歷算全書卷二十七
宣城梅文鼎撰
交食蒙求卷二
日食附說
第一求
恒年表以首朔為根何也曰首朔者年前冬至後第一朔也因算交會必於朔望故以此為根也根有五種曰干支也太陽太隂各平引也太隂交周太陽經度各平行也太陽太隂各二而干支者所以紀之也西歷於七政皆起子正而此處首朔日食有小餘者交會無一定之時故也紀日者年前冬至次日之干支也首朔日時者年前十二月朔距冬至之日時也以此相加得首朔之干支及其小餘矣於是再以逐月之朔實加之得各月平朔干支及其小餘矣
太陽平引與其經度不同何也曰太陽引數從最高衝起算而經度從冬至起算也冬至定於○宫初度最高衝在冬至後六七度且每年有行分此西歷與古法異者也
第二求
日定均者即古法之盈縮差也月定均者遲疾差也距弧者平朔與實朔進退之度也距時者平朔實朔進退之日時也因两定均生距弧因距弧生距時即古法之加減差也
第三求第四求五求
平朔既有進退矣則此進退之時刻内亦必有平行之數故各以加減平行而為實引也實引既不同平引則其均數亦異故又有實均以生實距弧及實距時也夫然後以之加減平朔而為實朔也
平朔古云經朔實朔古云定朔然古法定朔即定於第二求之加減差其三求四求之法古亦有之謂之定盈縮定遲疾則惟於算交食用之而西歷用於定朔此其微異者也
第六求【原為第九】
朔有進退則交周亦有進退故有實交周按古法亦有定交周其法相同然必先求次平行者以實朔原有两次加減也只用月實均者其事在月也其序原居第九今移此者以辨食限也
第七求【原為第六】
經度有次平行者以實朔有两次加減故經行亦有两次加減乃得日實度也只用日實均者其事在日也
第八求
問平朔者古經朔也實朔者古定朔也何以又有視朔曰此測驗之理因加減時得之古法所無也
何以謂之加減時曰所以求實朔時太陽加時之位也盖歷家之時刻有二其一為時刻之數其一為時刻之位凡布算者稱太陽右移一度稍弱為一日又或動天左旋行三百六十一度稍弱為一日此則天行之健依赤道而平轉其數有常於是自子正歷丑寅復至子正因其運行之一周而均截之為時為刻以紀節候以求中積所謂時刻之數也凡測候者稱太陽行至某方位為某時為某刻此則太虚之體依赤道以平分其位一定於是亦自子正歷丑寅復至子正因其定位之一周而均分之為時為刻以測加時以候凌犯所謂時刻之位也之二者並宗赤道宜其同矣然推二分之日黄赤同點【經緯並同】二至之日黄赤同經【緯異經同】則數與位合【所算時刻之數太陽即居本位與所測加時之位一一相符】不用加減時其過此以往則二分後有加分加分者太陽所到之位在實時西二至後有減分減分者太陽所到之位在實時東也然則所算實朔尚非實時乎曰實時也實時何以復有此加減曰正惟實時故有此加減若無此加減非實時矣盖此加減時分不因里差而異【九州萬國加減悉同非同南北東西差之隨地而變】亦不因地平上高弧而改【高弧雖有高下加減時並同非若地半徑及濛氣䓁差之以近地平多近天頂少】而獨與實時相應【但問所得實時入某節氣或在分至以後或在分至以前其距分至若同即其加減時亦同是與實時相應也】故求加減時者本之實時而欲辨實時之真者亦即徵諸加減時矣
其以二分後加二至後減何也曰升度之理也凡二分以後黄道斜而赤道直故赤道升度少升度少則時刻加矣二至以後黄道以腰圍大度行赤道殺狭之度故赤道升度多升度多則時刻減矣
假如所算實朔巳定於某日午正時而以在二分後若干日當有加分則太陽加時之位必在午正稍西從而測之果在午正之西與加分數合即知實朔之在午正者真也
又如所算實朔是未正而在二至後當有減分太陽加時之位必在未正稍東從而測之果在未正之東與減分數合即知實朔之在未正者確也
加減時即視時也一曰用時其實朔時一曰平時加減時之用有二其一加減實時為視時則施之測驗可以得其正位如交食表之加減是其正用也其一反用加減以變視時為實時則施諸推步可以得其正算如月離表之加減是其反用也然其理無二故其數亦同也【月離表改用時為平時即是據所測視時求其實時以便入算】
古今測驗而得者並以太陽所到之位為時故曰加時言太陽加臨其地也然則皆視時而已視時實時之分自歷書始發之然有至理歷家所不可廢也
第九求【原為十求】
月距地者何即月天之半徑也月天半徑而謂之距地者地處天中故也地恒處天中則半徑宜有恒距而時時不同者生於小輪也月行小輪在其高度則距地遠矣在其卑度則距地近矣每度之高卑各異故其距地亦時時不同也
日半徑月半徑者言其體之視徑也論其真體日必大於月論其視徑日月略相䓁所以能然者日去人遠月去人近也然細測之則其两視徑亦時時不䓁此其故亦以小輪也日月在小輪高處則以遠目而損其視徑在其卑處則以近日而增其視徑矣
