歷算全書卷三十一
宣城梅文鼎撰
籌算二之三
開平方法
勿菴氏曰自周髀算經特著開平方法其說謂周公受于商高矩地規天為用甚大然有實無法故少廣之在九數別自為章今以籌御之簡易直截亦數學之一樂也
解曰平方者長濶相等之形也其中所容古謂之冪積亦曰面冪西法謂之面面有方有圓此所求者方面也其法有方有亷有隅總曰平方也【冪音覔覆物中也】開亦除也以所有散數整齊而布列之為正方形故不曰除而曰開平方四邊相等今所求者其一邊之數西法謂之方根
如後圖方者初商也初商不盡則倍初商之根為亷法除之得兩亷又以次商為隅法自乘得隅隅者以補兩廉之空合一方兩亷一隅成一正方形
如圖一方兩廉一隅除積仍不盡則合初商次商倍之為廉法除之以得次兩廉又以三商為隅法自乘得隅合一方四廉兩隅成一正方形【商四次以上倣此加之】
解曰上兩位者自乘之積也假如方一十則其積一百方二十則其積四百以至方九十則其積八千一百也下一位者方根也假如積一百則其根一十積四百則其根二十乃至積八千一百則其根九十也平方籌式列左
開平方籌只用兩位積數何也曰開方難得者初商耳平方積數雖多而初商所用者只兩位次商以後皆亷積也亷積可用小籌除之開方大籌專為初商故積止兩位
籌下一位單數也而實有百也萬也百萬也億也百億也萬億也百萬億也皆與單同理故獨商首位者用下位之積數焉【其積自○一至○九其方根為一二三】
籌上一位十數也而實有千也十萬也千萬也十億也千億也十萬億也干萬億也皆與十同理故合商兩位者用上下兩位之積數焉【其積自一六至八一其方根自四至九】
用法曰先以實列位列至單位止實有空位作圈以存其位次乃作點凡作點之法皆從實單位實單位起作一點每隔位則點之而視其最上一點以為用首位有點者以實首一位獨商之【乃補作一圈于原實之上亦成兩位之形】
首位無點點在次位者以實首位合商之
皆視平方大籌積數有與相同或差小于實者用之以減原數而得方數即初商也
定位法曰既得初商則約實以定其位知其所得為何等【或單或十或百之類】以求次商
其法依前隔位所作之點總計之視有若干點
假如只一點者初商所得必單數也【自方一至方九】則初商已盡無次商矣
有二點者初商所得必十數也【自方一十至方九十】初商十數者有次商
有三點者初商所得必百數也【自方一百至方九百】初商百數者有次商又有三商
有四點者初商千也有商四次焉
有五點者初商萬也有商五次焉
次商法曰依前術定位則知其宜有次商與否
若已開得單數雖減積不盡不必更求次商也雖未開得單數而初商減盡亦不必更求次商也惟初商未是單數而減積又有不盡是有次商矣次商者 倍初商為亷法用小籌以除之【初商一則用第二籌初商七則用第一第四兩籌皆取倍數】視籌積數有小于餘實者用之為亷積視亷積在小籌某行命為次商數
既得次商減去亷積即用次商數為隅法以求隅積隅積小平方也即隅法自乘之數也【可借開方籌取之】若隅積大于餘實不及減者轉改次商及減而止
以數明之 假如積一百其方根十即除實盡此獨用方法無亷隅矣若積一百四十四初商十除實百餘四十四則倍初商之根得廿為亷法【在初商之兩旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十為亷積又次商二為隅法自乘得四為隅積共四十四除實盡開其根得一十二也
商三次以上法曰次商所得尚非單數而減積又有不盡是有第三次商矣
商第三次者合初商次商數皆倍之為次亷法 如前用籌以除餘實求得第三商以减亷積
又即以第三商之數為隅法以求隅積皆如次商
商四次五次以上並同第三商
命分法曰但開至單數而有餘實者是不盡也不盡者以法命之法以所開得數倍之又加隅一為命分不盡之數為得分 凡得分必小于命分
亦有開未至單宜有續商而其餘實甚少不能除作單一者亦如法命之而于其開得平方數下作圈紀其位如云平方每面幾十○又幾十幾分之幾 或平方每面幾百○○又幾百幾十幾分之幾
若欲知其小分別有開除分秒法見第七卷
列商數法曰凡初商得數而書之有二法 其法依前隔位所作點以最上一點為主凡得數皆書于此點之上一位五以上者又進一位故有二法也
其故何也五以上之亷倍之則十故豫進一位以居次商四以下雖倍之猶單數也所以不同凡歸除開平方須明此理不則皆誤矣 大約所商單數必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有實無法亷法者乃其法也
凡次商列位亦有二法 次商用歸除除法者皆書于籌之第一位故次商以之
看次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空即以次商數對而書之對餘實首一位是也
