而命之曰五之四宜其不及矣然則古何以設此法曰古率常寛以為所差者微故命之也不但此也古率圓一圍三方五斜七今考之皆有微差故曰寛也
愚常考定開平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而納其子【即得分】為全數以全數自相乘得數為通積另置分毋以分子減之餘數以乘分子而加之為實乃以分毋自乘為法除之即適還原數 如上方二步五之四以分毋五通二步得十納子四共十四自乘得方積一百九十六分另以分子四減分毋五餘一以轉乘分子四得四即隅差也以隅差加入方積共二百分為實乃以分毋五自乘得二十五為法以除實得八步合原積
又如後例 原實九十步開得九步除實八十一步不盡九步法當倍每方九步作十八步又加隅一共十九步為命分命為九步又十九分步之九意若曰若得十九步則加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然還原亦不合
以算明之
用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三萬二千四百為實以命分十九自乘得三百六十一為法【每步十九分横十九分直十九分共得三百六十一分也】除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以較原實之九十步計少三百六十一分之九十分
若依隅差之分以得分九減命分十九餘十轉乘得分得九十分為隅差以加自乘通積三萬二千四百共得三萬二千四百九十為實乃以命分自乘三百六十一為法除之恰得九十步合原積
以圖明之
甲戊丁庚形者方九步九分
之總形也通為一百八十分
積三萬二千四百分以三百
六十一為步除之較原實少
九十分
内分甲丙乙巳形為初商方九步之形其積八千一步戊乙形庚乙形次商亷積之形也長九步【通為一百七十一分】濶九分積一千五百三十九分兩亷共計三千○七十八分
丁乙者小隅者横直各九分以較亷積中每一步之形【如丑乙】欠一丁癸形即隅差也
以積考之亷九步每步濶九分長一步【通為十九分】積一百七十一分隅濶九分長亦九分積八十一分少九十分為隅差
立方
法曰凡立方有餘實不能成一數不可開矣若必欲知其分秒則于餘實下加三圈【原實一化為一千分】如法開之所得根數是一十分之幾分也若加六圈【原實一化為一百萬分】所得根數是一百分之幾分也若加九圈【原實一化為十億】則根數是一千分之幾分也若加十二圈【原實一化為萬億】則根數是一萬分之幾分也
解曰平方籌兩位故兩位作點而其化小分亦以兩位為率蓋積多兩位則根數可多一位也【亷一位隅一位故兩位】立方籌三位故三位作點而其化小分亦以三位為率蓋積多三位則根數可多一位也【平亷一位長亷一位隅一位故三位】
假如立方積一十七步開得立方二步除八步餘實九
步不盡法于餘實下
加十二圈則餘實九
步化為九萬億分【增
四點可加開四位】
依捷法截第二點○九○○○為次商之實 以初商二自乘【四】而三之得一十二步為平亷法列立方籌上為平隅共法 以初商【二】三而進位得【六○】為長亷法列立方籌下 簡共法籌第五行積【○六一二五】小于實商五分【六行七行亦小于實因無長亷積故不用】
乃以第五行平方【二五】與長亷法相乘得【一五○○】為長亷積以加共積共得【○七六二五】是為次商五分之積以除實餘一三七五以俟三商
又截取第三點一三七五○○○為三商之實 以初商次商共二步五分自乘得【六二五】而三之得【一八七五】為平亷法列立方籌上為平隅共法 以初商次商【二步五分】三而進位得【七五○】為長亷法列立方籌第七行【一三一二八四三】共法【八四三】小于實商七秒 乃以第七行平方【四九】與長亷法相乘得【三六七五○】為長亷積以加共積共得【一三四九五九三】為三商七秒之積以除實餘○二五四○七以候續商
又截取第四點○二五四○七○○○為四商之實以商數【二五七】自乘得【六六○四九】而三之得【一九八一四七】為平亷法列立方籌上為平隅共法 以商數【二五七】進位而三之得【七七一○】為長亷法列立方籌下簡共法籌第一行【○一九八一四七○一】小于實商一忽
乃以第一行平方【一】乘長亷得【七七一○】為長亷積以加共積得【一九八二二四一一】為商一忽之積以除實餘○五五八四五八九以候末商