檢表法不同者視半徑表並起最高而加減表太陽引數起最卑太隂引數起最高故月實引只用本數而日實引加減六宫也
并徑者日月两半徑之縂數也两半徑時時不同故其并徑亦時時不同而時分之深淺因之虧復之距分因之矣
月實行者一小時之實行也其法以月距日之平行每日分為二十四限即一小時平行也各以其應有之加減分加減之即一小時之實行也雖虧復距甚未必皆為一小時而以此為法所差不遠【此與授時用遲疾行度内減八百二十分者同法】
第十求【原為十一】
縂時者何也以求合朔時午正黄道度分也何以不言度而言時以便與視朔相加也然則何不以視朔變為度曰日實度者黄道度也時分者赤道度也若以視朔時變赤道度亦必以日實度變赤道度然後可以相加今以日實度變為時即如預變赤道矣此巧算之法也其必欲求午正黄道何也曰以求黄平象限也【即表中九十度限】何以為黄平象限曰以大圈相交必互相均剖為两平分故黄赤二道之交地平也必皆有半周百八十度在地平之上【黄道赤道地平並為渾圓上大圈故其相交必皆中剖】其勢如虹若中剖虹腰則為半周最高之處而两旁各九十度故謂之九十度限也此九十度限黄赤道並有之然在赤道則其度常居正午以其两端交地平常在卯正酉正也黄道則不然其九十度限或在午正之東或在午正之西時時不䓁【惟二至度在午正則九十度限亦在午正與赤道同法此外則無在午正者而且時時不同矣】其两端交地平亦必不常在卯正酉正【亦惟二至度在午正為九十度限則其交地平之處即二分點而黄道與赤道同居卯酉此外則惟赤道常居卯酉而黄道之交於地平必一端在赤道之外而居卯酉南一端在赤道之内而居卯酉北】而時時不等故也【黄道東交地平在卯正南其西交必酉正北而九十度限偏於午規之西若東交地平在卯正北其西交地平必酉正南而九十度限偏於午正之東則半周如虹者時時轉動勢使然也】盖黄道在地平上半周之度自此中分則两皆象限若從天頂作線過此以至地平必成三角而其勢平過如十字故又曰黄平象限也【地平圈為黄道所分亦成两半周若從天頂作弧線過黄平象限而引長之成地平經度半周必分地平之两半周為四象限而此經線必北過黄極與黄經合而為一】
問黄平象限在午正必二至日有之乎曰否每日有之也凡太陽東升西沒成一晝夜則周天三百六十度皆過午正而西故每日必有夏至冬至度在午正時此時此刻即黄平象限與子午規合而為一每日只有二次也自此二次之外二至必不在午正而黄平象限亦必不在二至矣觀渾儀當自知之
黄平象限表以極出地分何也曰凖前論地平上黄道半周中折之為黄平象限其两端距地平不䓁而自非二至在午正則黄道之交地平必一端近北一端近南【亦前論所明】極出地漸以高則近北之黄道漸以出近南之黄道漸以沒而黄平象限亦漸以移此所以隨地立表也
求黄平象限何以必用縂時曰黄平象限時時不同即午規之地亦時時不同是午正黄道與黄平象限同移也則其度必相應是故得午正即得黄平【黄平限為某度其午正必為某度謂之相應然則午正為某度即黄平限必某度矣故得此可以知彼】而縂時者午正之度也此必用縂時之理也
日距限分東西何也曰所以定時差之加減也【凡用時差日在限西則加日在限柬則減】
日距地高何也曰所以求黄道之交角也【時差氣差並生於交角又生於限距地及限距日】二者交食之關鍵而非黄平象限無以知之矣
日距地高何也謂合朔時太陽之地平緯度也亦曰高弧高弧之度隨節氣而殊故論赤緯之南北赤緯之南北同矣又因里差而異故論極出地極出地同矣又以加時而變故又論距午刻分極出地者南北里差距午刻分者東西里差也合是數者而日距地平之高可見矣
日赤緯加減宫數者何也緯表○宫起春分而日實度○宫起冬至故三宫以下加九宫三宫以上減去三宫以宫數變從緯表也
視朔時加減十二時者何也求太陽距午刻分也日在地平上之弧度惟正午為高其餘則漸以下或在午前或在午後皆以距午為斷其距午同者高弧之度亦同也視朔滿十二小時是朔在午後也故内減十二時用其餘為自午正順數若不滿十二時是朔在午前則置十二時以視朔減之而用其餘為自午正逆推即各得其距午之刻分矣
其必求高弧者何也所以求月高下差也高下差在月而求日距地高者日食時經緯必同度故日在地平之高即月高也
何以為月高下差曰合朔時太隂之視高必下於真高其故何也月天在日天之内其間尚有空際故地心與地面各殊地所見謂之視高以較地心所見之真高往往變高為下以人在地面傍視而見其空際也故謂之月高下差【地心見食謂之真食地面見食謂之視食真食有時反不見食見視食時反非地心之真食縱使地心地面同得見食而食分深淺亦必不同凡此皆月高下差所為也】