若第一位是圈即以次商數進位書之以暗對其圈餘實上一位是也
知此則知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商與初商隔位則作圈隔兩位作兩圈是也
商三次以上書法並同
隅積定位法曰凡減隅積皆視其隅數為何等【隅數即次商之數也或單或十或百千等】以求其積
隅數是單其減隅積亦盡于單位
隅數是十其減隅積必盡于百位
隅數是百其減隅積必盡于萬位
隅數千其隅積必百萬
隅數萬其隅積必億
每隅數進退一位則隅積差兩位【隅積小平方也故皆與初商同理】
還原法曰凡開方還原皆以所開得數為法又為實而自相乘之有不盡者以不盡之數加入即得原數
假如有積三百六十平方開之
列位【單位作圈】作點【從單位起】
視首位有點以首位三百獨商之乃視平方籌積數有小于○三者是○一也○一之方一故商一十【有二點故初商是十】
于原實内減去方積一百餘二百六十【初商是十知有次商】以上一點為主凡得數皆書于此點之上一位此常法也四以下用常法
次倍初商【一十】作【二十】用第二籌為亷法
視籌第九行積一八小于二六次商九于初商一十之下去亷積一百八十餘八十【所減數在籌上一位不空故以商數九對餘實首位書之】
次以次商九為隅法其隅積八十一大于餘實不及減應轉改次商為八視籌之第八行積數【一六】減亷積一百六十餘一百【所減第一位下空故對位書之】
乃以次商八為隅法減隅自乘積【六十四】餘【三十六】不盡
隅數單故減隅積亦盡于單位
初商【一十】次商【八】共【一十八】是已開至
單位也而有單位也以法命之 以平方【一十八】倍之又加隅【一】共【三十七】為命分
命為平方一十八又三十七分之三十六
還原法
以平方一十八用籌為法即以平方
一十八為實而自相乘之得三百二
十四加入不盡之數三十六共得三
百六十如原數
命分還原論詳別卷
假如有積一十二萬九千六百平方開之
列位 作點
視首位無點點在次位以兩位一
十二萬合商之
乃視平方籌積有小于一二者是
○九其方三也于是商三百【三點故初商百】減去方積九萬餘三萬九千六百【初商百故知有次商】
次倍初商【三百】作【六百】用第六籌為亷法
視籌第六行積數【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下減去亷積三萬六千餘三千六百【所減首位不空故對書之】次以次商【六十】為隅法減隅積三千六百恰盡【隅數十故減隅積必盡于百位】
凡開得平方三百六十○ 開方雖未至單減積已盡是方面無單數也後倣此
還原法
以所得平方三百六十○為法為實而自相乘之得一十二萬九千六百○○如原數
假如有積一千平方開之
列位 作點
視點在次位以首二位一千○百合商之
乃視平方籌小于【一○】者【○九】也【○九】
之方三商作三十【二點故初商十】減方積九百餘一百次以初商【三十】倍作【六十】用第六籌為亷法
視第六籌第一行是【○六】小于【一百】次商一千初商三十之下減亷積六十餘四十【所減是○六首位空也故書于進位以對其○今雖對于餘實以所減六十言之猶進位也列位之理明矣】
次以次商一為隅法減隅積一餘三十九不盡【隅積盡單位】
所開已至單位而有不盡以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三為命分
命為平方三十一又六十三分之三十九
此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之一點為主而書其初商所得數于點之上一位乃常法也
假如有積四千○九十六平方開之
列位 作點
視點在次位以四千○百合商之
乃視平方籌積數有三六小于四○
其方六也商作六十【二點故初商十】減方積
三千六百餘四百九十六【初商十故知有次商】
以最上一點為主而書其得數于點之上兩位乃進法五以上用進法
次倍初商【六十】作【一百二十】為亷法【用第一第二兩籌】視籌第四行積數【四八】小于餘實次商四於初商六十之下減亷積四百八十餘一十六【所減是○四八首位空也故次商四進位書之若初商不進則次商同位矣】
次以次商四為隅法減隅積一十六恰盡【隅數單故隅積盡單位】
凡開得平方六十四
假如有積八千○九十九以平方開之
列位 作點
視點在次位以八千○百合商之
乃視平方籌有【六四】小于【八○】 其方
八也于是商八十【二點故初商十】除實六千
四百餘一千六百九十九【初商是十宜有次商】次以初商八十倍作一百六十為亷
法【用第一第六兩籌】