通第五點○五五八四五八九○○○為末商之實以商數【二五七一】自乘得【六六一○○四一】而三
之得【一九八三○一二三】為平亷法列立方籌上為平隅共法 以商數【二五七一】進位而三之得【七七一三○】為長亷法列立方籌下簡共法籌第二行【○三九六六○二四六○八】小于實商二微
乃以第二行平方【○四】乘長亷法得【三○八五二○】為長亷積以加共積得【○三九六六三三三一二八】為末商二微之積以減實餘一六一八二五五八七二不盡
凡開得立方每面二步五分七秒一忽二微【不盡之數不能成一微棄不用】
還原以二步五七一二用籌為法别以二步五七一二列為實以法乘實得六六一一○六九四四
再乘之得一十六萬九千九百八十三億八千一百七十四萬四千一百二十八分
乃以不盡之積一十六億一千八百二十五萬五千八百七十二分加入再乘積共得一十七萬億以一萬億為一步之法【以一步為萬分横一萬直一萬商一萬共一萬億】除之得一十七步合原數
若依命分法則還原不合
如前所設立方積一十七步開得立方每面二步除積九步餘九步法當以立方二步自乘得四步而三之得十二步為平亷又以立方二步三之得六步為長亷又加【一步】為隅共【一十九步】為命分命為立方二步又十九分步之九意若曰餘積若滿十九步則加商一步矣今只有九步是以十九分為一步而今僅得九分也然還原則有不合
以算明之
用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九共【四十七分】此即所云二步又十九分之九乃立方一面之數也以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○萬三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容積數也為實别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之積為法以除實得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】較原實一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】
其故何也曰長亷小隅之差也何以言之曰立方之有奇零其在平亷者實其在長亷小隅者虛何也平亷之虛者一面而長亷虛兩面小隅虛三面故也今以十九分為一步其立方積【六千八百五十九分】為步法以十九分除之得每【三百六十一】為分法平亷每步【横十九分直十九分高九分積三千二百四十九】分法除之得九是為十九分之九適合命分之數也
若長亷【横九分直十九分高九分積一千五百三十九分】分法除之得四分有奇而已以較平亷九分之積【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三長亷共【六步】共少【一萬○二百六十分】步法除之得一步又三千四百○一分為長亷差
若小隅【横直高各九分積七百二十九分】分法除之得二分有奇而已
以較平亷九分之積【三千二百四十九】少二千五百二十分為隅差
合亷隅兩差計之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一
以圖明之
丑寅為立方一步之形每步通為十九分横直高各十九分積六千八百五十九分是為步法
以十九分除步法得三百六十一分是為分法
亷隅總圖【見左】
甲乙丙三平亷也縱横各方二步通為三十八分厚九分積一萬二千九百九十六分三亷共三萬八千
九百八十八分丁戊巳三長亷
也各長二步通為三十八分厚
濶各九分積三千○七十八分
三亷共九千二百三十四分
庚小隅也長濶高皆九分積七
百二十九分
三長廉三平廉一小隅共包一正方形在内
正方形縱横各二步通為三十八分 積五萬四千八百七十二分
總形方二步九分通為四十七分高如之 積一十○萬三千八百二十三分 以步法除之得一十五步有奇不滿原實一步又五千九百二十一分
平亷方二步其容四步即辛壬癸
子之分形也每步縱横皆一步通
為十九分厚皆九分積三千二百
四十九【辛一形積如此壬癸子者同】 以分除之適得九分