月高下差時時不同其緣有二其一為月小輪高卑即第九求之月距地數也在小輪卑處月去人近則距日遠而空際多高下差因之而大矣在小輪高處月去人遠則距日近而空際少高下差因之而小矣其一為高弧即本求之日距地高也高弧近地平從旁視而所見空際多則高下差大矣高弧近天頂即同正視而所見空際少則高下差小矣【若高弧竟在天頂即與地心所見無殊無高下差】小輪高卑天下所同高弧損益隨地各異故當兼論也两圈交角何也曰日所行為黄道圈以黄極為宗者也人在地平上所見太陽之高下為地平經圈以天頂為宗者也此两圈者各宗其極則其相遇也必成交角矣因此交角遂生三差日食必求三差故先論交角也何以謂之三差曰高下差也東西差也南北差也是謂三差
三差之内其一為地平緯差即高下差前條所論近地平而差多者也其一為黄道經差即東西差其一為黄道緯差即南北差此三差者惟日食在九十度限則黄道經圈與地平經圈【即高弧】相合為一而無經差故但有一差【無經差則但有緯差是無東西差而有南北差也而两經緯既合為一則地平之高下差又即為黄道之南北差而成一差】若日食不在九十度而或在其東或在其西則两經圈不能相合為一遂有三差【月高下差恒為地平高弧之緯差而黄道經圈自與黄道為十字正角不與地平經合以生經度之差角是為東西差又黄道上緯度自與黄道為平行不與地平緯度合以生緯度之差角是為南北差東西南北並主黄道為言與地平之高下差相得而成句股形則東西差如句南北差如股而高下差常為之弦合之則成三差也】因此三差有此方見日食彼方不見或此見食分深彼見食分淺之殊故交食重之而其源皆出於交角
得數減象限何也以表所列為餘角也表何以列餘角曰三差既為句股形則有两圈之交角即有其餘角而交角所對者為氣差【即南北差】餘角所對者為時差【即東西差】作表者盖欲先求時差故列餘角然與两圈交角之名不相應故減象限而用其餘以歸交角本數也
定交角何也所以求三差之真數也何以為三差真數曰日食三差皆人所見太隂之視差而其根生於交角則黄道之交角也殊不知太隂自行白道與黄道斜交其交於地平經圈也必與黄道之交不同角則所得之差容有未真今以隂陽歷交黄道之角加減之為定交角以比两圈交角之用為親切耳【詳補遺】時差古云東西差其法日食在東則差而東為減差減差者時刻差早也日食在西則差而西為加差加差者時刻差遲也其故何也太陽之天在外太隂之天在内並東陞而西降而人在地面所見之月度既低於真度則其視差之變高為下者必順於黄道之勢故合朔在東陞之九十度必未食而先見【限東一象限東下西高故月之真度尚在太陽之西未能追及於日而以視差之變高為下亦遂能順黄道之勢變西為東見其掩日矣】若合朔在西降之九十度必先食而後見【限西一象限黄道西下東高故月之真度雖已侵及太陽之體宜得相掩而以視差之故變高為下遂順黄道之勢變東而西但見其在太陽之西尚遠而不能掩日矣】而東西之界並自黄道九十度限而分此黄平象限之實用也問日月以午前東升午後西降何不以午正為限而用黄平象限乎曰此西法之合理處也何以言之日月之東升西降自午正而分者赤道之位終古常然者也日月之視差東減西加自九十度限而分者黄道之勢頃刻不同者也若但從午正而分則加減或至於相反授時古法之交食有時而踈此其一端也問加減何以相反曰黄平限既與午正不同度則在限為西者或反為午正之東在限為東者或反為午正之西日食遇之則加減相違矣假如北極出地四十度設午正黄道【即縂時】為寶瓶十七度其黄平限為雙魚十一度在午正東二十四度而日食午初日實度躔二宫二度在限西九度宜有加差若但依午正而分則食在午前反當有減差是誤加為減算必先天矣又設午正為天蝎二度其黄平象限為天秤八度在午正西二十四度而日食午正後二刻日實度躔九宫二十四度距限東十六度宜有減差若但依午正而分則食在午後反有加差是又誤減為加算必後天矣
時差表有倒用之說何也曰此亦因交角表誤列餘角也今既以交角表之數減九十度為用則交角已歸原度而此表不須倒用矣
近時距分者何也即視朔時或加或減之時刻分也所以有此加減者時差所為也然何以不徑用時差曰時差者度分也以此度分求月之所行則為時分矣【查歷指所謂時差即近時距分而東西差即時差表皆易之今姑從表以便查數也】
近時何也所推視朔時與真朔相近之時也食在限東此近時必在視朔時以前故減食在限西近時必在視朔時以後故加
十一求【原為十二】