合視兩籌第一行積【一六】與餘實同宜商【一十】因無隅積改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下減亷積一千四百四十餘二百五十九【所減第一位不空故對位書之】
次以次商九為隅法減隅積【八十一】仍餘一百七十八不盡【隅數單隅積盡單位】
已開至單位而有不盡以法命之 應倍所商八十九又加隅一共一百七十九為命分
命為平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一數故不能成九十之方】
假如有積二千五百四十八萬二千三百○四平方開之列位 作點
視點在次位以二千五百萬合商
之
乃視平方籌積有【二五】與實相
同其方五也商五千【四點故初商千】除方積二千五百萬餘四十八萬二千三百○四【初商千有次商】
【又法既以四點知所得為五千倍之則為一萬即亷法也法上一位便是單逆上三倍則五千位矣】
次倍初商【五千】作【一萬】為亷法【用第一籌】
視籌第四行積四與餘實同次商四十于初商五千之隔位減亷積四十萬餘八萬二千三百○四【所减是○四故進位書之以對其○然與初商五千猶隔一位故知所得為四十此定位之法之妙也】次以次商四十為隅法減隅積一千六百餘八萬○七百○四【隅數十故減隅積盡于百位 商至十有末商】
次合初商次商倍之得【一萬○○八十】為亷【用第一第八并二空位共四籌】
【大凡商五數以上則其亷法視所商方數必進一位不論初商次商皆然若四以下則其亷法視方數必同位亦初次商盡然】
合視籌内第八行積數【八○六四】小于餘實又次商八于先商五千○四十之下減亷積八萬○六百四十餘六十四【此所減第一位亦是○故商數八亦進位書之以對其○】
次以末商八為隅法用減隅積六十四恰盡【隅數是單故減隅積亦必盡于單位】
凡開得平方五千○四十八
以上皆商五以上進書例也
常法中有初商得二或四者進法中有初商得七或九者並雜見開方分秒法并開方捷法中
開立方法【籌算三】
勿菴氏曰物可以長短度者泰西家謂之線線之原度一横一縮而自相乘之以得其羃積者平方也西法謂之方面方面與線再相乘而得其容積則立方也西法謂之體
解曰平方長濶相等形如碁局立方長濶高皆相等形如骰子細分之有方有平亷有長亷有小隅總曰立方
立方亦有實無法以所有散數整齊之成一立方形故亦曰開
立方長濶高皆等今所求者其一邊之數故西法亦曰立方根
如圖方者初商也初商不盡
則再商之于是有三平亷三
長亷一小隅共七并初商方
形而八合之成一立方形
如圖方形者長濶高皆如初商之數
方形只一
如圖平亷形者長濶相同皆如初商數其厚則如次商數 【平亷形凡三以輔于方形之三面】長亷者長如初商數其兩頭高與濶等皆如次商數 【長亷形亦三以補三平亷之隙】
小隅者長濶高皆等皆如次商數 【其形只一以補三長亷之隙】
商三位圖
如後圖一方三平亷三長亷
一小隅除實仍不盡則更商
又得次平廉次長廉各三
次小隅一合之共十五形凑
成一大立方形 次平亷之
長濶相等皆如初商并次商
之數厚如三商數其形三以
輔初商并次商合形之外 次長亷之長如初商并次商之數其濶與厚相等皆如三商數其形亦三以補次平亷之隙次小隅之長濶高皆等皆如三商數其形只一以補次長亷之隙
立方籌式【列後】
解曰上三位者自乘再乘之積也假如根一十則其積一千根二十則其積八千乃至根九十則其積七十二萬九千也 次兩位者自乘之積即平方也置于立方
籌者以為亷法之用假如初商一百則
其平亷亦方一百其積一萬乃至商九
百則其平亷方九百而積八十一萬也
又如次商一十則其長亷之兩頭亦必
方一十而積一百乃至次商九十則其
長亷之兩頭必方九十而積八千一百
也 下一位者方根也假如立積一千
則其根一十立積八千則其根二十乃
至積七十二萬九千則其根九十也
立方籌三位何也自乘再乘之數止于三位也且以為初商之用故只須三位其餘實雖多位皆亷積耳
用法曰先以積列位至單位止無單者作圈以存其位次作點從單位點起每隔兩位作一點【即滿三位去之之法也】點訖視最上一點以為用
點在首位者獨商之以首位為初商之實
單數商法也 若千若百萬若十億若萬億若千萬億凡以三位去之餘一位者皆與單法同
點在次位者合首兩位為初商之實
十數商法也 若萬若千萬若百億若十萬億若兆凡以三位去之餘二位者皆與十同法
點在第三位者合首三位為初商之實
百數商法也 若十萬若億若千億若百萬億若十兆凡以三位去之餘三位者皆與百同法
又法視其點在首位則于原實之上加兩圈點在次位者上加一圈皆合三位而商之
次以初商之實與立方籌相比勘視立方籌積數有與實相同或差小于實者用之以減原實而得其立方之數即初商也