長亷長二步【如丑寅合形】通為三十八
分厚九分皆與平亷同所不同者
平亷濶十九分而長亷濶只九分
故長亷二步尚不及平亷一步之積以積計之每長亷一步【如丑形】積一千五百三十九分較平亷每步之積【如丑卯合形】少一千七百一十分【如丑之虛分卯】三長亷計六步共少一萬○二百六十分是為長亷之差
小隅横直高皆九分【如未形】于平亷
一步之積不及四之一以積計之
小隅之積七百二十九較平亷一
步之積【如未申合形】少二千五百二十分【如未之虛分申】是為小隅之差 合二差共一步五千九百二十一分今考定開立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母【即命分】通其整而納以分子【即得分】為立方全數以全數自乘再乘得數為立方通積另置命分【母數】與得分【子數】各自乘得數以相減用其餘數以乘得分得數為隅差又置命分與得分相減用其餘數轉與得分相乘以乘命分得數是為長亷每步虛數又以長亷法乘之得數為長亷差合二差數以加通積為實以命分自乘再乘得數為法除之即適還原數如所設立方積十七步開得立方二步又十九分
之九法以分母【十九】通立方二步而以分【子九分】納之共【四十七分】為立方全數以全數自乘再乘得【一十○萬三千八百二十三】為通積另置命分【十九】自乘得【三百六十一】内減分子【九】自乘【八十一】餘【二百八十分】以分子【九】乘之得【二千五百二十分】為隅差又置命分【一十九】内減得分【九】餘十分轉乘得分【九】得【九十分】以乘命分【十九】得【一千七百一十分】為長亷每步虛數又以長亷法【六步】乘之得【一萬○二百六十分】為長亷差合二差共一萬二千七百八十分以加通積共得一十一萬六千六百○三分為實以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分為法以除實得一十七步合原積
歷算全書卷三十三
筆算自序
或問筆算西人之法耳子何規規焉曰非也自圖書啟而文字興參兩倚數畢天下之能事六書九數皆原於易非二事也古人算具以籌策縱横布列畧如筮法之掛扐其字象形為祘是故其縱立者一而一其上横者一而五珠盤之位實此權輿夫用蓍在立卦之後則籌策之算必不在文字先矣是故籌策之未立形聲點畫自足以用而籌策之所得又將紀之簡策以詔方來書與數之相須較然明也近數百年間再變而為珠盤踵事生新以趨簡易然觀九章中盈朒方程必列副位厥用仍資筆札其源流不可想見與故謂筆算為西人獨智者非也曰今所傳同文算指西鏡録等書亦唐九執歷元明間回囘土盤之遺耳與中算固各有本末矣曰是則然矣然安知九執以前不更有始之始者乎西人之言歷也自多禄某以來二千年屢變而密溯而上之亦不能言其始於何人其為算也亦若是己矣夫古者聖人聲教洋溢無所不通南車記里之規隨重譯而四逹我則失之彼則存之烏乎識其然烏乎識其不然耶且夫治理者以理為歸治數者以數為斷數與理協中西非殊是故禮可以求諸野官可以問諸郯必以其西也而擯之取善之道不如是隘也况求之於古抑實有相通之故乎曰然則子何以易衡而直曰旁行者西國之書也天方國字自右而左歐邏巴字自左而右皆衡列為行彼中文字盡然也彼之文字既衡故筆算亦横取其便於彼用耳非求異於我也吾之文字既直故筆算宜直亦取其便於用耳非矜勝於彼也又何惑焉問者以為然遂書其語為序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰
發凡
筆算之便與籌算同然籌仍資筆而筆則無假於籌於文人之用尤便【筆算無歌括最便學習又無妨酬應久可覆核皆與籌算同詳籌算書】
筆算易横為直以便中土盖直下而書者中土聖人之舊而吾人所習也與籌算易直為横其理正同
筆乘原法以法實相疊殊混人目今所更定者一縱一横法實各居其所而縱横相遇處得數生焉不惟便用而已其所以然之理亦按圖可知
筆除原法得數與原實相離定位易淆今所更定者法實與得數兩兩相對算理井然定位尤簡
【所謂原法者並據同文算指乃西土之舊式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥後有西鏡録等書稍稍講明定位之用盖亦酌取中法而為之然於古人實如法而一之旨似猶有隔兹以法上得零之訣定之庶令學者一望而知所冀高賢有以教之幸甚】