近縂時何也近時之午正黄道度也朔有進退午正之黄道亦因之進退故仍以近時距分加減十求之視朔午正度為本求之近時午正度
既有近時又有近時之午正度則近時下之日距限及距限地高日距地高以及月高下差两圈交角凡在近時應有之數一一可推因以得近時之時差矣【内除月距地數在九求日赤緯在十求並用原數其餘並改用近時之數故皆復求然求法並同十求】既得時差可求視行
視行者何也即近時距分内人目所見月行之度也何以有此視行曰時差所為也盖視朔既有時差則此時差所到之度即視朔時人所見月行所到差於實行之較也視朔既改為近時則近時亦有時差而又即為人所見近時月行所到差於實行之較矣此二者必有不同則此不同之較即近時距分内人所見月行差於月實行之較矣故以此較分加減時差為視行也本宜用前後两小時之時差較加減月實行為視行【如用距分減視朔者則取視朔前一小時之時差若距分加視朔者則取視朔後一小時之時差各取視朔時差相減得較以加減月實行即為一小時之視行】再用三率比例得真時距分法為月視行與一小時若時差度與真時距分也今以近時内之視行取之其所得真時距分䓁
何以明其然也曰先得時差即近時距分之實行也實行之比例䓁則視行之比例亦䓁
一 一小時實行 一小時視行 法為一小時之實行與二 一小時 一小時 一小時若時差度與近三 時差【近時距分之實行】視行【即近時距分之視行】時距分則一小時之視四 近時距分 近時距分 行與一小時亦若視行
度與近時距分也
一 一小時視行 視行 今一小時視行與一小二 一小時 近時距分 時既若時差與真時距
三 時差 時差 分則視行與近時距分四 真時距分 真時距分 亦必若時差與真時距
分矣
問視行之較一也而或以加或以減其理云何曰凡距分之時刻變大則所行之度分變少故減實行為視行若距分之時刻變小則所行之度分變多故加實行為視行假如視朔在黄平限之東時差為減差而近時必更在其東其時差亦為減差乃近時之時差所減大於視朔所減是為先小後大其距分必大於近時距分而視行小於實行其較為減又如視朔在黄平限之西時差為加差而近時必更在其西時差亦為加差乃近時之時差所加大於視朔所加是亦為先小後大其距分亦大於近時距分而視行亦小於實行故其較亦減二者東西一理也若視朔在黄平限東其時差為減而近時時差之所減反小於視朔所減又若視朔在黄平限西其時差為加而近時時差之所加反小於視朔所加此二者並先大後小則其距分之時刻變小矣時刻變小則視行大於實行而其較應加東西一理也
如圖戊爲黄平象限甲爲視朔甲乙爲視朔時差甲丙甲丁並近時時差其甲乙時差爲視朔時順黄道而差低之度變爲時卽爲近時距分此分在限東爲減差若在限西
卽爲加差其理一也若以甲丙爲近時差則大於甲乙其較度乙丙依實行比例求其較時則距分變而大矣距分變大者行分變小法當於甲乙差度内減去乙丙較度【卽乙庚】其餘如甲庚則是先定甲乙距分行行甲乙度者爲實行而今定甲乙距分只行甲庚度者爲視行也故在東在西皆減也
又若以甲丁爲近時差則小於甲乙其較乙丁依實行比例求其較時則距分變而小矣距分變小者行分變大法當於甲乙差度外加入乙丁較度【亦卽乙庚】成甲庚則是先定甲乙距分行甲乙度者為實行而今定甲乙距分能行甲庚度者為視行也故在東在西皆加也捷法用倍時差減近時差何也曰即加減也何以知之曰凡時差先小後大者宜減今於倍小中減一大是於先得時差内加一小時差減一大時差也即如以較數減先時差矣先大後小者宜加今於倍大内減一小是於先得時差内加一大時差減一小時差也即如以較數加先時差矣數既相合而取用不煩法之善者也真時距分者何也即視朔時或加或減之真時刻也其數有時而大於近時距分亦有時而小於近時距分皆視行所生也視行小於實行則真時距分大於近時距分矣視行大於實行則真時距分小於近時距分矣其比例為視行度於近時距分若時差度與真時距分也真時何也所推視朔之真時刻也真時在限東則必早於視朔之時真時在限西則必遲於視朔之時此其於視朔並以東減西加與近時同惟是真時之加減有時而大於近時有時而小於近時則惟以真時距分為斷不論東西皆一法也
若真時距分大於近時距分而在限東則真時更先於近時在限西則真時更後於近時是東減西加皆比近時為大也若真時距分小於近時距分而在限東則真時後於近時在限西則真時先於近時是東減西加皆比近時為小也
十二求【原為十三】
真縂時何也真時之午正黄道也故仍以真時距分加減視朔之縂時為縂時【即是改視朔午正度為真時午正度】