定位法曰既得初商則約實以定位知所得立方為何等【或單或十百等】以知有續商與否 皆以前所作點而合計之視有若干點之命之
假如只有一點則商數是單 初商已得單數無次商
有二點者商數十 初商十數者有商兩次焉有三點者商數百 初商百數者有三三次焉四點商千 五點商萬 每多一點則得數進一位而其商數亦多一次皆以商得單數乃盡也
减積法曰凡初商减積皆止于最上點之位
次商法曰依前定位若初商末是單而减積未盡是有次商也次商者有平亷法有長亷法有隅法【解曰平亷古曰方法長亷法古曰亷法以後或曰平亷長長亷從質也或省曰方法亷法從古也】
先以所得初商數三之為亷法
又以初商數自乘而三之為三法 以方法用籌除積以得次商【以列位之法定之其法見後】
既得次商用其數以乘方法為三平亷積
又以次商自乘以乘亷法為三長亷積
其次商即為隅法 以隅法自乘再乘得小立方積為隅積
乃併三平亷三長亷一小隅積為次商亷隅共積若此亷隅共積與餘積適等或小于餘積則減而去之視其仍餘若干以為用【或續商或以法命之】
若共積反大于餘實不及減轉改次商及減而止【若次商單一而無減以法命之】
商三次法曰次商尚未是單而減積未盡是有第三次商也
第三次商者合初商次商得數而三之為亷法又合初商次商得數自乘而三之為方法 如前以方法用籌除餘實求得第三商【亦以列位法詳其所得】
既得第三商如前求得三平亷三長亷一小隅積以減餘實其法並同次商
四次以上皆同法
命分法曰但商得單數而有不盡則以法命之 未商得單數而餘實甚少不能商單一者亦以法命之其法以所商立方數自乘而三之【如平亷】又以立方數三之【如長亷】又加單一【如小隅】併三數為命分不盡之數為得分 其命分必大于得分
列商數法曰依前隔位作點以最上一點為主而論之有三法凡商得立方一數者于此點之上一位書之【或單一或一十或一百或一千並同】此常法也
若商得立方二三四五者于此點之上兩位書之【單十百千其法並同】乃進法也
若商得立方六七八九者于此點之上三位書之【單十百千其法並同】乃超進法也
平方只有進法而立方有三法何也平方以亷法為法而平方只二亷故其亷法之積數只有進一位故止立進法與常法為二也立方以方法為法而立方有三平廉故其方法之積數有進一位進兩位故立進法超進法而與常法為三也其預為續商之地使所得單數居于法之上一位則同
假如立方單一其方法單三 若立方單二則方法一十二變為十數進一位矣故單一用常法而單二即用進法也
又如立方單五其方法七十五 若立方單六則方法一百○八又變百數進兩位矣故單五只用進法而單六以上必用超進之法也
假如立方一十其方法三百 若立方二十則方法一千二百變千數進一位矣故一十只用常法而二十即用進法也
又如立方五十其方法七千五百 若立方六十則方法一萬○八百又變萬數進兩位矣故五十仍用進法而六十以上必用超進之法也
若宜進而不進宜超進而不超進則初商次商同位矣不宜進而進則初商次商理不相接矣此歸除開立方之大法也
其次商列位理本歸除以所減積數首一位是空不是空定其進退皆同平方 商三次以上並同
隅積法曰隅法單隅積盡單位 隅法是十隅積盡于千位
隅法百隅積盡百萬之位 以上倣求 大約隅法大一位則隅積大三位
還原法曰置開得立方數為實以立方數為法乘之得數再以立方數乘之有不盡者加入不盡之數即得原實
假如有積一千三百三十一立方開之
列位 作點【從單位起】
視首位有點以○○一千為初商
之實
乃視立方籌有○○一其立方一
于是商一十【有二點故商十】減去立方積一千餘三百三十一【初商十者有次商也】
以最上點為主商一數者書于點之上一位常法也次以初商一十而三之得三十為亷法
又以初商一十自乘而三之得三百為方法【用第三】
視籌第一行積數○三與餘
實同次商一於初商一十之
下【減積首位是○故進位書于一十之下以暗對其○】
于是以次商一乘方法仍得三百為平亷積 又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十為長亷積又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積 併三
積共三百三十一除餘實恰盡
凡開得立方一十一【還法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原積】
假如有積一十二億五千九百七十一萬二千立方開之列位 作點
視首位有點以○○一十
億為初商之實
乃視立方籌有○○一其方亦一于是商一千減立方積一十億餘二億五千九百七十一萬二千次以初商一千而三因之得三千為亷法
又以初商一千自乘得一百萬而三之得三百萬為方法【用第三籌】