近時既改為真時即食甚時也然容有未真故復考之考之則必於真時復求其時差而所以求之之具並無異於近時所異者皆真時數耳【謂日距限限距地高日距地高月高下差两圈交角䓁項並從真時立算】是之謂真時差
既得真時差乃别求真距度以相參考則食甚定矣【考定真時全在此處】何以為真距度曰即真時距分内應有之月實行也盖真時差是從真時逆推至視朔之度真時距分内實行是從視朔順推至真時之度此二者必相等故以此考之考之而䓁則真時無誤故即命為食甚定時也
其或有不䓁之較分則以法變為時分而損益之於是乎不䓁者亦歸於相䓁是以有距較度分考定之法也距較度分者距度之較也損益分者距時之較也其比例亦如先得時差度與真時距分故可以三率求也真時差大者其距時亦大故以益真時距分益之則減者益其減原在限東而真時早者今乃益早若加者亦益其加原在限西而真時遲者今則益遲矣 真時差小者其距時亦小故以損真時距分損之則減者損其減原在限東而真時早者今改而稍遲若加者亦損其加原在限西而真時遲者今改而稍早矣
如是考定真時距分以加減視朔為真時即知無誤可謂之考定食甚時也
氣差古云南北差凖前論月在日内人在地面得見其間空際故月緯降高為下夫降高為下則亦降北為南矣此所以有南北差也【南北差生於地勢中國所居在赤道之北北高南下故也】然又與高下差異者自天頂言之曰高下自黄道言之曰南北惟在正午則两者合而為一高下差即為南北差其餘則否
氣差與時差同根故有時差即有氣差而前此諸求但用時差者以食甚之時未定重在求時也今則既有真時矣當求食分故遂取氣差也【時差氣差並至真時始確】
十三求【原為十四】
距時交周何也即實朔距真時之交周行分也故以實朔與真時相減之較查表數然何以不用視朔曰原算實交周是實朔故也
定交周者何也真時之月距交度也食甚既定於真時則一切視差皆以食甚起算故必以實朔交周改為食甚之交周斯之謂定交周也月食黄緯者食甚時月行隂陽歷實距黄道南北之緯度也月視黄緯者食甚時人所見月距黄道南北緯度則氣差之所生也月行白道日行黄道帷正交中交二點月穿黄道而過正在黄道上而無距緯其距交前後並有距緯而每度不同然有一定之距是為實緯實緯因南北差之故變為視緯即無一定之距隨地隨時而異但其變也皆變北為南假如月行隂歷實緯在黄道北則與黄道實遠者視之若近焉故以氣差減也若月行陽歷實緯在黄道南則與黄道實近者視之若遠焉故以氣差加也至若氣差反大於實緯則月雖隂歷其實在黄道北而視之若在南故其氣差内減去在北之實緯而用其餘數為在南之視緯也
并徑減距者何也并徑所以定食分減距所以定不食之分也距者何也卽視緯也并徑則日月两半徑之合數也假令月行陰歷其北緯與南北差同則無視緯可減而并徑全爲食分其食必旣其餘則皆有距緯之減而距大者所減多其食必淺距小者所減少其食必深是故并徑減餘之大小卽食分之所由深淺也若距緯大於并徑則日月不相及或距緯等於并徑則日月之體相摩而過不能相掩必無食分矣
并徑内又先減一分何也曰太陽之光極大故人所見之食分必小於眞食之分故預減一分也
然則食一分者卽不入算乎曰非也并徑之分度下分也【每六十分爲一度】食分之分太陽全徑之分也【以太陽全徑十平分之假令太陽全徑三十分則以三分爲一分】是故并徑所減之一分於食分只二十餘秒
問日月兩半徑旣時時不同則食分何以定曰半徑雖無定而比例則有定但以并徑減餘與太陽全徑相比則分數覩矣【分太陽全徑爲十分卽用爲法以分并徑減距之餘分定其所食爲十分中幾分】有時太陰徑小於太陽則雖兩心正相掩而四面露光歷家謂之金環是其并徑亦小於太陽全徑雖無距緯可減而不得有十分之食故也【細草原用表今改用三率其理較明法亦簡易】
十四求
日食月行分者何也乃自虧至甚之月行度分也【自甚至復同用】其法以并徑減一分常為弦視緯常爲句句弦求股卽得自食甚距虧與復之月行度分矣
【按此卽授時歷開方求定用分之法所異者并徑時時增減與舊法日月視徑常定不變者殊耳】
前總時何也卽食甚前一小時之午正度也得此午正度卽可得諸數以求前一小時之時差謂之前時差前時差與眞時差之差分卽視行與實行之差分故以差分加減實行得視行也假如日在限西而前時差大於眞時差是初虧所加多而食甚所加反少也以此求虧至甚之時刻則變而小矣時刻小則行分大故以差分加實行爲視行若日在限西而前時差小於眞時差是初虧所加少而食甚所加漸多也以此求虧至甚之時刻則變而大矣時刻大則行分必小故以差分減實行爲視行若日在限東而前時差大於眞時差是初虧所減多而食甚所減漸少也以此求虧至甚之時刻則變而大矣時刻大者行分小故以差分減實行爲視行若日在限東而前時差小於眞時差是初虧所減少而食甚所減反多也以此求虧至甚之時刻則變而小矣時刻小者行分大故以差分加實行爲視行食甚定交角滿象限不用差分何也無差分也何以無差分曰差分者時差之較也食甚在限度卽無食甚時差無可相較故初虧徑用前時差復圓徑用後時差又食甚在限度則初虧距限東而前時差恒減復圓距限西而後時差恒加減時差則初虧差而早加時差則復圓差而遲其距食甚之時刻並變而大也時刻大者行分小故皆減實行為視行【又若初虧復圓時定交角滿象限亦無差分而徑用食甚之時差減實行爲視行與此同法其初虧復圓距食甚之刻分亦皆變大而行分變小也視行之理此爲較著】初虧距時分者初虧距食甚之時刻也用上法得視行爲食甚前一小時之數而初虧原在食甚前則其比例爲視行之於一小時猶日食月行之於初虧距時故可以三率取之也【日食月行減一義見前條】
既得此初虧距分則以減食甚而得初虧時刻也
十五求
後縂時者即食甚後一小時之午正度分也用此午正度得諸數以求後一小時之時差為後時差又以後時差與真時差相較得差分以加減實行為視行並同初虧但加減之法並與初虧相反
假如日在限西而後時差大於真時差是食甚所加少而復圓所加多則甚至復之時刻亦變而大矣時刻大者行分小故以差分減實行為視行
若日在限西而後時差小於真時差是食甚所加多而復圓所加反少則甚至復之時刻亦變而小矣時刻小者行分大故以差分加實行為視行
假如日在限東而後時差大於真時差是食甚所減少而復圓所減反多則甚至復之時刻變而小矣時刻小者行分大故以差分加實行為視行
若日在限東而後時差小於真時差是食甚所減多而復圓所減少則甚至復之時刻變而大矣時刻大者行分小故以差分減實行為視行【食甚在限度求視行之理已詳十四求】復圓距時分三率之理並與初虧同惟復圓原在食甚後故加食甚時刻為復圓時刻
十六求
黄道宫度内減宿鈐何也黄道宫度起冬至各宿黄道起距星也凡距星所入宫度必小於日實度宫度故以相減之較為食甚時所入本宿度分也其每年加五十一秒者恒星東行之度即古歲差法也因歲差所加故有宿鈐在日實度以下而變為日實度以上則食甚時所入非其宿矣故退一宿用之也其以歲差【五十一秒】乘距算【本年距歷元戊辰】之數各宿並同雖退一宿所加不異也赤道宫度可以升度取者黄道上升度一定也若赤道宿度則不可以升度取何也各宿距星多不能正當黄道而在其南北各有緯度故必以弧三角求之為正法也
此後原有十七求以算東西異號今省不用何也曰東西異號之算歷書語焉不詳故細草補作之亦有思致但所求者仍為黄平象限之東西故必復求定交角今於十四求十五求即得定交角為白道限度之東西簡易直捷可不必更多葛籐矣故省之也
附說補遺
求縂時條加減十二時
問求縂時與求日距地高二條並以視朔與十二時相加減然後用之而用法不同何也曰求縂時條是欲得午正黄道距春分之升度故並從午正後順推【如視朔過十二時則内减十二時而用其餘數是從午正後數其距視朔之時刻也若視朔不及十二時則以十二時加之是從先日午正後數其距今視朔之時刻也故其法皆為順數】日距地高條是欲得視朔距午正之度故各從午正前後順推逆數【如視朔為十二時去之而用其餘數是從視朔時逆推其己過午正之刻也若視朔不滿十二時則置十二時以視朔時减之而用其餘數是從視朔順數其未及午正之刻也 其視朔滿十二時減去之两法並同惟視朔不滿十二時用法則異】
附又法
問視朔在午前若用減十二時法亦可以得縂時乎曰可其法亦如求日距地高置十二時以視朔時减之求到視朔未至午之刻去減日實度距春分時刻【即九十度表第二行對日實度之時刻】亦即得縂時與上法同此法可免加滿二十四時去之然遇日實度距春分時刻不及減又當加二十四時然後可減矣假如日實度是春分後相距只一時而視朔在午正前三時是爲日實度小不及減法當以日實度加二十四時作二十五時減去三時餘二十二時爲總時
定交角或問
問定交角滿象限以上反其加減何也曰此變例也西歷西加東減並以黄道九十度限爲宗今用定交角則是以白道九十度限爲宗而加減因之變矣
問白道亦有九十度限乎歷書何以未言曰歷書雖未言然以大圈相交割之理徵之則宜有之矣何則月行白道亦分十二宮【視月緯表可見】則亦爲大圈其交於地平也亦半周在地平上則其折半之處必爲白道最高之處而亦可名之爲九十度限矣【或可名白道限度】