視第三籌之第八行積數二四小于餘實次商八十于初商一千之下一位【所減首位不空故次商八書本位而上一位作○因與次商隔位故知其是十】
就以次商八十乘方法三百萬得二億四千萬為平亷積
又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十萬為長亷積 又次商八十自乘再乘得五十一萬二千為隅積 併三積共二億五千九百七十一萬二千除實盡
凡開得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除實已盡是所商單位亦○也此列位之妙】
以上皆商得一數例也 皆以最上一點為主而以初商得數書于點之上一位乃常法也惟商得一數者可用常法一十一百一千一萬並同
假如有積九千二百六十一立方開之
列位 作點
視點在首位以○○九千命為初商之實
乃視立方籌積有小于○○九者
○○八也其立方二于是商二十
【二點故初商十】減立方積八千餘一千二
百六十一
以最上一點為主而以得數書于點之上兩位乃進法也商二至五之法也
次以初商二十用三因之得六十為亷法
又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百為方法【用第一第二兩籌】
合兩籌第一行積一二與餘實相同次商單一于初商二十之下【所減首位空宜進書也若初商不先用進法則無以處次商矣故進法自商二始】
就以次商一乘方法仍得一千二百為三平亷積又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十為三長亷積又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積 併三積共一千二百六十一除實盡凡開得立方二十一
假如有立方積三萬二千七百六十八立方開之問得若干
列位 作點
視點在次位以○三萬二千為初
商之實乃視立方籌積小于○三
二者是○二七其立方三也于是
商三十【二點故初商十】減商三十【二點故初商十】減立方積二萬七千餘五千七百六十八
次以初商三十用三因得九十為亷法
又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百為方法【用第二第七兩籌】
合視兩籌第二行積○五四小于餘實次商單二于初商三十之下【所减首位○宜進書以對其○】
就以次商單二乘方法得五千四百為平亷積 又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十為長廉積又以次商自乘再乘得八為隅積 併三積共五
千七百六十八除實盡凡開得立方三十二
假如有立方積一十一萬七千六百四十九立方開得若干
列位 作點
視點在第三位以一十一萬七千為初商之實
乃視立方籌積有小于一一七者
○六四也其立方四于是商四十
【二點故初商十】減立方積六萬四千餘五
萬三千六百四十九 次以初商四十用三因之得一百二十為亷法
又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百為方法【用第四第八兩籌】
合視兩籌第九行積數四三二小于餘實次商九于初商四十之下【所減首位不空故本位書之】
就以次商九乘方法得四萬三千二百為平亷積又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十為長亷積 又以次商九自乘再乘得七百二十九為隅積 合計亷隅三積共五萬三千六百四十九除實盡
凡開得立方四十九
假如有積一千六百六十三億七千五百萬立方開得若干
列位 作點
視點在第三位以一千六百六十億為初商之實
乃視立方籌有小于一六
六者是一二五其立方五
也商作五千【四點商千】除立方
積一千二百五十億餘四百一十三億七千五百萬次以初商五千用三因之得一萬五千為亷法又以初商五千自乘得二千五百萬三因之得七千五百萬為方法【用第七第五兩籌】
合視兩籌第五行積三七五小于餘實次商五百于初商五千之下【所減首位不空故書本位】
就以次商五百乘方法得三百七十五億為平亷積又以次商五百自乘得二十五萬用乘亷法得三
十七億五千萬為長亷積 又以次商五百自乘再乘得一億二千五百萬為隅積 併三積共四百一十三億七千五百萬除實盡 凡開得立方五千五百○○
以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一點為主而以初商所得進書點之上兩位進法也初商得二三四五者用進法單十百千並同