若從天頂作高弧過此度以至地平則成十字正角而其圈必上過白道之極成白道經圈與黄平象限同【黄平象限上十字經圈串天頂與黄道極故亦成黄道經圈與此同理】月在此度卽無東西差而南北差最大與高下差等【前論月在黄平象限無東西差而卽以高下差爲南北差其理正是如此但月行白道當以白道爲主而論其東西南北始爲親切】若月在此度以東則差而早宜有減差在此度以西則差而遲宜有加差但其加減有時而與黄平象限同有時而與黄平限異故有反其加減之用也
問如是則白道亦有極矣極在何所曰白道有經有緯【凡東西差皆白道經度南北差皆白道緯度】則亦有南北二極為其經緯之所宗但其極與黄極恒相距五度以為定緯【雖亦有小小增減而大致不變】其經度則歲歲遷動至滿二百四十九交而徧於黄道之十二宫則又復其始【約其數十九年有奇】法當以黄極為心左右各以五緯度為半徑作一小圓以為載白道極之圈再以正交中交所在宫度折半取中即於此度作十字經圈必串白道極與黄道極矣則此圈之割小圓點即白道極也問何以知此圈能過黄白两極也曰此圈於黄道白道並作十字正角故也【凡大圈上作十字圈必過其極】問此圈能串两極則限度常在此度乎曰不然也此度能串黄白兩極而未必其串天頂如黄道上極至交圈也若限度則必串天頂以過白極而未必其過黄極如黄道上之黄平限也是故白道上度處處可為限度亦如黄道上度處處可為黄平限但今在地平上之白道半周某度最高即其两邊距地平各一象限從此度作十字經圈必過天頂而串白道之两極何也此圈過地平處亦皆十字角即與地平經圈合而為一所謂月高下差即在此圈之上矣【惟白道半交為限度能與黄平限同度此外則否况近交乎故必用定交角也】
以定交角推白道限度
白道限度大約在黄道交角之八十五度【定交角三此滿象限過此則有異號】
若太隂定交周是○宫十一宫而黄平限在午正之東乃白道限度則更在其東而原以限東宜減者今或以定交角大而變為限西宜加矣
若定交周是五宫六宫而黄平限在午正西白道限度必更在其西而原以限西宜加者今或以定交角大而變為限東宜減矣
以上二宗並離午正益遠交食遇此則古法益踈而新法猶近
若定交周是○宫十一宫而黄平限在午正西乃白道限度或尚在其東而原以限東宜減者今以定交角大而變為限西宜加矣
若定交周是五宫六宫而黄平限在午正東乃白道限度或尚在其西而原以限西宜加者今以定交角大而變為限東宜減矣
以上二宗並離黄平限而近午正交食遇此則有時古法反親而新法反踈若白道限度徑在午正則古法密合矣
由是觀之加減東西差宜論白道明甚歷書略不言及豈非缺陷之一大端
問定交角者所以變黄道交角為白道交角也然何以不先求白道限度曰交角者生於限度者也交角變則限度移矣故先得限度可以知交角【交角之向指以距限東西而異交角之大小以距限遠近而殊】而既得交角亦可以知限度故不必復求限度也
其加減以五度何也曰取整數也古歷測黄白大距為六度【以西度通之得五度五十四分奇】西歷所測只五度奇而至於朔望又只四度五十八分半今論交角故祗用整數也【若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高並可得交角細數然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交後故也】
問五度加減後何以有異號不異號之殊曰近交時白道與黄道低昂異勢者也【惟月在半交能與黄道平行亦如二至黄道之與赤道平行也若交前交後斜穿黄道而過不能與黄道平行亦如二分黄道之斜過赤道也故低昂異勢】然又有順逆之分而加減殊焉其白道斜行之勢與黄道相順者則恒減減惟一法【减者角損而小也雖改其度不變其向】若白道與黄道相逆者則恒加加者多變遂有異號之用矣【加者角增而大也增之極或滿象限或象限以上遂至改向】
是故限西黄道皆西下而東高限東黄道皆西高而東下此黄道低昂之勢因黄平象限而異者也而白道正交【○宫十一宫也即古法之中交】自黄道南而出於其北亦為西下而東高【黄道半周在地平上者偏於天頂之南以南為下北為上正交白道自南而北如先在黄道之下而出於其上故比之黄道為西下而東高也】白道中交【五宫六宫也即古法之正交】自黄道北而出於其南亦為西高而東下【白道自北而南如先在黄道之上而出於其下故比之黄道為西高而東下也】
假如日食正交而在限西日食中交而在限東是為相順相順者率於交角減五度為定交角是角變而小矣角愈小者東西差愈大故低昂之勢增甚而其向不易也【限西黄道本西下東高而正交白道又比黄道為西下東高則向西之角度變小而差西度增大其時刻遲者益遲矣限東黄道本西高東下而中交白道又比黄道為西高東下則向東之角度變小而差東之度增大其時刻早者益早矣是東西之向不易而且增其勢也】
假如日食正交而在限東日食中交而在限西是為相逆相逆者率於交角加五度為定交角是角變而大矣角愈大者東西差愈小故低昂之勢漸平而甚或至於異向也【限東黄道本西高東下而正交白道比黄道為西下東高則向東之角漸大而差東度改小時刻差早者亦漸平若加滿象限則無時差乃至滿象限以上則向東者改而向西時刻宜早者反差遲矣限西黄道本西下東高而中交白道為西高東下則向西之角漸大而差西度改小時刻差遲者亦漸平若加滿象限則無時差乃至滿象限以上則向西者改而向東而時刻宜遲者反差而早矣】
凡東西差為見食甚早晚之根如上所論定交角所生之差與黄道交角無一同者則欲定真時刻非定交角不可也若但論黄道交角時刻不真矣
凡東西差與南北差互相為消長而南北差即食分多少之根如上所論則欲定食分非定交角不能也但論黄道交角食分亦悞矣
差分有用併之理
問差分本以两時差相較而得【十四求已有備論】今乃有用併之法何也曰異號故也此其白道限度必在两食限之間【或限度在甚與復两限之間則食甚在限東而復圓限而或限度在虧與甚之間則食甚在限西而初虧限東】两食限一距限東一距限西其两時差必一為減號一為加號是為東西異號無可相較故惟有相併之用也
乃若定交角大於象限則先為同號而變為異號其食甚必在黄平限及白道限度之間【食甚在黄平限西白道限度東則先推食甚復圓同號者變為異號矣食甚在黄平限東白道限度西則先推食甚初虧同號者變為異號矣】两食限既變為東西異號則其两時差亦一加一減變為相併矣
問異號恒相併固也乃復有定交角過九十度而仍用相較為差分者何也曰此異號變為同號也其黄平限必在两食限之間而白道限度或反在食限之外則能變異號為同號【假令黄平限在復與甚之間甚距限東復距限西本異號也而復圓之定交角過象限則白道限度必又在復圓之西而先推黄平限復圓在西者今推白道限度復圓在限東即復圓食甚變為同號矣又加黄平限在虧與甚之間虧距限東甚距限西本異號也而初虧之定交角過象限則白道限度必又在初虧之東而先推黄平限初虧在東者今推白道限度初虧在限西即初虧食甚變為同號矣】又如前論食甚在黄平限及白道限度之間能變同號為異號即亦能變異號為同號【凖前論食甚在黄平限西白道限度東能變食甚與復圓異號則先推食甚與初虧異號者今反同號矣若食甚在黄平限東白道限度西能變食甚與初虧異號則先推食甚與復圓異號者今反同號矣】凡此之類變態非一皆於定交角取之故可以不用十七求也
相併為差分者並減實行為視行之理
問用差分取視行有減實行加實行之異而相併為差分者一例用減何也曰凡相較為差分者有前小後大前大後小之殊故其於實行有減有加【解見前條】減者常法加者變例也【凡減實行為視行者在限東者益差而東在限西者益差而西食限中如此者多故為常法若加實行為視行者限東者反損其差東之度在西者反損其差西之度乃偶一有之故為變例】若相減為差分者不論前後之大小縂成一差故於實行有減無加只用常法也【十四求附說論食甚初虧復圓三限定交角滿象限並用時差減實行與此同理盖彼以無可相較故徑用一時差此則雖有两時差不以相較而且以相益故其時刻並變大而行分變小故皆減實行為視行也】
己為天頂 庚為黄道極 丑寅癸為地平 子為黄平象限度 子辛丙癸為地平上黄道之一象限 甲乙丁壬為黄道北緯 己乙丙寅為地平經圈 乙為天上太隂實緯【在黄道北】 丙為人所見太隂視度【正當黄道】乙丙為高下差【是地平上高弧差】 乙丁為東西差【是黄道經度差】丙丁為南北差【是黄道緯度差】 盖高卑差以天頂為宗下至地平為直角南北差以黄極為宗下至黄道為直角東西差以中限為宗下至黄極為直角而其根皆生於地面與地心不同視之故也
設太隂實高在乙視高在庚高弧上乙庚之距為高下差
從黄極出經線至太隂實度【乙】又從黄極出經綫至視度庚必過【丁】黄道上乙丁之距為東西差
實度乙正當黄道視度庚在黄道南其距丁庚緯度與乙丙䓁是為南北差
設太隂實高在庚視高在乙高弧上庚乙之距為高下差
從黄極出經綫二一過實高庚指黄道度丁一過丙至視度乙黄道丁乙之距為東西差【與丙庚䓁】
實度庚在黄道北其緯度庚丁與丙乙䓁視度乙正當黄道無緯度丙乙為南北差【與丁庚䓁】
設太隂實高在辛視高在庚高弧上辛庚之距為高下差
從黄極出經綫二一過太隂實高度辛至黄道乙乙為實度一過北緯甲及黄道丁至太隂視高度庚丁為視度黄道上乙丁之距為東西差【與甲辛丙庚䓁】
月實緯辛在黄道北其距辛乙與甲丁䓁視緯庚在黄道南其距丁庚與乙丙䓁甲庚為南北差【與辛丙䓁】
歷算全書卷二十七