假如有積二十六萬二千一百四十四立方開之列位 作點
視點在第三位以二十六萬二
千為初商之實
乃視立方籌有小于二六二者
二一六也其立方是六商六十【二點商十】減立方積二十一萬六千餘四萬六千一百四十四
以最上一點為主而以得數書于點之上三位超進法也乃商六至九之法也
次以初商六十用三因之得一百八十為亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一萬○八百為方法【用第一空位第八三籌】
合視籌第四行積四三二小于餘實次商四于初商六十之下【所減首位是○故進位書之以對其○】
就以次商四乘方法得四萬三千二百為平亷積又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十為長亷積 又以四自乘再乘得六十四為隅積 併三積共四萬六千一百四十四除實盡凡開得立方六十四
假如有積三十七萬三千二百四十八立方開之列位 作點
視點在第三位以三十七萬三千為初商之實
乃視立方籌積有小于三七三
者是三四三其立方七也商七
十【二點商十】減立方積三十四萬三
千餘三萬○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十為亷法
又以初商七十自乘得四千九百三之得一萬四千七百為方法【用第一第四第七三籌】
合視籌第二行積二九四小于餘實次商二于初商七十之下【所減首位空故進位書之以對其○】
就以次商二乘方法得二萬九千四百為平亷積又以二自之得四用乘亷法得八百四十為長亷積又以二自乘再乘得八為隅積 併三積共三萬
○二百四十八除實盡凡開得立方七十二
假如有積五十三萬一千四百四十一立方開之列位 作點
視點在第三位以五十三萬一千為初商之實
乃視立方籌積有五一二小于
五三一其方八也商八十【二點商十】減立方積五十一萬二千餘一
萬九千四百四十一
次以初商八十用三因之得二百四十為亷法又以八十自乘得六千四百三之得一萬九千二百為方法【用第一第九第二三籌】
合視籌第一行是一九二小于實次商一于初商之下 就以次商一乘方法為平亷積 又以一自乘用乘亷法為長亷積 又以一自乘再乘為隅積併三積共一萬九千四百四十一除實盡
凡開得立方八十一
假如有積九十七萬○二百九十九立方開之
列位 作點
視點在第三位以九十七萬○為初商之實
乃視立方籌有七二九小于九七○其方九也商九
十【二點商十】減積七十二萬九千餘
二十四萬一千二百九十九
次以初商九十三之得二百七十為亷法
又以九十自之得八千一百而三之得二萬四千三百為方法【用第二第四第三三籌】
合視籌第九行是二一八七小于餘實次商九于初商九十之下【所減首位不空故本位書之】
就以次商九乘方法得二十一萬八千七百為平亷積 又以九自乘得八十一以乘亷法得二萬一千八百七十為長亷積 又以九自乘再乘得七百二十九為隅積 併三積共二十四萬一千二百九十九除實盡凡開得立方九十九
此以上皆初商六七八九之例也 皆以最上一點為主而以得數書于點之上三位乃超進法也初商六七八九用超進之法單十百千並同
命分例
假如有立方八百一十尺問立方每面各若干
列位 作點
點在第三位以八百一十○尺為
初商之實
視立方籌有小于實者為七二九
其立方九商九尺減積【七百二十九尺】餘【八十一尺】
此商數已至單尺而有不盡當以法命之
法以商數九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷又置商數九而三之得【二十七】如長亷 加小隅一共【二百七十一】為命分
命為立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得單數而有不盡以法命之例也
又如有立方積一億二千五百七十五萬尺問立方若干
列位 作點
點在第三位以一億二千五百萬
尺為初商實
視立方籌有【一二五】恰與實合商【五百尺】減實【一億二千五百萬尺】餘【七十五萬○○○○尺】
有三點故知所商是【五百尺】宜有第二商第三商也乃以初商【五百尺】自乘【二十五萬尺】而三之得【七十五萬尺】為平亷法又以初商【五百尺】三之得【一千五百尺】為長亷法視餘實【七十五萬尺】僅足平亷之數而無長亷知第二商第三商皆空也補作兩圈而以法命之
法以平亷法長亷法合數加小隅一共【七十五萬一千五百○一尺】為命分
命為立方每面五百尺又七十五萬一千五百○一分尺之七十五萬○○○○
此商數雖未至單而餘實甚少不能成一整數亦以法命之例也
歷算全書卷三十一